] >
De kwadratische reciprociteitswet is het eerst bewezen door Gauß. Volgens zijn dagboek was dat op 8 april 1796. Gauß was er enorm trots op. Hij gaf het de naam Theorema Aureum, de gouden stelling. Uiteindelijk heeft hij er zes bewijzen voor gegeven. Tegenwoordig zijn er vele tientallen bewijzen bekend. Een van de bewijzen van Gauß, het derde bewijs, is gebaseerd op het zogenaamde Criterium van Gauß. Daarvoor groeperen we de elementen van in tweetallen . We hebben zo een partitie van :
Het is de partitie van die bepaald is door de afbeelding . We nemen een representantensysteem van deze partitie, bijvoorbeeld
Dan is opgedeeld in twee helften: en . Vermenigvuldigen met is een permutatie van waarbij ook de tweetallen gepermuteerd worden. Laat het product zijn van alle :
Ook is een representatensysteem van . We hebben:
waarbij het aantal der is met , ofwel . Omdat volgt dat . We hebben dus nu met behulp van het Criterium van Euler:
12.22 Stelling (Criterium van Gauß). Zij een oneven priemgetal. Laat een deelverzameling van zijn zo dat en . Dan geldt voor alle met :
12.23 Voorbeeld. We berekenen opnieuw , nu met het Criterium van Gauß. Onder vermenigvuldigen met gaat over in . Dus:
We gaan met het Criterium van Gauß het Legendresymbool berekenen. We nemen
Dan
De elementen van worden gerepresenteerd door de gehele getallen met en die van door de gehele getallen met . De vraag is dan: voor welke van de met geldt dat ? Dat zijn de gehele getallen met . Voor het bepalen van het aantal van deze getallen onderscheiden we twee gevallen.
We hebben alleen nodig het even of oneven zijn van deze aantallen. Er geldt
We hebben dus bewezen:
Anders geformuleerd: .
12.25 Voorbeeld. We hebben al gezien in Voorbeeld 12.21 dat geen kwadraatrest is modulo . Nu met het Criterium van Gauß. We kijken naar de tweetallen en hun beelden onder vermenigvuldiging met :
Dus .