] >
Laat een verzameling zijn. Deelverzamelingen van kunnen worden vastgelegd met een eigenschap die elementen van al of niet kunnen hebben:
Bij een gegeven kun je voor de eigenschap nemen.
Zoals deelverzamelingen met eigenschappen kunnen worden verkregen, kunnen partities met equivalentierelaties worden verkregen. Dat is het onderwerp van deze paragraaf. Voor een equivalentierelatie gebruiken we vaak een symbool als of in plaats van een letter als . De bedoeling van een equivalentierelatie is dat hij uitdrukt dat elementen in een bepaald opzicht bij elkaar horen. Een symbool als is dan suggestiever.
5.16 Voorbeeld. Voor de equivalentierelatie van Voorbeeld 5.14 geldt dat elk tweetal even getallen en ook elk tweetal oneven getallen tot elkaar in de relatie staan, terwijl dat voor ‘gemengde’ tweetallen niet het geval is. De equivalentierelatie hangt dus samen met de opdeling van in twee deelverzamelingen: die van de even en die van de oneven getallen. De relatie bepaalt deze partitie van .
We laten zien dat er bij iedere equivalentierelatie een partitie hoort en omgekeerd.
5.17 Definitie. Laat een equivalentierelatie zijn in een verzameling en zij . Dan heet de verzameling
de equivalentieklasse (m.b.t. ) van het element . Het is een deelverzameling van en wordt genoteerd als of korter . De verzameling
van alle equivalentieklassen m.b.t. geven we aan met .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Beschouw de afbeelding gedefinieerd door . Uit Lemma 5.18 volgt dat de partitie van is. □
5.20 Voorbeeld. Voor de equivalentierelatie van Voorbeeld 5.14 hebben we
Dus . Een representantensysteem is , maar natuurlijk ook bijvoorbeeld .
Zij een verzameling. Bij een partitie van hebben we een equivalentierelatie zodat de equivalentieklassen m.b.t. deze relatie juist de klassen van zijn: definieer als . Omgekeerd hebben we bij een equivalentierelatie in een partitie van gedefinieerd die op zijn beurt weer de oorspronkelijke equivalentierelatie bepaalt. Partities en equivalentierelaties zijn dus één op één aan elkaar gekoppeld. Er zijn dus evenveel partities van een verzameling als er equivalentierelaties in die zijn.