] >
Een afbeelding bepaalt een deelverzameling van bestaande uit alle beelden onder van elementen van . Vervangen we het codomein van door het beeld , dan krijgen we een surjectieve afbeelding . Door het codomein aan te passen hebben we een surjectieve afbeelding verkregen. Deze afbeelding is bijectief als injectief is.
Door het domein van een afbeelding aan te passen kunnen we uit een injectieve afbeelding verkrijgen. Het is daarvoor nodig dat elementen van met hetzelfde beeld als hetzelfde worden gezien.
5.1 Definitie. Zij een afbeelding. Voor iedere is er de deelverzameling van bestaande uit de elementen die onder hetzelfde beeld hebben als :
Deze noemen we de -klasse van . Laat de verzameling van al deze -klassen zijn:
Deze verzameling van klassen noemen we de -partitie van .
Het is duidelijk dat een -partitie van de volgende eigenschappen heeft:
Zoals we bij een afbeelding een surjectieve afbeelding , hebben, hebben we nu een injectieve afbeelding . We hebben dus als een samenstelling
van drie afbeeldingen. De eerste is surjectief, de tweede een bijectie en de derde is injectief. Is surjectief, dan is een bijectie.
5.3 Voorbeeld. De afbeelding van Voorbeeld 5.2 induceert de bijectie
waarbij , en .
Een -partitie van is een indeling van de elementen van in klassen van elementen met hetzelfde beeld onder . Voor het beschrijven van zo’n indeling is het niet nodig dat er een afbeelding gegeven is.
5.4 Definitie. Zij een verzameling. Een verzameling van deelverzamelingen van heet een partitie van als:
De verzamelingen noemen we klassen van de partitie. Als , waarbij , dan noemen we een representant van . Ook zeggen we dat de klasse van is, notatie . Een deelverzameling van die met iedere slechts één element gemeen heeft, noemen we een representantensysteem van .
5.5 Voorbeeld. In Voorbeeld 5.3 hebben we de partitie van bestaande uit klassen. Een representantensysteem is . Ook is een representantensysteem.
In de tweede eis voor een partitie komt het woord uniek voor. Je kunt deze eis vertalen in twee eisen:
Doordat er bij iedere een unieke is zodat , is er door een afbeelding gedefinieerd. Doordat is deze afbeelding surjectief. Een partitie van bepaalt dus een surjectieve afbeelding . Merk de analogie op met: een deelverzameling van bepaalt een injectieve afbeelding .