] >
In de Griekse Oudheid heeft het wiskundig denken een enorme sprong voorwaarts gemaakt. In zekere zin begon de wiskunde daar pas. De Grieken waren vooral geïnteresseerd in de meetkunde: punten, lijnen, cirkels. Er werd uitgegaan van primitieve begrippen (begrippen die niet gedefinieerd worden) en postulaten (of axioma’s), eigenschappen die niet bewezen worden. Primitieve begrippen in de klassieke meetkunde zijn bijvoorbeeld: punt, lijn, een lijn gaat door een punt (of: een punt ligt op een lijn). Een axioma is: door twee verschillende punten gaat precies één lijn. Dit staat allemaal prachtig beschreven in de Elementen van Euclides, zie de fraaie site
In de moderne wiskunde baseert men zich op verzamelingen. Primitieve begrippen zijn dan: verzameling, het element zijn van een verzameling. De axiomatische verzamelingsleer is in deze opzet de grondslag van de wiskunde. We baseren ons hier op de ‘naïeve’, niet-axiomatische, verzamelingsleer. Zolang je geen wilde dingen met verzamelingen doet kom je niet in problemen. Een verzameling als die van alle verzamelingen willen is vragen om problemen.
Getallen kwamen bij de Grieken voor in de gedaante van lengten van lijnstukken en oppervlakten van meetkundige figuren. Ook daar is bij Euclides veel interessants over te vinden. Centraal stond echter de meetkunde. Voor getallen beschikte men ook niet over een handige notatie zoals wij die nu hebben. Ook de Romeinen hadden zo’n notatie niet. Probeer maar eens in een programmeertaal te beschrijven wat de opvolger van een getal in Romeinse cijfers is. Ook stelt niet ieder woord in de letters die voor getallen werden gebruikt een getal voor: het is al ingewikkeld om aan te geven welke woorden getallen voorstellen. Pas in de negentiende eeuw is het stelsel van de natuurlijke getallen axiomatisch beschreven en wel door de Italiaanse wiskundige Peano.
De axiomatische opbouw van de natuurlijke getallen volgens Peano kent drie primitieve begrippen: nul, natuurlijk getal, de opvolger van een natuurlijk getal. De axioma’s zijn:
We formuleren dit opnieuw met de terminologie van verzamelingen: we hebben een verzameling (waarvan de elementen natuurlijke getallen worden genoemd), bij iedere een (de opvolger van ), en een (het getal nul). De axioma’s worden dan:
Dan geldt voor alle .
Axioma (N3) heet het principe van volledige inductie. Daar zullen we nog uitvoerig aandacht aan besteden. De axioma’s van Peano beschrijven ons idee van tellen. Het is ons duidelijk dat geen opvolger is (axioma (N1)). Axioma (N2) is een manier om aan te geven dat een getal uit zijn opvolger is terug te vinden. Axioma (N3) geeft uitdrukking aan het idee dat er geen andere natuurlijke getallen zijn dan die je met tellen kunt tegenkomen: neem voor de volgende eigenschap van een natuurlijk getal :
Begin je bij te tellen, dan kom je (in principe) bij het getal .
We zullen het hier niet bewijzen, maar de axioma’s van Peano zijn zo gekozen dat het systeem van de natuurlijke getallen er geheel mee vastligt. Door met te beginnen en herhaald de opvolger te nemen bouw je een steeds langere lijst van getallen zonder herhalingen en in die in potentie oneindige lijst staan alle natuurlijke getallen.