] >
De -de term van de rij is een veelterm in . Met inductie is eenvoudig aan te tonen dat . De rij waarvan de -de term gelijk is aan de som van de eerste kwadraten heeft dus ook de eigenschap dat de -de term een veelterm in is. In deze paragraaf bestuderen we rijen met deze eigenschap.
9.17 Definitie. Een veeltermrij is een rij , waarbij een veelterm in is. De graad van een veeltermrij is de graad van de veelterm . (De rij is de enige veeltermrij zonder graad.)
Is een veelterm, zeg , dan is ook ook een veelterm:
en er geldt
Als , dan is de graad van gelijk aan . De kopcoëfficiënt van is .
9.18 Definitie. Zij een rij van getallen. De rij met heet de verschilrij van de rij . De rij met heet de somrij van de rij .
Merk op dat de verschilrij van de somrij van de oorspronkelijke rij is. De somrij van de verschilrij van is de rij ; de termen schelen de constante met de termen van de rij .
9.19 Notatie. Voor een veelterm noteren we de veelterm met . De verschilrij van een veeltermrij is dan de veeltermrij .
is te zien als een transformatie van de verzameling der veeltermen. Er is een unieke veelterm met , namelijk , de -veelterm.
9.20 Voorbeeld. De rij van de -de machten van de natuurlijke getallen is een veeltermrij. Het is de rij . We nemen de verschilrij, de verschilrij van de verschilrij, etc.:
We hebben , , en voor alle .
Bewijs. Omdat bij iedere toepassing van de graad van de veelterm met vermindert, is de veelterm van graad , d.w.z. het is een constante . Verder wordt bij iedere toepassing van de kopcoëfficiënt met de graad vermenigvuldigd. □
Het verloop van een veelterm van graad onder is dus
met constant en .
De somrij van een veeltermrij heeft die veeltermrij als verschilrij. We laten zien dat de somrij ook een veeltermrij is. In het bijzonder hebben we dan dat de somrij van (waarbij ) een veeltermrij is.
9.23 Lemma. Laten en getallenrijen zijn en en getallen. Zijn en de somrijen van en en zijn en de verschilrijen, dan zijn en de som- en verschilrij van .
Bewijs. Dit volgt uit
en
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Wegens Lemma 9.23 is de somrij van gelijk aan de rij . De somrij kunnen we dus bepalen zodra we de somrijen met hebben. Er zijn dus met . Het gaat erom deze te vinden. Tot dusverre is het alleen duidelijk dat en . We beschrijven drie methoden om dit te doen: van Pascal, van Newton en van Bernoulli. Pascals methode levert een recursieve betrekking voor de . Newtons methode werkt voor willekeurige veeltermrijen (niet alleen voor ). Dat geldt ook voor Bernoulli’s methode, maar als je hem beperkt tot rijen en nog een slimme truc toepast, dan krijg je een recursieve betrekking, niet voor de veeltermen , maar voor de coëfficiënten ervan.
De methode van Pascal houdt in dat je de rij schrijft als de somrij van z’n verschilrij. De verschilrij van is de rij met als -de term
Volgens de binomiaalformule van Newton is dit gelijk aan
Nemen we hiervan de somrij dan krijgen we terug en dus
Zijn de voor berekend, dan is vervolgens te berekenen.
9.25 Voorbeeld. We berekenen . We doen dit door eerst achtereenvolgens , en te berekenen.
Uit volgt
Vervolgens berekenen we eerst en dan :
Dus
Ten slotte
en dus
Voor binomiaalcoëfficiënten hebben we
Het rechterlid is een veelterm in en heeft ook betekenis voor . We kunnen de definitie van binomiaalcoëfficiënten uitbreiden.
Ook voor deze binomiaalcoëfficiënten hebben we een algemene regel:
Bewijs.
Voor iedere hebben we nu een veeltermrij met . Voor geldt . In Figuur 9.8 is de driehoek van Pascal met deze waarden aangevuld en zijn de veeltermrijen aangegeven.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. We bewijzen de stelling met inductie naar de graad van . Voor is het rechterlid en dat is gelijk aan omdat de graad is.
Stel de formule is juist voor veeltermen van graad . Laat een veelterm zijn van graad . Zij . Dan te bewijzen dat . De rijen en hebben dezelfde -de term:
We bewijzen dat de verschilrijen gelijk zijn.
en omdat een veelterm van graad is, geldt wegens de inductieaanname
De rijen en zijn dus gelijk. □
Hebben we een veeltermrij van graad , dan hebben we dus een formule voor waarvoor we alleen hoeven te weten, d.w.z. hij wordt bepaald door de -de termen van de verschilrijen.
9.30 Voorbeeld. We bepalen opnieuw de somrij van . De verschilrij van die somrij is en de -de term van een somrij is altijd . In het volgende schema staat alles wat we nodig hebben voor een formule voor de termen die met een ? zijn aangegeven.
We krijgen
Bij de twee voorgaande methodes voor het bepalen van moet veel worden gerekend: bij Pascals methode eerst één voor één alle voorgaande berekenen en vervolgens de sommeren, bij Newtons methode moeten de begintermen van de verschilrijen worden berekend, veeltermen uitgewerkt en daarna nog gesommeerd.
