] >
Een algebraïsche structuur bestaat uit een verzameling en een aantal bewerkingen in die verzameling. Voldoen de bewerkingen aan bepaalde eisen, dan is er een speciale naam voor de structuur. We hebben al eerder de term monoïde gebezigd. Dat is de naam voor een verzameling met een associatieve bewerking waarvoor er een neutraal element is. In dit hoofdstuk zijn we nieuwe structuren tegengekomen die voor de hedendaagse wiskunde zeer belangrijk zijn. De eisen die men aan een structuur stelt noemt men gewoonlijk axioma’s. De kracht van deze aanpak is dat er veel voorbeelden van een gegeven structuur zijn.
Bij de axioma’s voor de meetkunde bij Euclides, voor de natuurlijke getallen van Peano en voor de verzamelingsleer is het juist het streven dat de structuur er geheel mee vast ligt. Het gaat daarbij steeds om axioma’s die bedoeld zijn als grondslag voor de wiskunde.
Het begrip Abelse groep is een abstract begrip. We geven hier de definitie. Die maakt het mogelijk in het vervolg stellingen compact te formuleren. De groepentheorie is een sterk ontwikkeld en omvangrijk onderdeel van de algebra. Hier gaan we niet verder dan het gebruik van de terminologie.
5.35 Definitie. Een Abelse groep is een verzameling tezamen met een bewerking zodat aan een aantal eisen is voldaan:
Is ook een neutraal element, dan . Er is dus een uniek neutraal element. Dat element wordt gewoonlijk met aangeduid en heet dan nul of het nulelement.
Als bij een er een en een zijn zodat , dan . We noemen de tegengestelde van en noteren hem als . Dus: is het unieke element met .
Hierboven zagen we dat in een schrapwet geldt. Omdat daarbij alleen gebruikt is dat tezamen met een Abelse groep is, hebben we in feite ingezien dat de schrapwet in iedere Abelse groep geldt. Dat is het voordeel van abstractie: is iets een Abelse groep, dan geldt daarvoor alles wat uit de groepsaxioma’s is afgeleid.
Zonder axioma (A2), de commutativiteit, hebben we de definitie van het abstracte begrip groep. (Daarom hebben we bij de formulering van de axioma’s (A3) en (A4) geen gebruik gemaakt van de commutativiteit.) De bewerking in een groep wordt vaak niet als optellen (met een ) gezien, maar als vermenigvuldigen (met dus een andere notatie voor de bewerking: ), zeker als de commutativiteit niet geldt. Het neutrale element noteert men dan als en heet dan één of het eenheidselement. Men spreekt dan ook niet van de tegengestelde, maar van de inverse, notatie: . We hebben dus:
5.36 Definitie. Een groep is een verzameling tezamen met een bewerking zodat aan de volgende eisen is voldaan:
Een structuur met bewerkingen optellen en vermenigvuldigen die voldoen aan de gebruikelijke rekenregels noemt men een ring. De definitie is als volgt.
5.37 Definitie. Een ring is een verzameling tezamen met twee bewerkingen, een ‘optelling’ en een ‘vermenigvuldiging’ , (of: ), zodat tezamen met een Abelse groep is en er bovendien voldaan is aan
Is ook voldaan aan
dan heet een commutatieve ring.
In een ring is het mogelijk dat terwijl en . Voor commutatieve ringen hebben we daar een naam voor.
5.38 Definitie. Zij een commutatieve ring. Een element waarvoor er een is met heet een nuldeler van de ring . Heeft een commutatieve ring geen nuldelers, dan heet een integriteitsgebied of ook wel een ring zonder nuldelers.
De ring is dus een voorbeeld van een integriteitsgebied.