] >
Optellen in is associatief. Heb je een rijtje gehele getallen , d.w.z. een afbeelding , dan kun je spreken van de som van deze getallen zonder dat het duidelijk is hoe de haakjes geplaatst moeten worden, bijvoorbeeld
Je kunt dus ook kortweg schrijven. En algemener heeft zo ook de notatie een eenduidige betekenis. Een meer precieze notatie is , een notatie waarmee het gebruik van de vermeden wordt. Ook van een rijtje met termen kan de som genomen worden: we spreken af dat deze (lege) som is. Zo krijgen we dat de betekenis van op een inductieve wijze is vastgelegd:
Natuurlijk is deze notatie algemener te gebruiken, nl. in het geval van een verzameling met een bewerking die associatief en commutatief is en waarvoor er een neutraal element is, voor additief genoteerde Abelse monoïden dus.
Voor een meer algemene vorm van de -notatie is een eindige verzameling gegeven en ook een afbeelding :
Voor is dit de eerder gegeven som. Is algemener een bijectie dan per definitie:
Dit hangt natuurlijk niet van de gekozen bijectie af omdat de optelling commutatief is. Wordt een verzameling op deze wijze gebruikt, dan noemen we die een indexverzameling.
Is de lege verzameling, dan volgt uit de eerder gemaakte afspraak dat deze som gelijk is aan . Ook hier geldt uiteraard dat de notatie algemener te gebruiken is: wat je nodig hebt is een verzameling met een associatieve, commutatieve bewerking die met wordt genoteerd en waarvoor er een neutraal element is.
6.4 Definitie. Een meetkundige rij is een rij van de gedaante , waarbij en gehele getallen zijn. (Gehele getallen zijn de enige getallen die we momenteel hebben. Hebben we later meer getallen, dan laten we die ook toe.) Het getal heet de reden van de rij. (Reden = verhouding = ratio).
Een meetkundige rij is te zien als het verloop van onder de transformatie van .
Laat een meetkundige rij zijn. Laat de som zijn van de eerste termen van de rij, dus
Deze sommen vormen een rij Behalve het voor de hand liggende verband
tussen en is er ook nog het volgende
De rij wordt dus ook bepaald door
ofwel: is het verloop van onder de transformatie . Deze constateringen leiden tot twee stellingen.
6.5 Stelling. Laten en (gehele) getallen zijn met . Voor de som van de eerste termen van de meetkundige rij geldt dan
Bewijs. We zagen al dat . Daaruit volgt . □
Hier kijken we alleen naar gehele getallen omdat we nog niet meer getallen hebben. Van belang is dat je rekent in een integriteitsgebied. Voor hebben we , ofwel . En als alle termen met worden vermenigvuldigd, dan wordt de som natuurlijk ook met vermenigvuldigd.
6.6 Stelling. Laten en (gehele) getallen zijn met . Laat de rij gedefinieerd zijn door
Dan geldt voor alle dat
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
6.7 Voorbeeld. In Voorbeeld 4.9 zagen we dat voor de rij met
geldt dat . Dit kunnen we nu zien als een speciaal geval van Stelling 6.6: en .
Neem je de som van evenveel getallen als er elementen van zijn, dan krijg je natuurlijk het aantal elementen van :
Hier is de indexverzameling en de afbeelding van naar beeldt ieder element van af op .
Is een deelverzameling van een eindige verzameling , de karakteristieke functie van op en een functie op , dan
en in het bijzonder
Is een partitie van een eindige verzameling , dan is iedere een element van precies één en dus voor iedere :
Is een partitie van een eindige verzameling en een functie op , dan
Hierbij zijn de functiewaarden per klasse gesommeerd en vervolgens is de som van deze getallen genomen. In het bijzonder hebben we natuurlijk:
We hadden dit ook met karakteristieke functies kunnen doen:
Hierbij hebben we somtekens verwisseld. Dat kan als over een productverzameling wordt gesommeerd. Zie hieronder.
Hierboven hadden we een dubbele som en we verwisselden de somtekens. Waarom blijft de uitkomst ongewijzigd? Stel we hebben een functie . Dan kunnen we de functiewaarden sommeren:
Dat is een som van termen, zie ook opgave ?? van hoofdstuk 3 voor een bijectie (de inverse is ). We sommeren dus de termen
De som van de getallen in de -de kolom (genummerd van tot ) is
De totale som is dus
Sommeren we eerst de rijen, dan leidt dat tot
Dus kunnen we de somtekens verwisselen: