8.20 Definitie. Een functie
noemt men een rekenkundige (of arithmetische) functie (en is dus in feite een rij rationale
getallen: ,
,
… ). (Later, als we meer getallen hebben, kunnen we het begrip uitbreiden tot functies
.)
8.21Voorbeelden.
.
Uit Gevolg 8.9 volgt dat dit aantal bepaald is door de priemfactorontbinding:
Bij een rekenkundige functie is
een nieuwe rekenkundige functie
te maken:
Hierbij wordt de som genomen over alle positieve delers
van
.
Voorbeelden hiervan:
Deze constructie van
uit is
een speciaal geval van het volgende.
8.22 Definitie. Het Dirichletproduct
van rekenkundige functies
en
is de rekenkundige functie die wordt gegeven door
8.23Voorbeelden.
,
dus .
,
dus .
Er gelden eenvoudige rekenregels voor het Dirichletproduct:
8.24 Propositie.De bewerkingis associatief, commutatief enis een neutraal element.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De rekenkundige functies vormen met het Dirichletproduct een Abelse monoïde
met
als neutraal element (eenheidselement).
8.25 Definitie. Een rekenkundige functie
heet multiplicatief als
voor alle
met .
Hij heet strikt multiplicatief als
voor alle .
8.26Voorbeelden. Alle in Voorbeelden 8.21 genoemde functies zijn multiplicatief, de
functies ,
en
zijn strikt multiplicatief.
8.27 Propositie.Latenenmultiplicatieve rekenkundige functies zijn. Dan is ookmultiplicatief.
Bewijs. Voor
met
geldt:
Deze propositie kan worden gebruikt om aan te tonen dat een rekenkundige functie
multiplicatief is. Voor
volgt uit Gevolg 8.9 dat hij multiplicatief is, zie ook Voorbeelden 8.21. Omdat de
rekenkundige functie
duidelijk multiplicatief is en ,
volgt dit ook uit bovenstaande propositie en daarmee ook de in Voorbeelden 8.21
gegeven formule voor .
8.28Gevolg. De rekenkundige functieis multiplicatief. Er geldt:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We zullen zien dat de constante rekenkundige functie
inverteerbaar is m.b.t. het Dirichletproduct.
8.29Definities. Een
heet kwadraatvrij als
voor alle priemgetallen .
De Möbiusfunctie is de rekenkundige functie
die gedefinieerd is door:
August Möbius (Schulpforta 1790 – Leipzig 1868)
Möbius studeerde wiskunde en sterrenkunde bij Gauß en Pfaff, de leermeester
van Gauß. Hij is vooral bekend geworden door de Möbiusband, een eenzijdig
oppervlak.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
8.31Omkeerstelling van Möbius.Zij een rekenkundige functie. Stel .Dan .
Bewijs. .
□
Een direct gevolg van deze stelling en Propositie 8.27 is:
8.32Gevolg. Zij een rekenkundige functie. Stel .Dan:
8.5.1Perfecte getallen
Bij de Grieken was er om esthetische redenen belangstelling voor perfecte getallen,
getallen die de som zijn van hun delers m.u.v. het getal zelf. Bijvoorbeeld
en ook
.
8.33 Definitie. Een
heet perfect als .
Bij Euclides zijn de volgende voorbeelden van perfecte getallen al beschreven:
8.34 Propositie.Zijzodateen priemgetal is. Dan iseen perfect getal.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De getallen
en zijn van
deze vorm:
en .
Euler liet zien dat alle even perfecte getallen van deze vorm zijn:
8.35Propositie (Euler). Zij een even perfect getal. Dan is er een zodat een priemgetal is en .
Bewijs. Schrijf
met
en
oneven. Dan
en, omdat
perfect is, ook .
Dus .
Omdat
volgt hieruit dat ,
zeg .
Dan
en dus .
De getallen
en
zijn dus de enige delers van .
Dus
en
is een priemgetal. □
Leonhard Euler (Basel 1707 – St. Petersburg 1783)
De betekenis van Euler voor de ontwikkeling van de wiskunde is enorm. Hij was verreweg
de meest productieve wiskundige van zijn tijd. Veel wiskundige begrippen dragen
zijn naam. Als alles wat hij bedacht heeft naar hem genoemd zou zijn, dan kwam
je zijn naam nog veel vaker tegen. Hij was een meester in het hoofdrekenen. Dat
hij de wiskunde zonder het maken van aantekeningen goed kon beoefenen, kwam
hem op latere leeftijd goed van pas: hij werd blind, maar werkte niet minder hard
verder.
De even perfecte getallen corresponderen dus met de priemgetallen van de vorm
.
Het is niet bekend of er ook oneven perfecte getallen bestaan. Wat de even perfecte
getallen betreft blijft dus het probleem welke van de getallen
priemgetallen zijn.
8.36 Definitie. Een priemgetal van de vorm ,
waarbij
heet een Mersennepriemgetal.
Is geen
priemgetal, dan is
dat ook niet:
8.37 Propositie.Zijzodateen priemgetal is. Dan iseen priemgetal.
Bewijs. Uit
voor
volgt dat .
Dus als
een priemgetal is, dan
of .
Stel
met .
Omdat
een priemgetal is volgt dat
of .
Als ,
dan .
Dus is
een priemgetal. □
Het omgekeerde is niet waar: .
Op de site www.mersenne.org staan alle Mersennepriemgetallen die totdusverre
bekend zijn. Dat zijn er nu (30 augustus 2009) slechts .
Het laatste dateert van 12 april 2009. Omdat er voor dit soort priemgetallen een
efficiënt algoritme is, van Lucas (en verbeterd door Lehmer), is het grootst
bekende Mersennepriemgetal gewoonlijk tevens het grootst bekende priemgetal.
Het -ste
Mersennepriemgetal dat gevonden is, is nu het grootste:
gevonden op 23 augustus 2008. Uitgeschreven in de tientallige notatie bestaat het
uit
cijfers.
Marin Mersenne (Oize 1588 – Parijs 1648)
Mersennepriemgetallen zijn genoemd naar de Franse monnik Mersenne. Hij is bekend
geworden door zijn werk in de getaltheorie en feitelijk nog meer door zijn correspondentie met
belangrijke wiskundigen.
8.38 Definitie. Zij .
De Eulerindicator
van het getal
is het aantal natuurlijke getallen
met .
Dus
We hebben zo een rekenkundige functie
met ,
,
,
,
,
. Het is
duidelijk dat
als .
Ook hebben we:
8.39 Propositie.Zij .Dan:
Bewijs.
Zij
een priemgetal. Dan .
Dus .
Omdat
(en dus )
geldt dat
voor alle
met .
Dus is er geen deler
van
met ,
ofwel
is een priemgetal. □
Voor priemmachten is de Eulerindicator eenvoudig te bepalen:
8.40 Propositie.Zij een priemgetal en .Dan .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
8.41 Propositie.Zij .Dan .
Bewijs. Beschouw de
rationale getallen
Het zijn de rationale getallen
met
die met een noemer
geschreven kunnen worden. De kleinste noemer van
is .
Voor iedere deler
van
hebben
van deze rationale getallen
als kleinste noemer. We krijgen zo een partitie van
waarbij de klassen uit de rationale getallen bestaan met dezelfde kleinste noemer. Hieruit
volgt de propositie. □
8.42Gevolg. De Eulerindicator is een multiplicatieve rekenkundige functie.
In hoofdstuk 11 bewijzen we dit opnieuw. Dan op een meer inzichtelijke manier.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □