] >
De kwadratische reciprociteitswet geeft een verband tussen en voor twee oneven priemgetallen en . Met deze wet kan snel berekend worden of een kwadraatrest is modulo . Hij geeft ook inzicht in vragen als: modulo welke priemgetallen is een gegeven een kwadraat? We geven het bewijs van Eisenstein. Het is een elementair bewijs dat gebruik maakt van het Criterium van Gauß.
Anders geformuleerd:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Je kunt het ook als volgt inzien. Het gaat er om of het aantal roosterpunten in I even is of oneven. Vanwege de symmetrie t.o.v. het midden van de rechthoek is dit aantal oneven dan en slechts dan als dit midden een roosterpunt is. Dat laatste is het geval als en beide oneven zijn, ofwel als .
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (Berlijn 1823 – Berlijn 1852)
12.27 Voorbeeld. We bepalen voor priemgetallen . Uit de kwadratische reciprociteitswet volgt:
De factor is afhankelijk van modulo en de factor van modulo . Dus is alleen afhankelijk van modulo . Er zijn gevallen modulo :
Dus:
12.28 Voorbeeld. Door herhaald de kwadratische reciprociteitswet toe te passen kunnen we nagaan of een kwadraat is in :
Dus is een kwadraatrest modulo . Daarmee is nog niet een gevonden met . Dat is een ander probleem. We komen hier op terug in Paragraaf 12.7 ( voldoet).