] >
In deze paragraaf bestuderen we de Abelse groep van inverteerbare elementen in . We hebben al gezien dat voor geldt:
Dus volgt uit Stelling 8.43:
Deze formule voor de Eulerindicator zullen we in de volgende paragraaf opnieuw afleiden.
Zij . Vermenigvuldigen met is een permutatie van , de inverse permutatie is de vermenigvuldiging met . We noteren de vermenigvuldiging met als :
Is het aantal elementen van de baan van een onder deze permutatie gelijk aan , dan is deze baan de deelverzameling
waarbij het kleinst in zodat , ofwel . De grootte van de baan hangt dus niet van af: alle banen zijn even groot! Zijn er banen en is elk van lengte , dan hebben we dus . Het getal noemen we de orde van modulo :
Dit begrip orde is algemeen van toepassing op een element van een groep. Wel kan dan de orde ook oneindig zijn. Bijvoorbeeld: de optelgroep met daarin het element . We moeten dan kijken naar de permutatie . De baan van bestaat dan uit alle gehele getallen. Ook de permutaties van (met ) vormen een groep: de bewerking is het samenstellen van permutaties. Een -cykel is een permutatie van orde . De orde van een product van disjuncte cykels is het kleinste gemene veelvoud van de orde van deze cykels.
11.21 Voorbeeld. In Voorbeeld 11.12 berekenden we in de ring . Omdat , is inverteerbaar in , ofwel . Het aantal elementen van de groep is . Figuur 11.1 is een plaatje van de permutatie van de verzameling . Hij is een product van twee disjuncte cykels, elk van lengte . De machten van staan in de linker baan: . Begin je in , dan ben je na stappen keer rond geweest en na stappen dus nog stappen voorbij , d.w.z. dan ben je in . De rechter baan krijg je uit de linker door ieder element met (of een willekeurig ander element van de rechter baan) te vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen met doet de twee banen verwisselen.
We hebben gezien dat de orde een deler is van de Eulerindicator. Dat leidt direct tot de volgende stelling.
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Het speciale geval met een priemgetal levert:
De vergelijking over heeft dus oplossingen: alle elementen van het lichaam zijn oplossingen.
Kennen we de priemfactorontbinding van , dan kunnen we eenvoudig berekenen en daarmee kunnen we het machtsverheffen van inverteerbare elementen van snel uitvoeren.
11.24 Voorbeeld. We berekenen in . Er geldt . Omdat volgt uit de Stelling van Euler: . Delen met rest geeft , en dus . En rekent men eenvoudig uit, bijv.: , of , want .
Merk op dat niet het kleinste getal in behoeft te zijn zo dat voor alle met . Bijv. , terwijl voor alle .