] >
Uit gegeven verzamelingen kun je nieuwe verzamelingen maken. We geven enkele veelvoorkomende constructies.
1.3 Definitie. Zijn en verzamelingen, dan geven we met de doorsnede van en aan, dat is de verzameling bestaande uit de gemeenschappelijke elementen van en , ofwel
Ieder tweetal verzamelingen heeft een doorsnede, ook als de verzamelingen geen element gemeen hebben: . Dat is een van de voordelen van het toelaten van de lege verzameling. Hebben twee verzamelingen een lege doorsnede, dan zeggen we dat die verzamelingen disjunct zijn. De lege verzameling komt hierbij dus goed van pas.
1.4 Definitie. Zijn en verzamelingen, dan geven we met de vereniging van en aan, dat is de verzameling van elementen die in minstens één van beide verzamelingen zitten:
In de wiskunde is het gebruikelijk dat met ‘of’ niet wordt uitgesloten dat beide uitspraken gelden.
Het is duidelijk dat voor verzamelingen , en geldt
Men zegt dan dat de bewerkingen ‘doorsnede nemen’ en ‘vereniging nemen’ associatief zijn. Is een bewerking associatief, dan kunnen in uitdrukkingen als hierboven de haakjes zonder bezwaar worden weggelaten.
1.5 Definitie. Laten en verzamelingen zijn. Het verschil is de verzameling bestaande uit de elementen van die geen element van zijn:
Indien , dan heet ook wel het complement van in . Bij gegeven wordt dat complement ook wel als of genoteerd.
Geven we de verzamelingen en weer als cirkelschijven in het vlak, dan kun je de verzamelingen , en in een plaatje aangeven, zie Figuur 1.3.
1.6 Regels en logica. Met , en maak je uit gegeven verzamelingen nieuwe verzamelingen. Uitgaande van verzamelingen , en kunnen diverse verzamelingen gemaakt worden. Regels die daarbij gelden zijn:
Zie ook Figuur 1.4. Dat een element is van wil zeggen dat en ( of ). Schrijven we voor de uitspraken , en , respectievelijk , en , dan wordt het: . Deze uitspraak is logisch equivalent met: . Daaruit volgt de eerste regel. Een manier om in te zien dat het om logisch equivalente uitspraken gaat bestaat uit het verifiëren van alle mogelijkheden die zich kunnen voordoen voor elk van de uitspraken , en . Voor een uitspraak zijn er twee mogelijkheden: waar en niet waar. Voor drie uitspraken zijn er dan acht mogelijkheden.
Zijn en uitspraken, dan kun je met ‘en’, ‘of’, ’niet’, ‘als, dan’ en ‘dan en slechts dan als’ (= ‘is equivalent met’) nieuwe uitspraken maken. De waarheid van die nieuwe uitspraken wordt bepaald door die van en ; geven we met een aan dat een uitspraak waar is en met dat hij dat niet is, dan kun je in een tabel (een waarheidstabel) zetten hoe de waarheid van de nieuwe uitspraak wordt bepaald door de uitspraken en :
niet | |
en | of | als , dan | dan en slechts dan als | ||
Ook worden wel logische symbolen gebruikt:
niet : | |
en : | |
of : | |
als , dan : | |
dan en slechts dan als : |
Dat de uitspraken en logisch equivalent zijn kun je constateren met een waarheidstabel:
Om te wennen aan de situatie dat verzamelingen op hun beurt weer elementen van een verzameling kunnen zijn beschouwen we de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling:
1.7 Definitie. Zij een verzameling. De verzameling waarvan de elementen de deelverzamelingen van zijn heet de machtsverzameling van . Deze wordt genoteerd als . Dus:
De zin ‘Zij een verzameling’ is in de aanvoegende wijs. Een andere formulering is: ‘Laat een verzameling zijn.’ De hier gebezigde vorm met ‘zij’ is in de dagelijkse taal in onbruik geraakt. In de wiskunde wordt hij veelvuldig gebruikt.
We hebben dus
Indien , dan zijn er deelverzamelingen van , ofwel : een deelverzameling van wordt gegeven door van elk van de elementen van aan te geven of hij wel of niet een element van is. Zie ook paragraaf 3.9.
De verzamelingsleer zoals die door Cantor was bedacht bevat tegenstrijdigheden. Het komt er op neer dat men niet in het wilde weg verzamelingen kan vormen. De paradox van Russell is daar een duidelijk voorbeeld van:
Laat de verzameling zijn van alle verzamelingen. Dat is dus een griezelig grote verzameling. Voor geldt dan , want ook is een verzameling. Dat is al merkwaardig. Laten we de verzameling nemen van alle verzamelingen die niet deze merkwaardige eigenschap hebben:
Geldt nu of ? Als , dan geldt . En als , dan geldt dus niet , ofwel .
We baseren ons hier op de intuïtieve verzamelingsleer. De paradox van Russell leert dat voorzichtigheid met het construeren van verzamelingen geboden is. Omdat de verzamelingsleer de rol heeft van grondslag van de wiskunde is het van belang dat paradoxen worden vermeden en dat er tegelijkertijd voldoende ruimte is om de wiskunde te ontwikkelen. Daartoe dient de axiomatische verzamelingsleer.