] >
Laten en getallen zijn. We gaan in de uitdrukking
de ‘haakjes uitwerken’. Dat levert een som van termen en elke term is een product van factoren. Vervolgens kijken we naar speciale gevallen: bijvoorbeeld alle hetzelfde, of alle hetzelfde en ook alle hetzelfde.
9.10 Notatie. Voor de overzichtelijkheid voeren we (tijdelijk) de volgende notatie in:
waarbij getallen en een deelverzameling van . Dus bijvoorbeeld als , dan
Bewijs. We bewijzen de stelling met volledige inductie naar . Voor hebben we links een leeg product en dat is gelijk aan . Rechts staat .
Stel de formule klopt voor een . Stel we hebben getallen en . Dan te bewijzen
Dit volgt met uitschrijven:
We nemen nu .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De formule uit de stelling treedt vaak op in de volgende gedaante:
waarbij . Rechts staat een veelterm in van graad en links staat hij als product van factoren elk van de gedaante . Stel je de veelterm rechts gelijk aan , dan heb je een -de graads vergelijking met de oplossingen . Uitgaande van de oplossingen vind je een vergelijking waar ze de oplossingen van zijn. Bij het oplossen van vergelijkingen moet je de omgekeerde weg zien te bewandelen.
Voor bijvoorbeeld hebben we:
De getallen heten binomiaalcoëfficiënten omdat ze optreden als coëfficiënten bij het uitvermenigvuldigen van een macht van een 2-term (een binomium).
Bewijs. We passen Stelling 9.11 met toe. Omdat hebben we nu en dus
Isaac Newton (Woolsthorpe 1642 – Londen 1727)
De binomiaalformule van Newton was in Newtons tijd al minstens vijf eeuwen bekend. Newton generaliseerde de formule van exponenten in naar exponenten in :
voor alle , een typische calculusformule. Hierbij is gedefinieerd als in Definitie 9.26.
We constateerden al eerder dat de som van de getallen in de -de rij van de driehoek van Pascal is. Hier zien we dat nog eens:
Merk op dat kennelijk . Ga maar na wat de formule voor is. In het bewijs hebben we stilzwijgend gebruikt dat bijvoorbeeld . Willen we dat de formule algemeen geldig is, dan is het dus handig om af te spreken dat , hetgeen we in hoofdstuk 2 ook gedaan hebben.