] >
Verschillende breuken kunnen hetzelfde rationale getal voorstellen. In plaats van kun je ook schrijven , maar dat is wel wat onoverzichtelijker. Deze paragraaf gaat over het omgekeerde: het vereenvoudigen van breuken.
7.20 Definitie. Laten en gehele getallen zijn. Het gehele getal heet een deler van als er een geheel getal is met . Notatie: . We zeggen ook: is een veelvoud van , of is een -voud. Is geen deler van , dan schrijven we dit als: .
, | want . |
, | want . |
, | want . |
, | want . |
, | want . |
, | want . |
Merk op dat ‘’ hetzelfde betekent als ‘ is even’, en dat ‘’ betekent dat oneven is.
Zijn en gehele getallen, dan betekenen ‘’ en ‘’ niet hetzelfde: het eerste is een uitspraak en het tweede is geen uitspraak, maar een getal. Als , dan hebben we
Daarbij zien we zoals hierboven als een deel van .
We leiden een aantal eenvoudige rekenregels af voor delers van getallen. Dat is tegelijk een goede oefening in het werken met de relatie .
Bewijs.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. We onderscheiden twee gevallen.
Een geheel getal met heeft slechts eindig veel delers. Het getal heeft oneindig veel delers, nl. alle gehele getallen. Anderzijds heeft een geheel getal oneindig veel veelvouden, terwijl alleen als veelvoud heeft. In deze paragraaf beschouwen we de delers die twee getallen gemeen hebben.
7.24 Definitie. Laten en gehele getallen zijn. We zeggen dat een gemene deler is van en als
Als of dan zijn er slechts eindig veel gemene delers van en . Dan is er ook een grootste. Deze noemen we de grootste gemene deler van en , en noteren we als . Als , dan heten en relatief priem.
7.25 Voorbeeld. De delers van zijn: , , , , , , , . De delers van zijn: , , , , , . De gemene delers van en zijn dus: , , , . Dus is de grootste gemene deler.
Uit de definitie volgt onmiddellijk, dat
zodat het bepalen van een ggd neerkomt op het bepalen van de ggd van natuurlijke getallen. Verder volgt uit de definitie dat de ggd een natuurlijk getal is. Ook kunnen we ons bij het bepalen van een ggd tot de positieve delers beperken.
Bij een gegeven breuk kunnen we zowel de teller als de noemer door delen, zeg en . Dan
Er geldt : als en , dan en en dus , ofwel .
7.26 Definitie. Zij een rationaal getal. Laten en zo zijn dat . Dan zeggen we dat een noemer van is.
Er geldt dus: is een noemer van als . Er is dus een noemer met . We zullen zien dat dit ook de kleinste noemer is.