] >
In paragraaf 12.1 hebben we gezien welke natuurlijke getallen representeerbaar zijn in de vorm . We gebruiken de kwadratische reciprociteitswet voor de representeerbaarheid in nog enkele kwadratische vormen. Eerst een nuttige propositie.
12.39 Propositie. Laten , en gehele getallen zijn met
Dan is ook representeerbaar in de vorm .
Bewijs. Er zijn gehele getallen met en . Te bepalen zodat . Voldoen getallen en , dan volgens Propositie 12.3
Heeft het stelsel vergelijkingen
een oplossing met ? We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met en de tweede met . Aftrekken levert dan , ofwel . Vervolgens vinden we . Uit en volgt dat en . Hieruit volgt
ofwel
Omdat een priemgetal is hebben we
en
Door eventueel door te vervangen, kunnen we bereiken dat .
Stel dat . Dan . Uit volgt dat en ook hebben we dan dat en . Dus in het bijzonder . Verder hebben we
zodat en dus . Omdat hebben we dat . Tegenspraak.
Dus . Er zijn dus met , namelijk en . □
12.40 Representaties in . De essentiële delers van de vorm zijn de oneven priemgetallen met .
De essentiële priemdelers zijn dus de priemgetallen met .
Laat een priemgetal zijn met of . Dan is er een met . Uit Lemma 12.7 volgt dat er zijn met , en . Dan en dus of . Omdat representeerbaar is in de vorm , is volgens Propositie 12.39 in het tweede geval ook representeerbaar in de vorm . Analoog aan het geval (Stelling 12.9) hebben we nu:
12.41 Representaties in . De essentiële delers van de vorm zijn de priemgetallen met en . Wegens zijn dat juist de priemgetallen met .
Laat een priemgetal zijn met . Dan is er een met . Uit Lemma 12.7 volgt dat er zijn met , en . Dan en dus , of . Omdat representeerbaar is, volgt in het derde geval dat representeerbaar is. Het tweede geval treedt niet op, want anders zou een kwadraatrest modulo zijn. Hier hebben we:
12.42 Representaties in . De essentiële delers van de vorm zijn de oneven priemgetallen met . Dat zijn de priemgetallen met .
Laat een priemgetal zijn met . Dan is er een met . Uit Lemma 12.7 volgt dat er zijn met , en . Dan en dus . Omdat representeerbaar is, is representeerbaar als dat is. Hier hebben we dus:
12.43 Representaties in . De essentiële delers van de vorm zijn de priemgetallen met en . Volgens Voorbeeld 12.27 zijn dat juist de priemgetallen met .
Laat een priemgetal zijn met . Dan is er een met . Uit Lemma 12.7 volgt dat er zijn met , en . Dan en dus of . Omdat representeerbaar is, volgt in het tweede geval dat representeerbaar is. In het eerste geval hebben we en dus . Evenzo in het tweede geval . Hier hebben we:
In hoofdstuk 18 bestuderen we de Diophantische vergelijkingen en waarbij en geen kwadraat. Zie ook de opgaven ?? en ??.