] >
Om te bereiken dat vergelijkingen voor alle en oplosbaar zijn hebben we uitgebreid tot . We gaan nu verder uitbreiden. We willen nu dat alle vergelijkingen (met ) oplosbaar zijn. Zo’n oplossing zal bepaald zijn door het geordende paar en noteren we als . Verder eisen we, zoals steeds, dat de rekenregels behouden blijven. Het gevolg daarvan is dat de hele structuur daarmee vastligt, tenminste als hij bestaat. Uit de rekenregels volgt dat
en
We hebben dus niet meer elementen nodig dan deze breuken. Als we met de gewenste eigenschappen hebben, dan hebben we dus een surjectie
En wat is dan de bijbehorende equivalentierelatie in ? Als , dan en dus . We weten nu genoeg voor de constructie van .
We gaan uit van de verzameling van al deze geordende paren met .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
7.3 Definitie. . De klasse van noteren we als . Een rationaal getal is een element van . De uitdrukking heet een breuk. De is de teller van de breuk en de de noemer.
Figuur 7.1 is een plaatje van de partitie van . Meetkundig gezien worden de klassen gevormd door de roosterpunten die op eenzelfde rechte lijn door de oorsprong liggen. Snijd je deze lijnen met de lijn , dan corresponderen de klassen met punten op deze lijn. Dat brengt duidelijk in beeld hoe wordt uitgebreid tot .
Men gaat eenvoudig na dat de gegeven definities van optellen en vermenigvuldigen zinvol zijn, d.w.z. dat ze niet afhangen van de keuze van de representanten.
Bewijs. Het bewijs is eenvoudig. Het neutrale element voor de optelling (het nulelement) is , en het neutrale element voor de vermenigvuldiging (het eenheidselement) is . □
Bij de constructie van beschouwden we de elementen met . Deze vormen tezamen een getalsysteem dat de rol van kan overnemen. Zoiets geldt hier ook: de getallen kunnen de rol van overnemen. Dit volgt uit:
en
In plaats van schrijven we voortaan weer eenvoudig .
Het getalsysteem (inclusief optellen en vermenigvuldigen) is een commutatieve ring met een speciale eigenschap:
Als , dan en omgekeerd, als , dan . Als , dan en dus geldt voor :
7.6 Definitie. Een element van een ring heet inverteerbaar als er een is met . Het element heet de inverse van en wordt genoteerd als .
De inverteerbare elementen van een ring vormen een groep onder vermenigvuldiging. De inverse is ook de inverse in de groep, zie ook Definitie 5.36.
In de ring hebben alleen en een inverse. Dus . We hebben gezien dat in alle elementen een inverse hebben behalve het nulelement: .
Is een lichaam, dan is dus en dit is een (multiplicatief genoteerde) Abelse groep.
In plaats van schrijven we ook . De breukstreep staat dan voor ‘gedeeld door’ en dat is in overeenstemming de identificatie van met voor gehele getallen . We hebben:
Lichamen zijn in de wiskunde belangrijk. In de hoofdstukken 15 en 17 komen de lichamen (van de reële getallen) en (van de complexe getallen) aan de orde. Ook zijn er eindige lichamen. In hoofdstuk 11 zullen we daar voorbeelden van zien. Lichamen worden vaak met de letter aangeduid. Dat komt uit het Duits: Körper betekent lichaam.
Merk op dat we bereikt hebben dat vergelijkingen met oplosbaar zijn. Immers is een oplossing (en ook de enige). Als , dan is de unieke oplossing , m.a.w. een lichaam heeft geen nuldelers.
Voor iedere met is er een inverse van . Deze kunnen we noteren als . Behalve exponenten in hebben we dan ook als exponent. We breiden dit uit tot exponenten in . Eerst een lemma.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Gehele getallen zijn ingevoerd als verschillen van natuurlijke getallen.
Bewijs. Uit volgt dat en dus . Het lemma volgt nu met behulp van Lemma 7.10. □
We kunnen nu voor gehele getallen definiëren.
In het bijzonder heeft voor dezelfde betekenis als voorheen. Nu hebben we ook voor de betekenis van : het is de -de macht van . Dit hadden we ook direct zo kunnen definiëren. Deze meer algemene opzet heeft het voordeel dat de rekenregels eenvoudiger te verifiëren zijn.
Bewijs. We schrijven en met .
We vatten op als een uitbreiding van . De ordening van is tot voort te zetten.
7.14 Definitie. Laten en rationale getallen zijn. We kunnen en schrijven als breuken met dezelfde positieve noemer:
We definiëren
Hebben breuken dezelfde noemer, dan zegt men ook wel dat de breuken gelijknamig zijn. Als ook en met , dan en . We hebben
Bewijs. Schrijf de optredende rationale getallen steeds als gelijknamige breuken met positieve noemer. Het bewijs is dan eenvoudig. □
Ook is er op een absolute waarde. Deze is belangrijk voor het begrip limiet dat een grote rol speelt bij het verder uitbreiden van de rationale getallen. Daar komen we in hoofdstuk 14 nog uitgebreid op terug.
Rationale getallen liggen steeds tussen gehele getallen, preciezer:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
7.17 Definitie. Zij . Dan heet de unieke waarvoor geldt de entier van (of ook de vloer van ). Notatie: . (Ook de notatie wordt veel gebruikt.) De unieke met heet het plafond van . Notatie: .
Voor hebben we dus . Voor niet-gehele rationale geldt . We gebruikten delen met rest bij de definitie van de entier van een rationaal getal. Omgekeerd hebben we nu: en .