] >
Een rij van getallen noteren we vaak als . De haakjes zijn dan een indicatie dat er een rij wordt bedoeld. Voor de nummering wordt de index gebruikt. Gewoonlijk beginnen we met bij het nummeren, soms met en in een enkel geval met een ander getal. Meestal maakt het niet uit omdat we hier niet zo geïnteresseerd zijn in de eerste termen van de rij. Willen we wel aangeven met welk nummer de rij begint, dan kan dat met een notatie als .
14.6 Definitie. Een rij van rationale getallen heet een nulrij als er bij iedere een is met de eigenschap
De definitie van nulrij zegt wat het betekent dat de termen van een rij naar naderen. Eeuwenlang heeft men gesproken over rijen waarvan de termen een getal naderen zonder dat er een exacte definitie van dit naderen was. In de negentiende eeuw maakte Cauchy een begin met het preciseren van dit begrip. Het was Weierstraß die er de huidige betekenis aan gaf.
De definitie schrijft voor dat er bij iedere een is. Merk op dat als bij een gegeven een voldoet, ook ieder natuurlijk getal groter dan bij die gegeven voldoet.
De getallen in de definitie zijn rationale getallen: we hebben geen andere getallen. Later beschouwen we algemener rijen van reële getallen en dan laten we ook niet-rationale reële getallen toe, hoewel dat, zoals we zullen zien, voor de definitie van nulrij geen verschil maakt.
Augustin-Louis Cauchy (Parijs 1789 – Sceaux 1857)
14.7 Voorbeeld. De rij met is een nulrij. We geven een gedetailleerd bewijs. Laat een willekeurig positief getal zijn. Neem . Dan en dus voor alle :
Bij iedere is er dus een met de eigenschap dat voor alle .
In bovenstaande redenering komt de gevonden nogal uit de lucht vallen. Je vindt zo’n vaak door terugredeneren: voor welke geldt , ofwel ? Dit laatste geldt zeker voor alle natuurlijke getallen groter dan de entier van .
De definitie van nulrij is nogal subtiel. De moeilijkheid zit vooral in de afwisseling ‘alle, er is een, alle’ in de definitie. Die afwisseling treedt vaak op bij begrippen die met benaderen te maken hebben. Sommigen vinden het instructief om er een spel in te zien. Iedere rij bepaalt een (kort) spel voor twee spelers. Die spelers doen achtereenvolgens de volgende zetten:
Als , dan heeft speler 2 gewonnen. Als , dan heeft speler 1 gewonnen. Is er een winnende strategie voor speler 2, dan is een nulrij. Is er een winnende strategie voor speler 1, dan is geen nulrij.
In bovenstaand voorbeeld is er een winnende strategie voor speler 2 (die trouwens maar één zet hoeft te doen): geef een met .
Een andere formulering van de definitie van nulrij is als volgt:
Bij deze formulering zitten ‘er is een ’ en ‘alle ’ verstopt in ‘bijna alle’ en het begrip -omgeving. Onder bijna alle verstaan we: alle op eindig veel na. De -omgeving van zijn alle getallen met absolute waarde kleiner dan .
In het bijzonder is dan een deelrij van . Uit volgt eenvoudig (bijvoorbeeld met volledige inductie) dat voor alle .
14.9 Lemma. Laat de rij van rationale getallen een nulrij zijn. Dan is iedere deelrij van ook een nulrij.
Bewijs. Laat een deelrij zijn. Zij willekeurig. Dan is er een zodat voor alle . Voor hebben we dan en dus . □
14.10 Voorbeeld. De rij met is een deelrij van de rij en dus ook een nulrij. We hebben dus
voor een willekeurig gegeven als . Ook hier voldoet dus . We hebben hier duidelijk een heel grove afschatting gemaakt. Het gaat er niet om de kleinste te vinden die voldoet. Als er maar een is.
Bewijs. Dit volgt rechtstreeks uit de definitie: of een nulrij is, hangt alleen af van de absolute waarden . □
14.12 Voorbeeld. De rij met is een nulrij. Bij deze rij zijn de termen afwisselend kleiner en groter dan .
14.13 Lemma. Laten en rijen rationale getallen zijn. Stel is een nulrij en er geldt voor alle dat . Dan is ook een nulrij.
De rij bestaat kennelijk uit niet-negatieve getallen. De voorwaarden in dit lemma formuleren we ook wel als: de rij wordt afgeschat door de nulrij .
Bewijs. Zij willekeurig. Dan is er een zodat voor alle . Voor die geldt dan ook . □
Dat een nulrij is, is een speciaal geval van het nulrij zijn van rijen met . Het bewijs dat we geven berust op de ongelijkheid van Bernoulli:
14.14 Propositie (Ongelijkheid van Bernoulli). Laat een rationaal getal zijn met . Dan geldt voor alle :
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. We nemen aan dat . Dan en dus . Uit de ongelijkheid van Bernoulli volgt dan
ofwel
Omdat een nulrij is, is dat ook (Lemma 14.13). □
De som van twee nulrijen is een nulrij:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Het product van twee nulrijen is ook een nulrij, maar het is niet nodig dat beide rijen nulrijen zijn, met minder kan het ook, zie Propositie 14.19.
Vaak zullen we concluderen dat een rij begrensd is als er een is met voor alle vanaf een zekere . Neem dan de constante .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Er is een zodat voor alle . Dan . Uit Lemma 14.13 volgt dat een nulrij is. □