] >
De Toren van Hanoi met drie schijven heeft standen:
We kunnen alle standen van de Toren van Hanoi met drie schijven tezamen als één geheel zien. Dit geheel is samengesteld uit onderdelen. In de wiskunde gebruikt men de termen ‘verzameling’ en ‘element’. De standen van de Toren van Hanoi met drie schijven zijn de elementen van een verzameling, de verzameling van deze standen. Deze verzameling noteert men als volgt:
De verzameling wordt genoteerd door alle elementen op te sommen (gescheiden door komma’s) en deze opsomming te omgeven door accolades. Is de verzameling van alle standen van de Toren van Hanoi met schijven, dan is de verzameling hierboven dus . Om aan te geven dat een element is van een verzameling wordt het symbool gebruikt: we schrijven . In plaats van
is een element van
kunnen we dan schrijven
We zeggen ook:
is in .
Om aan te geven dat iets geen element is van een verzameling gebruikt men het symbool . Bijvoorbeeld:
Het heeft voordelen om alle standen van de Toren van Hanoi met drie schijven tezamen als één ding (object) te zien. Zo’n object kan een naam hebben (zoals ) en dan kan erover gecommuniceerd worden. Objecten kunnen eigenschappen hebben: een eigenschap van is bijvoorbeeld dat hij elementen heeft. Zien we al de standen tezamen als één object, dan kan dat object op zijn beurt weer element zijn van een verzameling. Verzamelingen kunnen elementen zijn van nieuwe verzamelingen. Het aantal elementen van een verzameling noteren we met behulp van : het aantal elementen van is . Het aantal elementen van een eindige verzameling is een natuurlijk getal. Hoofdstuk 2 behandelt de natuurlijke getallen en Hoofdstuk 3 gaat over de begrippen aantal en eindig.
De puzzel wordt bepaald door het geven van alle standen en alle paren van standen die in één zet in elkaar kunnen overgaan. Voor ieder aantal vormen deze paren een verzameling . De elementen van zijn zelf ook weer verzamelingen en wel verzamelingen van elementen. Voor hebben we:
De verzameling heeft elementen. Ook deze verzameling hebben we genoteerd door alle elementen op te sommen. Je kunt ook beschrijven door aan te geven waar de elementen aan moeten voldoen: het is de verzameling
of korter
Bij deze manier van noteren gaat het om de verzameling van de elementen links van die de eigenschap rechts van hebben. De verzamelingen en vormen tezamen een graaf , zie de volgende paragraaf.
Bij de notatie van een verzameling die gebaseerd is op een opsomming van de elementen doet de volgorde waarin ze zijn opgesomd er niet toe. Ook of een element meer dan eens voorkomt in de opsomming maakt niet uit:
Een verzameling ligt geheel vast door zijn elementen: hebben verzamelingen en precies dezelfde elementen, dan zijn ze gelijk: .
1.1 Definitie. Laten en verzamelingen zijn. Dan heet een deelverzameling van als ieder element van ook een element van is. Notatie: . We zeggen dan dat de verzameling bevat is in de verzameling en ook dat de verzameling de verzameling omvat.
Dit is de eerste definitie. Definities hebben als doel nieuwe begrippen vast te leggen. Deze begrippen worden omschreven in termen van al bekende begrippen. Het nieuwe begrip is hier: deelverzameling. De al bekende begrippen zijn: verzameling, element. Soms wordt ook een notatie vastgelegd, hier: . Soms zijn er varianten in het spraakgebruik, zoals hier ‘bevat’ en ‘omvat’.
Een definitie begint gewoonlijk met te omschrijven waar hij betrekking op heeft. Hier gebeurt dat in de zin: ‘Laten en verzamelingen zijn.’ Daarna wordt het nieuwe te definiëren begrip vastgelegd.
Zijn alle elementen van een verzameling ook elementen van een verzameling , en omgekeerd, dan hebben beide verzamelingen dezelfde elementen en zijn dus gelijk. De bewering
komt dus op hetzelfde neer als (is equivalent met):
We laten toe dat een verzameling geen elementen heeft. Zo’n verzameling is een deelverzameling van iedere andere verzameling. Hebben en beide geen elementen, dan en , en dus . Er is dus precies één verzameling zonder elementen en kunnen we dus spreken van de verzameling zonder elementen.
Een verzameling met drie elementen, zeg de verzameling , heeft acht deelverzamelingen: , , , , , , en .