] >
De hoofdstelling van de rekenkunde zegt dat priemfactorontbindingen uniek zijn. Eerst twee proposities die we daarvoor gebruiken.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
8.5 Definitie. Zij met en zij een priemgetal. Dan volgt uit Propositie 8.4 dat er unieke en zijn zo dat en . Het getal heet de -adische waarde of ook de -adische valuatie van . Notatie: .
M.a.w. is het aantal factoren dat uit gehaald kan worden. Het getal dat overblijft heeft geen factor . We hebben dus bij ieder priemgetal een afbeelding
Deze afbeelding is surjectief: .
Is de verzameling der gehele getallen die geen -voud zijn, dan hebben we de afbeelding
Uit Propositie 8.4 volgt dat deze afbeelding bijectief is. De inverse afbeelding is
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Laat van een priemfactorontbinding gegeven zijn:
We bewijzen dat voor ieder priemgetal het getal gelijk is aan .
Zij een priemgetal. Dan met . Uit Propositie 8.6 volgt dat . Dus .
Voor ieder priemgetal geldt dus . □
De priemfactorontbinding van kunnen we dus algemeen als volgt schrijven
We zijn zo vertrouwd met de eenduidigheid van priemfactorontbindingen dat we die als vanzelfsprekend ervaren. Het volgende voorbeeld laat zien dat zoiets niet zo vanzelfsprekend is. Laat de verzameling zijn van alle natuurlijke getallen met rest bij deling door , alle -vouden plus dus. Deze verzameling is duidelijk gesloten onder vermenigvuldiging: als , dan . Ook in kun je getallen ontbinden als product van getallen zonder echte ontbinding in . Bijvoorbeeld . De getallen en hebben geen echte ontbinding in . Echter: en heeft ook geen echte ontbinding in .