] >
14.20 Definitie. Laat een rij rationale getallen zijn. We zeggen dat convergeert naar een rationaal getal als de rij een nulrij is. Het getal heet de limiet van de rij . Notatie: . Convergeert een rij naar een getal, dan zeggen we dat de rij convergeert of dat hij convergent is. Ook drukken we dit wel uit door te zeggen dat bestaat.
Dat een nulrij is wil zeggen dat er bij iedere een is zodat voor alle , m.a.w. voor iedere liggen bijna alle termen in de -omgeving van . Die omgeving bestaat uit alle getallen die op een afstand kleiner dan van liggen.
Een rij kan maar naar één getal convergeren. Daarom kunnen we ook spreken van de limiet van een convergente rij. Immers is zowel als een nulrij, dan is ook hun som, de constante rij , een nulrij, d.w.z. .
14.21 Propositie. Laat een rij zijn die convergeert naar en een rij die convergeert naar . Dan convergeert de rij naar .
Bewijs. De rij is een nulrij, want hij is de som van de nulrijen en , zie Propositie 14.16. □
We formuleren dit ook als de rekenregel
Deze regel drukt de limiet van de somrij uit in de limieten van de afzonderlijke rijen als deze laatste limieten bestaan.
Convergeert een rij, dan is z’n verschilrij een nulrij:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We zullen later voorbeelden zien van rijen met een verschilrij die een nulrij is en die toch niet convergeren.
Bewijs. Convergeert naar , dan is een nulrij en dus volgens Lemma 14.18 begrensd: er is een zodat voor alle . Dan voor alle en dus is ook begrensd. □
14.24 Propositie. Laat een rij zijn die convergeert naar en een rij die convergeert naar . Dan convergeert de rij naar .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
De rekenregel is dus
Bewijs. Dit volgt uit . □
We hebben gebruikt: . Dit is een gevolg van de driehoeksongelijkheid: en dus , en evenzo .
De rekenregel is
14.26 Propositie. Laat een rij zijn die convergeert naar en laat verder gegeven zijn dat en dat ook voor alle . Dan convergeert de rij naar .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We hebben de rekenregel
Alles in deze formule moet gedefinieerd zijn, het bestaan van de limiet in het linkerlid is een gevolg van het bestaan (het gedefinieerd zijn) van de rest.
Uit Lemma 14.9 volgt direct:
Is een deelrij convergent, dan hoeft de rij zelf natuurlijk niet convergent te zijn. Wel als de rij stijgend (of dalend) is. Dat wordt Propositie 14.30.
14.28 Definitie. Een rij van rationale getallen heet stijgend (resp. dalend) als (resp. ) voor alle indices .
Bewijs. Zij . Stel er is een met . Dan geldt voor alle dat , ofwel . Dan is er bij geen zodat voor alle . □
14.30 Propositie. Laat een stijgende rij van rationale getallen zijn met een convergente deelrij . Dan is ook convergent en de limiet van is dezelfde als die van .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Een rij getallen bepaalt de somrij . Hierbij is , de som van de eerste termen van de rij . Een rij die op deze manier gegeven is noemt men vaak een reeks. Natuurlijk is iedere rij een reeks: hij is de somrij van z’n verschilrij. De termen van de rij noemt men ook de termen van de reeks . Dat kan soms verwarrend zijn. Ook heet vaak de algemene term van deze reeks.
14.31 Propositie. Stel dat de somrij van een rij van rationale getallen convergeert. Dan is de rij een nulrij.
Bewijs. Dit is een herformulering van Propositie 14.22: is de verschilrij van . □
14.32 Notatie. Als de somrij van een rij convergeert, dan wordt voor de limiet de volgende notatie gebruikt:
14.33 Definitie. Is de rij een meetkundige rij, dan noemt men de somrij ervan een meetkundige reeks.
Een meetkundige rij wordt gegeven door een beginterm en een reden . De rij is dan . Als de meetkundige reeks met convergeert, dan is volgens Propositie 14.31 de rij een nulrij en dus (als ). Voor meetkundige rijen geldt ook het omgekeerde van Propositie 14.31:
14.34 Propositie. Laten en rationale getallen zijn met . Dan convergeert de somrij van de meetkundige rij en er geldt
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □