] >
We bepalen de orde van een macht van een element .
Bewijs. We bepalen voor welke geldt dat . Equivalent zijn achtereenvolgens:
Hieruit volgt dat . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We gaan bewijzen dat indien bij rekenen modulo twee getallen als orde optreden, ook hun kleinste gemene veelvoud als orde optreedt. Eerst een speciaal geval.
Bewijs. We bepalen de getallen waarvoor de -de macht van in gelijk is aan . Equivalent zijn achtereenvolgens:
,
,
(want ,
en ),
en ,
en ,
.
Dus . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Uit Propositie 11.36 leiden we af dat alle ordes die bij het rekenen modulo optreden delers zijn van de maximale orde.
Bewijs. Neem met en . Zij met . Dan , want is de maximale orde. Volgens Propositie 11.36 is er een element met . Dan ook , ofwel . Daaruit volgt . Dus . □
Uit Propositie 11.37 gaan we afleiden dat er bij ieder priemgetal een getal is van orde modulo . Voor zo’n geldt er verschillende machten van zijn, ofwel
Niet voor alle bestaat er primitieve wortel modulo . Er is geen primitieve wortel modulo : en .
Bewijs. Laat de maximale orde modulo zijn. Dan . Te bewijzen dat . Uit Propositie 11.37 volgt dat iedere voldoet aan . Elk van de elementen is dus een oplossing van de vergelijking . Omdat een lichaam is heeft deze vergelijking hoogstens oplossingen. Dus . Omdat ook , hebben we . □
Is een primitieve wortel modulo een priemgetal , dan is de afbeelding , bijectief. Het is een isomorfisme van groepen: . De groepsbewerking is in de optelling en in de vermenigvuldiging. Dit isomorfisme is een exponentiële afbeelding. Z’n inverse wordt wel als een logaritme gezien.
11.40 Voorbeelden. Het vinden van een primitieve wortel modulo een priemgetal is niet altijd eenvoudig. Bij kleine kun je (slim) proberen. Voor bijvoorbeeld probeer je (we rekenen modulo ):
en het valt op dat . Er volgt dat de . Vervolgens probeer je . Omdat de orde een deler van is, is herhaald kwadrateren hier wel zo handig:
dus , ofwel is een primitieve wortel modulo .
Bij het zoeken naar een primitieve wortel modulo een priemgetal helpt het als de priemfactorontbinding van bekend is, zie Gevolg 11.42.
Bewijs. Uit volgt dat . Equivalent zijn achtereenvolgens:
11.42 Gevolg. Zij een priemgetal en zij met . Dan is een primitieve wortel modulo dan en slechts dan als
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Om deze propositie goed te kunnen toepassen is het nodig snel te kunnen machtsverheffen bij het rekenen modulo .
11.43 Voorbeeld. We zoeken een primitieve wortel modulo het priemgetal . Het ontbinden van is eenvoudig vanwege de vele factoren . Er geldt . We proberen eerst : uit volgt dat niet voldoet. We proberen . We krijgen (met de methode van paragraaf 11.3):
Dus is een primitieve wortel modulo .
Oplossingen van vergelijkingen van de vorm over een lichaam noemt men eenheidswortels van het lichaam. Het lichaam heeft er maar weinig, maar bij de lichamen is het duidelijk anders. Mede voor later gebruik wordt hier de terminologie van eenheidswortels geïntroduceerd.
11.44 Definitie. Zij een lichaam en . Een heet een -de eenheidswortel als en een primitieve -de eenheidswortel als bovendien voor alle met .
In plaats van zou je ook kunnen schrijven , maar dan moet je wel bedenken dat daar i.h.a. niet mee vastligt. Wel verklaart dit de terminologie: het is een wortel van , het eenheidselement van het lichaam.
Zij een priemgetal. Voor iedere geldt . De elementen van zijn dus -ste eenheidswortels. Is de orde van modulo gelijk aan , ofwel , dan is een primitieve -de eenheidswortel. Stelling 11.39 zegt dat er in een primitieve -ste eenheidswortel is.
Eenheidswortels spelen een rol bij het oplossen van vergelijkingen van het type met . Heeft zo’n vergelijking een oplossing en heeft het lichaam een primitieve -de eenheidswortel , dan heeft de vergelijking oplossingen: de elementen zijn verschillende nulpunten van de veelterm . Meer nulpunten zijn er niet, want de graad van de veelterm is . We hebben dan
Zie ook Voorbeeld 11.18. In hoofdstuk 16 bepalen we de eenheidswortels van het lichaam van de -adische getallen en in hoofdstuk 17 die van het lichaam der complexe getallen. In zijn er veel eenheidswortels: voor iedere is het aantal -de eenheidswortels gelijk aan .