Omdat je weet dat de gezochte uitdrukking een veelterm van graad is, kun je met een willekeurige veelterm van graad beginnen en vervolgens de coëfficiënten berekenen: je weet de beginterm en je kent de verschilrij. Dat is de eenvoudigste manier. Wel moet je dit voor iedere opnieuw uitvoeren tenzij je er regelmaat in ziet.
9.31 Voorbeeld. Nogmaals de somrij van . Deze is van graad , zeg
Te berekenen . We weten al dat en . Dat laatste komt doordat de beginterm is. We berekenen de verschilterm (daar komt natuurlijk niet in voor):
Deze moet voor iedere gelijk zijn aan . Dat kan alleen als
Dit is het resultaat van het vergelijken van de coëfficiënten van de . Deze moeten wel gelijk zijn omdat we anders een vergelijking van graad zouden hebben met meer dan (zelfs oneindig veel) oplossingen. Dit stelsel is eenvoudig van boven naar beneden op te lossen en het is duidelijk dat er een unieke oplossing is (wat we al wisten). We vinden achtereenvolgens , , , . Dus inderdaad .
Bernoulli ging nog een stapje verder. De door Bernoulli gevonden beschrijving voor de coëfficiënten van vertoont veel samenhang voor de diverse . We beginnen weer als hierboven, maar nu algemeen voor een . We schrijven
Omdat is de constante term . Dan
De termen van de verschilrij zijn dan
We nemen gelijke machten van bij elkaar ():
De voldoen dus aan de vergelijkingen
Tot zover is dit niet anders dan wat we in het voorbeeld voor hebben gedaan. Nu een slimme truc. We gaan over op nieuwe onbekenden :
We zullen zien dat de niet van afhangen. We maken daarbij gebruik van de eenvoudig te verifiëren gelijkheid
Voor krijgen we dan
Dus . Voor :
ofwel
Voor de hebben we dus de vergelijkingen
Voor de formule voor zijn alleen de eerste van deze vergelijkingen nodig.
Uit de definitie blijkt dat ieder volgend Bernoulligetal berekend kan worden binnen het lichaam . De Bernoulligetallen zijn dus rationale getallen.
Samengevat ziet de inductieve beschrijving van de Bernoulligetallen er dan als volgt uit:
De eerste Bernoulligetallen:
We hebben dus gevonden:
9.34 Voorbeeld. Opnieuw . Uit Stelling 9.33 volgt
De berekening van de eerste 15 Bernoulligetallen doet vermoeden dat voor oneven en . We laten zien dat dat inderdaad het geval is. Het is handig hetgeen we gevonden hebben te formuleren in termen van de Bernoulliveeltermen die we nu eerst definiëren.
Stelling 9.33 wordt nu: . De veeltermen en hebben dezelfde verschilveelterm, namelijk , ofwel de verschilveelterm van is . De constante term van is . Verder volgt uit de definitie van de Bernoulligetallen dat
We gaan nu aantonen dat voor oneven en . Daartoe beschouwen we de veeltermen
Eerst berekenen we de verschilveelterm van :
De verschilveeltermen van en zijn gelijk en dus is de veelterm constant. In het bijzonder hebben beide veeltermen dezelfde coëfficiënt van . De coëfficiënt van in de veelterm is . De coëfficiënt van in de veelterm is gelijk aan
Voor is deze coëfficiënt dus . Omdat deze gelijk is aan hebben we dus aangetoond:
Hieruit volgt dat en ook dezelfde constante term hebben: die van is en die van is hetgeen voor gelijk is aan . Voor hebben we en . Dus:
Bernoulligetallen kom je in de wiskunde vaker tegen. Zo boekte de Duitse wiskundige Ernst Eduard Kummer (Sorau 1810 – Berlijn 1893) vooruitgang bij de Laatste Stelling van Fermat: hij bewees de stelling voor exponenten , waarbij een ‘regulier’ priemgetal is. Een priemgetal is regulier als de tellers van de Bernoulligetallen met geen -vouden zijn. Helaas zijn er oneindig veel irreguliere priemgetallen. Als je rekent met niet alleen de gehele getallen, maar met de gehele getallen en ook nog de -de eenheidswortel (een complex getal met , zie hoofdstuk 17), dan geldt in dat nieuwe getalsysteem (als ) niet het analogon van de hoofdstelling van de rekenkunde. Is regulier, dan geldt er nog genoeg dat er op lijkt om te kunnen gebruiken voor de Laatste Stelling van Fermat.
Bij het berekenen van het -de Bernoulligetal zijn alle voorgaande Bernoulligetallen nodig en moet ook een nieuwe rij in de driehoek van Pascal worden berekend. Voor dat laatste is alleen de voorgaande rij nodig.
De functie combrow(n) geeft een rij van binomiaalcoëfficiënten. De functie bernoulli(n) geeft de rij van Bernoulligetallen t/m : er wordt steeds een nieuwe rij van binomiaalcoëfficiënten gemaakt en met behulp daarvan het volgende Bernoulligetal berekend. De module combinatorics.py is met deze functies aangevuld.