Met het Legendresymbool wordt
op compacte manier aangegeven of
een kwadraat is modulo .
12.16 Definitie. Zij
een oneven priemgetal en .
We definiëren:
heet een Legendresymbool.
Adrien-Marie Legendre (Parijs 1752 – Parijs 1832)
De kwadratische reciprociteitswet (zie Stelling 12.26) werd door Legendre uitvoerig
behandeld. Het bewijs dat hij ervoor gaf was niet volledig. De kwadratische reciprociteitswet
werd trouwens eerder al door Euler beschreven (en evenmin bewezen, hoewel hij heel dicht in
de buurt van een bewijs kwam). In een later werk over getaltheorie (Théorie des nombres) gaf
Legendre een door Gauß gevonden bewijs.
Zijn Eléments de géométrie verving de Elementen van Euclides en was sindsdien de basis
voor vele leerboeken over meetkunde. Zijn werk over ‘elliptische integralen’ was van
belang voor de mathematische fysica. Verder toonde hij op eenvoudige wijze aan dat
geen
rationaal getal is.
Het enige bekende portret van Legendre is de hier afgebeelde karikatuur. Tot voor kort werd
veelal, zoals ook in de eerste druk van dit boek, abusievelijk een portret van de politicus en
tijdgenoot Louis Legendre getoond. Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor
meer over Legendre.
Het Legendresymbool
hangt volgens de definitie alleen af van de restklasse van
modulo
:
12.17 Propositie.Zij een oneven priemgetal en zijn met .Dan .□
We zullen de resultaten van de vorige paragraaf over kwadraten in
vertalen in termen van Legendresymbolen. Eerst een herformulering van het Criterium van
Euler (Stelling 12.14):
12.18Stelling (Het Criterium van Euler).Zijeneen oneven priemgetal. Dan
De volgende propositie is een herformulering van Gevolg 12.15:
12.19 Propositie.Zij een oneven priemgetal. Dan voor alle :
Uit het Criterium van Euler volgt:
12.20Gevolg. Zijeen oneven priemgetal. Dan
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Dit is equivalent met:
In Voorbeeld 12.11 hadden we .
Inderdaad is
een kwadraatrest: .
12.21Voorbeeld. We gaan met het Criterium van Euler na of
een kwadraatrest is modulo .
We berekenen :