] >
8.1 Definitie. Een natuurlijk getal heet een priemgetal als en de enige positieve delers van zijn. Een priemgetal dat een deler is van een geheel getal heet een priemdeler van . Andere getallen heten samengesteld. We noemen een deler van een echte deler als en . Een priemgetal is dus een natuurlijk getal zonder echte delers.
Buiten en hebben we dus twee soorten natuurlijke getallen: priemgetallen en samengestelde getallen. Voor een samengesteld getal geldt dat er natuurlijke getallen en zijn zodat en .
We zullen zien dat iedere een product is van een aantal priemgetallen, waarbij we ook en als aantal toelaten:
aantal priemdelers: | aantal priemfactoren: | |
We zullen de -notatie gebruiken voor vermenigvuldigen op dezelfde manier als de -notatie voor optellen. We hebben de afspraak dat een lege som is. We spreken nu af dat een leeg product (een product met factoren) is. Een priemfactorontbinding wordt gegeven door van ieder priemgetal het aantal priemfactoren te geven die gelijk zijn aan dat priemgetal: slechts voor een eindig aantal priemgetallen kan dit aantal factoren groter dan zijn. Een priemfactorontbinding van een is dan als volgt te schrijven:
waarbij het product over alle priemgetallen wordt genomen en de natuurlijke getallen op een eindig aantal na gelijk aan zijn, bijvoorbeeld , dus
met , , en voor alle . Met het product wordt steeds een eindig product bedoeld: het is het product van factoren en daar zijn er maar eindig veel van.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
met de deelverzameling
is een gerichte graaf. Als je begint in een hoekpunt , ribben volgt (in de goede richting), dan kom je uit in . Onderweg heb je gedeeld door priemgetallen en dan geldt dus . In bovenstaand bewijs deelden we steeds door de kleinste priemdeler.
De priemgetallen zijn op te vatten als de bouwstenen van de getallen in . In de volgende paragraaf bewijzen we de hoofdstelling van de rekenkunde die zegt dat zo’n getal op unieke wijze is opgebouwd uit priemgetallen. Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen, maar daar volgt nog niet uit dat er ook oneindig veel priemgetallen zijn. Waarom er oneindig veel zijn staat al beschreven bij Euclides.
Bewijs. Laat niet leeg zijn (neem anders ). Laat het product zijn van de priemgetallen in met daarbij opgeteld:
Voor iedere geldt dat de rest van bij deling door gelijk is aan . Dus voor alle . Een priemdeler van is geen element van . Volgens Propositie 8.2 bestaat er zo’n . □
Er is dus geen grootste priemgetal, want anders zouden er eindig veel zijn en dan zou er volgens de stelling nog een ontbreken. Heb je een lijst van de eerste priemgetallen, dan is de verzameling van de priemgetallen die niet in deze lijst staan niet leeg en deze bevat een kleinste, het -ste priemgetal.