] >
In deze paragraaf is een vast positief natuurlijk getal. We gaan in de verzameling van restklassen modulo een optelling definiëren. We gaan de optelling zo definiëren dat hij afkomstig is van de optelling van elementen uit de op te tellen klassen.
Bewijs. Omdat en , geldt ook , ofwel . □
De restklassen en zijn gegeven door hun representanten en . Dat hadden ook andere kunnen zijn, zeg en . Uit Lemma 11.5 volgt dat de keuze van de representanten van de restklassen niet van invloed is op het resultaat. Dit maakt dat met de hier gegeven definitie de som van de restklassen ondubbelzinnig bepaald is.
Bewijs. Het bewijs is eenvoudig, maar gezien het belang van deze propositie zullen we het bewijs uitschrijven. We moeten de eisen voor een Abelse groep verifiëren: associativiteit, commutativiteit, bestaan van een nulelement, bestaan van een tegengestelde.
Dat met de optelling een Abelse groep is, is dus duidelijk een direct gevolg van het feit dat een Abelse groep is. Het bewijs gaat als vanzelf. Dat is het voordeel van deze opzet met restklassen. Als we ervoor hadden gekozen de resten bij deling door te nemen, dus de verzameling , dan hadden we daarin een optelling kunnen definiëren door delen met rest te gebruiken: de som van en is dan de rest van bij deling door . Om te bewijzen dat zo een Abelse groep is verkregen, is veel bewerkelijker: voor de associativiteit bijvoorbeeld moeten dan nogal wat gevallen onderscheiden worden.
De optelling in die we hier gedefinieerd hebben is erg overzichtelijk. Dat valt vooral op als er een tabel van de optelling wordt gemaakt:
Het definiëren van de vermenigvuldiging in gaat analoog aan het definiëren van de optelling.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Op grond van dit lemma kunnen we de vermenigvuldiging als volgt definiëren:
11.9 Definitie. Laten en gehele getallen zijn. We definiëren het product van en :
De staat er gewoonlijk alleen voor de duidelijkheid en wordt vaak weggelaten.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Uit het feit dat een commutatieve ring is, volgt dus op zeer eenvoudige wijze dat ook dat is.
De vermenigvuldigingstabel van ziet er minder overzichtelijk uit dan de optellingstabel. Dit zijn de tabellen voor :
De elementen van kun je aangeven met representanten. Gewoonlijk gebruiken we het representantensysteem . Optellen en vermenigvuldigen geschiedt dan in . Representanten worden verkregen als resten bij deling door . In Python doen we dit door na de bewerking in de rest bij deling door te nemen. We zetten dit in de module arithmetics.py.
De functie modprod is verder te versnellen door in een vermenigvuldigingsalgoritme geregeld de rest bij deling door te nemen. We doen dat hier niet.