] >
7.18 Terminologie. Vergelijkingen van de vorm
waarbij elementen van een lichaam (zoals ) zijn noemt men veeltermvergelijkingen. De uitdrukking in het linkerlid noemt men een veelterm in over het lichaam. Als , dan spreekt men van een vergelijking van graad . Ook zegt men dat het linkerlid een veelterm van graad is. De coëfficiënt heet de kopcoëfficiënt van de veelterm. Vergelijkingen van graad heten lineair, van graad heten ze kwadratisch en vergelijkingen van graad worden ook kubische vergelijkingen genoemd.
Lineaire vergelijkingen over een lichaam hebben een unieke oplossing in dat lichaam. De vergelijking
met heeft als unieke oplossing , immers als , dan en dus . Zijn en rationale getallen, dan is ook een rationaal getal.
Voor de kwadratische vergelijking is er de bekende -formule. Die formule is het resultaat als het recept voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen op deze algemene vergelijking wordt toegepast. Dat recept is de methode van het kwadraatafsplitsen. We volgen het recept hier voor het lichaam . Daarna nog enkele opmerkingen over mogelijke problemen bij andere lichamen. Dit is het recept:
ofwel
Vereenvoudigen geeft:
Omdat er in een lichaam geen nuldelers zijn, volgt dat of , ofwel of .
Omdat kun je schrijven als en dat geeft de -formule:
Later zullen we een aantal keren een beroep doen op de volgende stelling.
Bewijs. Voor is het triviaal (en voor is er precies oplossing).
Stel dat voor vergelijkingen van graad geldt dat ze hoogstens oplossingen hebben. Te bewijzen dat vergelijkingen van graad hoogstens oplossingen hebben. We beschouwen een vergelijking van graad :
(7.1) |
waarbij elementen van een lichaam ( bijvoorbeeld) zijn en . Heeft deze vergelijking geen oplossingen, dan zijn we klaar. Is een oplossing, ofwel
dan geeft dit na aftrekken
Voor iedere hebben we
Dit is door uitschrijven aan te tonen. Het is ook een gevolg van Stelling 6.5: voor is het equivalent met
waarbij . Schrijven we , dan wordt de vergelijking
(7.2) |
De vergelijking
(7.3) |
is van graad en heeft dus hoogstens oplossingen. Omdat een lichaam geen nuldelers heeft, is een oplossing van vergelijking (7.2) een oplossing van vergelijking (7.3) of van . Dus heeft de vergelijking (7.2), dat is vergelijking (7.1) met het linker lid herschreven, hoogstens oplossingen.
Met volledige inductie volgt dat voor iedere een vergelijking van graad over een lichaam hoogstens oplossingen heeft. □
Is een oplossing van de kwadratische vergelijking , dan kunnen we volgens bovenstaande methode deze vergelijking dus als volgt herschrijven:
Is een oplossing, dan is dus ook een oplossing en meer oplossingen zijn er niet. Hun som is en hun product . In hoofdstuk 17 zullen we het getalsysteem zover hebben uitgebreid dat iedere veeltermvergelijking van graad een oplossing heeft.