] >
Een uitspraak als ‘ is even’ is voor sommige natuurlijke getallen waar en voor andere niet. Hij correspondeert met een deelverzameling van : de verzameling van de even natuurlijke getallen. Bij een uitspraak als hangt de waarheid af van de natuurlijke getallen en . Daarbij is ook de volgorde van deze getallen van belang. We kunnen zo’n uitspraak ook opvatten als een uitspraak over één ding, namelijk over het geordende paar . Geordende paren zijn geschikt om relaties vast te leggen.
5.6 Voorbeeld. Voor elementen en van kan gelden . Dat bepaalt een relatie in de verzameling . Deze relatie kunnen we vastleggen door alle geordende tweetallen op te sommen waarvoor : , , , , , , , , , . Dit zijn allemaal elementen van de verzameling van alle geordende paren met , d.w.z. zij vormen een deelverzameling van het Cartesisch product , ofwel , zie Figuur 5.2. In de wiskunde identificeert men graag relaties met dergelijke deelverzamelingen.
Is een relatie in , dan is een goede notatie. Vaak gebruikt men voor relaties de notatie , de zogeheten infix-notatie.
Omdat een relatie in een verzameling niets anders is dan een deelverzameling van , kunnen we voor eindige eenvoudig uitrekenen hoeveel relaties er in zijn:
Dus bijvoorbeeld: als , dan is dit aantal . Er zijn dus veel relaties in zo’n kleine verzameling!
Bepaalde eigenschappen van relaties treden vaak op. Er zijn speciale namen voor deze eigenschappen.
De relatie in is reflexief, omdat ieder getal (kleiner dan of) gelijk aan zichzelf is.
In een plaatje van een relatie in een verzameling (als deel van de productverzameling ) betekent reflexiviteit dat de diagonaal, bestaande uit alle elementen , er deel van uitmaakt.
De relatie in is transitief: als en , dan .
In termen van een plaatje van een relatie is het niet zo eenvoudig om te zeggen wat transitiviteit betekent.
De relatie in de verzameling is niet symmetrisch. Immers , maar niet .
Voor een plaatje betekent symmetrie dat hij bij spiegeling in de diagonaal in zichzelf overgaat.
De relatie in is antisymmetrisch en dat geldt ook voor .
Bij spiegeling in de diagonaal gaan elementen buiten de diagonaal die tot de relatie behoren over in elementen die niet tot de relatie behoren.
5.12 Definitie. Een relatie in een verzameling heet een ordening van als reflexief, antisymmetrisch en transitief is.
De relatie in is een ordening van . Dat is precies wat Propositie 2.29 zegt.
5.13 Definitie. Een relatie heet een equivalentierelatie als hij reflexief, symmetrisch en transitief is.
5.14 Voorbeeld. Laat de relatie in als volgt gedefinieerd zijn:
Dit is een equivalentierelatie. De transitiviteit bijvoorbeeld kun je als volgt aantonen:
Stel , en zijn natuurlijke getallen met en . Dan zijn en even, zeg en met . Dan en dus . Daaruit volgt dat even is, ofwel .
Dus voor alle met en geldt ook .