] >
In deze paragraaf is een oneven priemgetal. Het lichaam bestaat uit de restklassen modulo :
Alleen het element heeft geen inverse:
12.10 Definitie. Zij . Dan heet een kwadraat in als er een is met . We zeggen dan ook wel dat een kwadraat is modulo . Is bovendien , dan noemt men een kwadraatrest modulo . Elementen die geen kwadraat zijn worden niet-kwadraten genoemd.
Een kwadraatrest modulo is dus de rest van een kwadraat bij deling door .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Beschouw de transformatie
Voor ieder beeldelement zijn er precies die erop afbeelden. Het aantal beeldelementen is dus . □
In zijn er dus evenveel kwadraten als niet-kwadraten.
Volgens de Kleine Stelling van Fermat is voor iedere . De macht bepaalt of een kwadraat is of niet:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Een direct gevolg is:
12.15 Gevolg. Voor geldt: is een kwadraat dan en slechts dan als en beide kwadraten of beide niet-kwadraten zijn.
Bewijs. Dit volgt uit . □