] >
In deelparagraaf 5.4.6 werd de absolute waarde van gehele getallen ingevoerd. Deze is eenvoudig voort te zetten tot de rationale getallen.
14.1 Definitie. Zij . De absolute waarde van is gedefinieerd door
We hebben zo een afbeelding . Deze afbeelding noemen we de absolute waarde op .
De eigenschappen van de absolute waarden van gehele getallen die in Propositie 5.33 zijn bewezen, gelden ook voor de absolute waarden van rationale getallen:
14.2 Propositie. De absolute waarde heeft de volgende eigenschappen:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De absolute waarde van een getal is op te vatten als de afstand van dat getal tot het getal . Omdat we willen dat afstanden tussen getallen niet veranderen als we bij die getallen eenzelfde getal optellen (‘de afstand is invariant onder translatie’), ligt nu ook vast wat de afstand tussen getallen zou moeten zijn.
14.3 Definitie. Laten en rationale getallen zijn. De afstand van tot is de absolute waarde van het verschil van en :
14.4 Propositie. De afstand van rationale getallen is een metriek op , d.w.z. voor alle , en in :
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We zijn gewend aan notaties als . Het gaat dan om speciale rationale getallen: . Vaak gaat het dan om een benadering van een getal:
is afgerond tot op decimalen gelijk aan
betekent vaak , ofwel . De afstand van tot is dan kleiner dan of gelijk aan . Ook kun je afronden door na een gegeven decimaal af te kappen: de afstand van tot is dan kleiner dan .
Laat een rationaal getal zijn en . Dan en dus
We kunnen door groot genoeg te nemen een tiendelige breuk vinden op een afstand kleiner dan een vooraf gegeven positief getal : er is een met en voor iedere geldt dan
Hoe klein ook is, er is een tiendelige breuk op een afstand minder dan .