] >
12.1 Definitie. Zij een commutatieve ring. Een veelterm in en van de gedaante met en heet een kwadratische vorm in en over . Kwadratische vormen over noemen we ook gehele kwadratische vormen en die over rationale kwadratische vormen.
Algemener verstaat men onder een vorm van graad een veelterm die homogeen is van graad . Een veelterm in is homogeen van graad als hij een som is van termen met en een element van de ring. In dit hoofdstuk beschouwen we alleen kwadratische vormen () in twee variabelen (), meestal en .
12.2 Definitie. Zij met geen kwadraat. We zeggen dat een representeerbaar is in de vorm als er zijn zodat .
Bij gegeven bestuderen we het volgende probleem:
Welke zijn representeerbaar in de vorm ?
Voor iedere niet-kwadraat hebben we hiermee een representatieprobleem. Voor is dit het probleem
Welke gehele getallen zijn de som van twee kwadraten?
In deze paragraaf lossen we dit laatste probleem op. We laten zien dat de representeerbaarheid van een als som van twee kwadraten afhangt van z’n priemfactorontbinding. Een eerste belangrijke stap is een opmerking van Euler:
Bewijs. Dit volgt uit de identiteit
Het volgende begrip werd door Euler geïntroduceerd.
12.4 Definitie. Zij met geen kwadraat. Een oneven priemgetal heet een essentiële deler van de vorm als er zijn met , en .
Merk op dat een gemene deler van en een deler van is. Een deler van is een deler van en is een deler van als oneven is.
12.5 Propositie. Zij met en zij een oneven priemgetal. Dan zijn equivalent:
Bewijs.
12.6 Voorbeeld. Hoewel een kwadraat is in , heeft geen representatie in de vorm . Heeft een priemgetal een representatie in een vorm , dan is een essentiële priemdeler van die vorm. Het omgekeerde geldt niet.
De essentiële priemdelers van de vorm zijn dus de oneven priemgetallen waarvoor geldt dat een kwadraat in is. Het bepalen van deze essentiële priemdelers lijkt op het eerste gezicht onbegonnen werk: er zijn oneindig veel priemgetallen. Toch valt er een regelmaat in te ontdekken. Deze regelmaat wordt gegeven door de kwadratische reciprociteitswet (Stelling 12.26), de belangrijkste stelling van dit hoofdstuk.
In de opgaven ?? en ?? van hoofdstuk 11 is op twee manieren aangetoond dat voor oneven priemgetallen de restklasse een kwadraat is in dan en slechts dan als . In dit hoofdstuk zullen we hier nog enkele andere bewijzen van zien: Gevolg 12.20 en Voorbeeld 12.23. Voor het geval is dit het soort regelmaat dat we zoeken. We zullen later zien dat er ook in het algemeen zo’n regelmaat is.
De essentiële priemdelers van de vorm zijn dus de priemgetallen met . In dit geval zijn deze priemgetallen niet alleen essentiële priemdelers, ze zijn zelf representeerbaar in de vorm . We geven een bewijs met het principe van Dirichlet. Het idee achter dit bewijs is van de Noorse wiskundige Thue.
Bewijs. Laat het natuurlijke getal zijn waarvoor . De verzameling heeft elementen. Dat zijn er meer dan . Dus is de afbeelding
niet injectief. Er zijn dus met en , ofwel . Neem en , dan en dus . Uit volgt . Ook zijn en niet beide , want . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
12.9 Stelling. Zij . Dan is representeerbaar in de vorm dan en slechts dan als even is voor alle priemgetallen met .
Bewijs. Als even is voor alle priemgetallen met , dan is een product van factoren van de vorm
Elk van die factoren is representeerbaar in de vorm . Dus is volgens Lemma 12.3 dat ook.
Stel voor zekere . Zij met . Dan te bewijzen dat even is. Zij . Dan en met en er geldt . Dan . Omdat geen essentiële deler is en , hebben we . Dus . □