] >
Stel je hebt al wat je wilt: een uitbreiding van zodat altijd een oplossing heeft en zodat rekenregels blijven gelden. Gehele getallen zien we als verschillen van natuurlijke getallen en we hebben dan een surjectieve afbeelding
Deze bepaalt een partitie van en de bijbehorende equivalentierelatie is
Uit rekenregels die we voor willen hebben volgt dat we deze equivalentierelatie ook kunnen beschrijven in termen van natuurlijke getallen alleen:
Voor deze hebben we dan een bijectie
Conclusie: als er een uitbreiding van is zoals we die wensen, dan is de relatie in een equivalentierelatie en corresponderen de elementen van met de equivalentieklassen in . Willen we construeren, dan is het duidelijk wat ons te doen staat: bewijzen dat een equivalentierelatie is en dan voor de verzameling nemen. Vervolgens gaan we in deze verzameling een optelling definiëren, etc. We beginnen met de relatie te definiëren:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
5.23 Definitie. . De elementen van heten gehele getallen. De equivalentieklasse van geven we voorlopig aan met .
Denk aan als het verschil van de natuurlijke getallen en . Zie Figuur 5.3 voor een plaatje van de partitie van : de verbonden punten vormen een equivalentieklasse, een geheel getal dus.
We gaan nu de optelling in definiëren. Willen we dat de normale regels gelden, dan zijn we ertoe gedwongen er voor te zorgen dat:
de te definiëren | optelling | optelling | ||||
optelling in | in | in |
Immers, als we zien als het verschil en we in normaal kunnen rekenen, dan
De som van zouden we dus als volgt willen definiëren: kies zo dat en kies zo dat , dan
Een moeilijkheid hierbij is dat het resultaat af zou kunnen hangen van de keuze van de representanten van de klassen en . Dat deze representantenkeuze niet van invloed is blijkt uit het volgende lemma.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We zullen rekenregels voor het optellen in afleiden.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Merk op hoe eenvoudig rekenregels voor af te leiden zijn uit de rekenregels voor . Het bestaan van tegengestelden is nieuw. Was de vergelijking in niet altijd oplosbaar, in is hij dat wel: de (unieke) oplossing is , d.w.z. .
In hadden we de schrapwet. In geldt hij ook, maar is een gevolg van de vier eisen voor een Abelse groep: als , dan (we schrijven voor het nulelement ):
Er is nog een klein probleem. De verzameling is geen deelverzameling van de verzameling . Wel is er binnen een deelverzameling te vinden die met de optelling van sprekend lijkt op zelf:
Deze verzameling is te beschouwen als een kopie van :
en
Optellen in komt dus op het zelfde neer als optellen in zelf. Schrijven we nu voor en dus voor , dan doen we dus alsof en is alles zoals we het willen hebben.
Voor het gehele getal heb je dan
We stellen deze wijziging van notatie nog even uit, omdat we ook nog een vermenigvuldiging in willen invoeren.
Merk ook nog op dat de verzameling , tezamen met het element en de transformatie met aan de axioma’s van Peano voldoet en dus ook om die reden als het systeem van natuurlijke getallen opgevat kan worden.
We hebben in feite een injectieve afbeelding en er geldt voor alle . Het beeld is de verzameling .
We hebben nu de verzameling met daarin de optelling zoals we die willen hebben. Nu gaan we een vermenigvuldiging in definiëren en wel zo dat de rekenregels blijven gelden. Omdat we gehele getallen zien als verschillen van natuurlijke getallen en we de normale rekenregels willen behouden, ligt de definitie van het product vast door .
5.27 Definitie. Laten en gehele getallen zijn. We definiëren het product van en als volgt. Kies zo dat en . Dan
Ook hier gaat men eenvoudig na dat de gegeven definitie niet afhangt van de er in voorkomende keuze. We laten dit aan de lezer over, evenals het bewijs van de volgende propositie.
5.28 Propositie. De verzameling voorzien van de bewerkingen en zoals hiervoor gedefinieerd is een commutatieve ring, d.w.z. is tezamen met de optelling een Abelse groep en er gelden de volgende regels:
Evenals in is machtsverheffen in herhaald vermenigvuldigen.
Merk op dat we alleen -de machten nemen met . Deze definitie van machtsverheffen kan gegeven worden voor elke monoïde. Dan gelden de gebruikelijke rekenregels voor machtsverheffen. Het is een uitbreiding van het machtsverheffen in . Voor met hebben we nu .
5.30 Definitie. De ordening van is als volgt voort te zetten tot een ordening van :
Hierbij vatten we dus op als een deel van . In plaats van schrijven we ook . We hebben: .
Voor gelden de eisen voor een ordening en er zijn regels die de ordening in verband brengen met optellen en vermenigvuldigen:
5.31 Propositie. De relatie is een ordening van , d.w.z. hij is reflexief, antisymmetrisch en transitief. Bovendien:
Bewijs.
Andere regels zijn af te leiden. Als in de laatste eigenschap , dan en dus , ofwel .
We hebben dus . Gehele getallen zijn ingevoerd als ‘formele’ verschillen van natuurlijke getallen: als , dan—met de identificatie van natuurlijke getallen met de gehele getallen —hebben we . Uit definitie van volgt direct dat . De absolute waarde is een afbeelding .
Deze absolute waarde heeft eigenschappen die we algemener voor absolute waarden zullen eisen:
5.33 Propositie. De absolute waarde heeft de volgende eigenschappen:
Bewijs.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Dit komt op hetzelfde neer als een schrapwet voor de vermenigvuldiging in : als met en , dan . Dit is eenvoudig in te zien door om te schrijven tot .