] >
Het algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler van twee natuurlijke getallen is meetkundig te interpreteren. We zeggen dat een lijnstuk een maat is voor een lijnstuk als precies een geheel aantal keren in opgaat. Hebben twee lijnstukken een gemene maat, dan noemen we ze onderling meetbaar of commensurabel. Met de meetkundige versie van het algoritme van Euclides wordt de grootste gemene maat van twee gegeven onderling meetbare lijnstukken bepaald. Zo is het ook in de Elementen van Euclides beschreven: de Grieken deden niet aan getallen, wel aan lijnstukken.
Zijn twee gegeven lijnstukken onderling onmeetbaar of incommensurabel., dan kun je daar hetzelfde procedé op toepassen, alleen zal er dan geen einde aan komen. Wel levert het je steeds betere rationale benaderingen van de verhouding van de gegeven lijnstukken.
Heb je twee lijnstukken, dan kun je het algoritme van Euclides zien als herhaald gehele veelvouden van een lijnstuk aftrekken van het andere lijnstuk. Zijn de lijnstukken de zijden van een rechthoek, dan kun je dit binnen de rechthoek in beeld brengen door er zo vaak als mogelijk vierkanten van af te halen. De zijde van een klein vierkantje in deze figuur is de gemene maat van de zijden van de rechthoek. Bij een rechthoek met zijden en geeft dit:
Een bij de Grieken zeer geliefde verhouding was de gulden snede, waarbij een lijnstuk in twee delen wordt verdeeld, een deel en een kleiner deel zo dat de verhouding van tot dezelfde is als die van het gehele lijnstuk tot .
Deze verhouding zag men ook als ideaal voor de verhouding van de zijden van een rechthoek:
We kunnen ook zeggen: als aan zo’n rechthoek een vierkant wordt geplakt, dan krijgen we weer zo’n rechthoek:
Of nog anders: als van zo’n rechthoek op de volgende wijze een vierkant wordt afgesneden, dan blijft er weer zo’n rechthoek over.
Schrijven we , dan volgt uit
dat
ofwel . Om deze kwadratische vergelijking te kunnen oplossen is het nodig dat een kwadraat is. We zullen zien in hoofdstuk 8 dat dat in niet is. Hier kunnen we het ook als volgt inzien: als rationaal is, dan stopt het algoritme van Euclides, maar hier gaat het eindeloos door.
Een andere redenering is: als met , dan: . Omdat kunnen we dus ook met een kleinere teller schrijven. Herhaald toepassen geeft een strikt dalende rij tellers in . Dat is niet mogelijk.
De gulden snede treedt op als verhouding van een diagonaal en een zijde van een regelmatige vijfhoek.
Het is niet moeilijk om dat in te zien. We gebruiken daartoe de volgende figuur waarin twee diagonalen zijn getekend.
De diagonaal is evenwijdig aan de zijde en de diagonaal aan de zijde . Dus is een ruit. Driehoek is gelijkvormig met driehoek . Is de lengte van een diagonaal en die van een zijde , dan