] >
We gaan de Diophantische vergelijking bestuderen. De hoofdstelling van de rekenkunde speelt een grote rol bij de oplossing ervan. De Laatste Stelling van Fermat gaat over de oplosbaarheid van de Diophantische vergelijking voor .
Voorbeelden zijn en . Meetkundig gezien gaat het om het bepalen van alle rechthoekige driehoeken waarvan de zijden een gehele lengte hebben.
Is een gemene deler van en , dan is ook een deler van , zeg , en , en dan is ook een Pythagoreïsch drietal. We kunnen ons dus beperken tot zgn. primitieve Pythagoreïsche drietallen, d.w.z. Pythagoreïsche drietallen met .
Laat nu een primitief Pythagoreïsch drietal zijn. Dan zijn en niet beide oneven, want anders zou bij deling door een rest hebben, hetgeen voor kwadraten niet het geval is. Door eventueel en te verwisselen kunnen we aannemen dat oneven en even is. Schrijf dan
ofwel
De getallen , en zijn even, dus zijn , en natuurlijke getallen, en er geldt:
Is een gemene deler van en , dan ook van
Omdat primitief is hebben we . Dus . We gebruiken nu het volgende lemma.
8.16 Lemma. Zij . Laten en elementen zijn van zo dat een -de macht is en . Dan zijn en beide -de machten.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Uit dit lemma volgt dat en kwadraten zijn. Schrijf nu
Dan , en . We hebben dus bewezen:
2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
etc. | ||||
Voor welke en is dit een primitief drietal? Als een gemene deler is van en , dan ook van en , dus het is nodig dat . Verder kunnen en niet beide oneven zijn, want dan zouden en beide even zijn en dus 2 een gemene deler van deze getallen zijn. Deze eisen zijn ook voldoende:
8.18 Propositie. Laten en natuurlijke getallen zijn met , en en niet beide oneven. Dan is een primitief Pythagoreïsch drietal.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Met behulp van bovenstaande resultaten kan men een (oneindige) tabel maken van alle primitieve Pythagoreïsche drietallen, zie Figuur 8.2. Voor een ander bewijs, zie opgave ??.
Het is dus zeer wel mogelijk dat de som van twee kwadraten weer een kwadraat is. Volgens een aantekening van Fermat in de kantlijn van een vertaling van het werk van Diophantus—daar waar het over Pythagoreïsche drietallen gaat—had hij een mooi bewijs gevonden voor de bewering dat voor iedere de som van twee -de machten geen -de macht is; de kantlijn was echter te klein om er dat mooie bewijs in op te schrijven. De genoemde bewering staat bekend als de Laatste Stelling van Fermat. Pogingen om een bewijs te vinden hebben aanleiding gegeven tot prachtige wiskundige theorieën. Pas in 1995 is de Laatste Stelling van Fermat bewezen door de Engelse wiskundige Andrew Wiles. Het is een gevolg van een door hem bewezen vermoeden over zgn. elliptische krommen. Het geval is bewezen door Fermat. Voor is het door Euler bewezen, zij het dat er wel wat aan dat bewijs haperde, maar dat is later zonder veel moeite hersteld.
Als , zeg en is een oplossing van , dan
en dus is een oplossing van . Hiermee is het probleem teruggebracht tot of een oneven priemgetal, immers als geen veelvoud is van een oneven priemgetal, dan is een macht van 2, en omdat is hij dan een -voud.
Bewijs.
Stel de vergelijking heeft wel oplossingen. Laat het kleinste kwadraat zijn dat te schrijven is als de som van twee vierdemachten, zeg . Dan , want anders was er een kleiner kwadraat met deze eigenschap. Dus is een primitief Pythagoreïsch drietal en dus zijn er zijn met
(eventueel na verwisseling van en ). Omdat oneven is, is de rest van bij deling door gelijk aan . Met volgt dat oneven en even is. We hebben
dus zijn en beide kwadraten, zeg en . Omdat een primitief Pythagoreïsch drietal is zijn er met en
(Merk op dat oneven en even is.) Uit en volgt dat en kwadraten zijn. Ook is een kwadraat en uit volgt nu dat een som is van twee vierdemachten, en er geldt
dus . Tegenspraak, want was het kleinste kwadraat dat als een som van twee vierde machten te schrijven is.
Dus is geen enkel kwadraat de som van twee vierde machten. □