] >
In deze paragraaf bekijken we de vermenigvuldigingsstructuur van de ring en daarbij in het bijzonder de elementen die een inverse hebben, d.w.z. we beschouwen de groep van de inverteerbare elementen in .
In de tabellen in Paragraaf 11.2 zien we dat , , , en . Van deze vijf ringen zijn er dus drie een lichaam. We hebben dus lichamen met , en elementen. We zullen zien dat een lichaam is voor ieder priemgetal .
Bewijs. Equivalent zijn achtereenvolgens:
Om te bepalen of een inverteerbaar is hoef je alleen na te gaan of en dat kan met het snelle algoritme van Euclides. Met het uitgebreide algoritme van Euclides bepaal je, als inverteerbaar is, de inverse van .
We vullen arithmetics.py aan met een functie die het uitgebreide algoritme van Euclides gebruikt voor het bepalen van een inverse.
De ring is een lichaam als alle elementen inverteerbaar zijn:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
11.15 Notatie. Voor ieder priemgetal hebben we dus een eindig lichaam: het lichaam met elementen. Lichamen zijn in de wiskunde zo belangrijk dat er voor dit lichaam een speciale notatie is: .
De F van deze notatie komt van ‘field’, de Engelse naam voor dit begrip. Er zijn ook nog andere eindige lichamen. Het aantal elementen van een eindig lichaam kan alleen een macht van een priemgetal zijn. We bewijzen dat hier niet. Zie paragraaf 18.1 voor een constructie van eindige lichamen met als aantal elementen het kwadraat van een priemgetal.
Zij een priemgetal. Omdat een lichaam is, is alles van paragraaf 7.2 over het oplossen van veeltermvergelijkingen van toepassing op vergelijkingen over .
11.16 Voorbeeld. Op te lossen in de lineaire vergelijking
Vermenigvuldig eerst met de inverse van , dat is :
Dus .
Voor het op deze manier oplossen van een lineaire vergelijking is het dus nodig om van een element de inverse te bepalen. Dat komt neer op het bepalen van met , bijvoorbeeld met het uitgebreide algoritme van Euclides. De inverse van is dan .
11.17 Voorbeeld. Op te lossen in de kwadratische vergelijking
Eerst vermenigvuldigen met de inverse van , dus met :
Dan een kwadraat ‘afsplitsen’:
Dus
en dus
De oplossingen zijn en .
Bij het op deze manier oplossen van een kwadratische vergelijking in moet je dus van een element van kunnen zien of het een kwadraat is, en als je weet dat het een kwadraat is, dan moet je ook nog bepalen waarvan. Voor het eerste bestaat er een oplossing die net zo snel is als het algoritme van Euclides. Het worteltrekken is dan nog wel een probleem. We komen hierop uitvoerig terug in hoofdstuk 12.
11.18 Voorbeeld. De volgende vergelijking over
(11.1) |
heeft de oplossingen , , en . Omdat de vergelijking van graad is zijn er niet meer oplossingen.
Over hetzelfde lichaam is een oplossing van
Met behulp van de oplossingen van vergelijking (11.1) kunnen nog drie oplossingen van deze vergelijking gevonden worden: , en .