] >
We ordenen de priemgetallen naar grootte: , , . Het getal is dus het -de priemgetal. We hebben zo wegens de hoofdstelling van de rekenkunde een bijectie
Hierbij is de verzameling van rijen in die een staart nullen hebben. Vermenigvuldigen in correspondeert met componentsgewijs optellen van de bijbehorende rijen in :
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Via de priemfactorontbindingen kunnen we het vermenigvuldigen in dus vertalen in optellen in . Deze vertaling maakt de vermenigvuldigingsstructuur van overzichtelijk.
Bewijs.
en dus □
8.10 Voorbeeld. De positieve delers van zijn juist de getallen met , en ; er zijn dus delers. Figuur 8.1 is het Hassediagram van deze geordende verzameling (met als ordening ).
Uit de hoofdstelling volgt dat de priemfactorontbindingen van en eenvoudig uit die van en zijn af te leiden:
Bewijs. Een is een gemene deler van en dan en slechts dan als en , ofwel voor alle priemgetallen . Voor de grootste gemene deler geldt dan dat voor alle priemgetallen . Voor het kleinste gemene veelvoud gaat het bewijs analoog. □
Dit geeft een manier om de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen. Daarbij moet van deze getallen eerst de priemfactorontbinding worden bepaald en dat is voor grote getallen ondoenlijk. We komen daar in hoofdstuk 13 op terug. Het bepalen van de grootste gemene deler gaat zeer efficiënt met het algoritme van Euclides, zie paragraaf 7.4. Propositie 8.11 is van theoretisch belang. Dat betekent niet dat hij voor het concrete rekenwerk van geen betekenis is.
Merk verder op dat met deze propositie eenvoudig opnieuw volgt dat
De hoofdstelling van de rekenkunde beschrijft de vermenigvuldigingsstructuur van . We kunnen dit eenvoudig uitbreiden tot de vermenigvuldigingsstructuur van .
8.12 Definitie. Zij een priemgetal. De -adische waarde of -adische valuatie van een is als volgt gedefinieerd: schrijf met geheel, dan
Merk op dat dit niet afhangt van de keuze van en : als , dan en dus , ofwel .
We beperken ons tot de positieve rationale getallen. De verzameling van deze getallen zullen we hier aanduiden met . De afbeelding
is bijectief en de inverse is:
Ook hier is het zo dat de vermenigvuldiging (in ) correspondeert met de componentsgewijze optelling in , m.a.w. .
Met het verkregen inzicht in de vermenigvuldigingsstructuur van is het eenvoudig om na te gaan welke rationale getallen -de machten zijn (van een rationaal getal).
Laat een positief rationaal getal zijn. De priemfactorontbinding van , waarbij , wordt op eenvoudige wijze door die van bepaald:
De -adische waarde van een -de macht is een -voud voor ieder priemgetal . Is omgekeerd de -adische waarde voor ieder priemgetal van een een -voud, dan is een -de macht van een rationaal getal: schrijf , dan is de -de macht van :
We hebben dus aangetoond:
8.13 Propositie. Zij . Dan is een -de macht van een rationaal getal dan en slechts dan als voor ieder priemgetal het getal een -voud is. Een is de -de macht van een natuurlijk getal dan en slechts dan als voor ieder priemgetal het getal een -voud is. □
8.14 Voorbeelden. Het getal is geen kwadraat van een rationaal getal, want en dat is oneven. Zo is het getal ook geen kwadraat: is oneven. Het rationale getal is geen derdemacht van een rationaal getal, want , en dat is geen -voud.
Onder verstaan we een positief getal waarvan het kwadraat is. Omdat geen kwadraat is, bestaat er in geen . Later zullen we de rationale getallen uitbreiden tot de reële getallen en dan is zo’n getal er wel, alleen is het geen rationaal getal, een irrationaal getal dus.