] >
Zoals opgemerkt in paragraaf 14.1 kan een rationaal getal worden benaderd met tiendelige breuken: de rij met convergeert naar :
In de ‘komma-notatie’ is iedere volgende term een benadering van met een nauwkeurigheid van nog een cijfer meer achter de komma. We richten onze aandacht nu meer op dat extra cijfer achter de komma, dus op de verschilrij van . Verder doen we het algemener voor een -tallige notatie in plaats van alleen de tientallige.
We kiezen een vast grondtal . Laat een rationaal getal zijn met . Dan convergeert de rij met naar :
We beschouwen de rij met . We hebben dan voor alle en . Er geldt voor alle :
De rij is dus het verloop van onder de transformatie
ofwel . Uit volgt . We hebben nu
We hebben dus:
en dus
14.35 Definitie. Zij een rationaal getal met en laat de hierboven gedefinieerde transformatie van zijn. Dan heet de rij de -tallige ontwikkeling van .
M.a.w.: is de -tallige ontwikkeling van , dan . Als het grondtal tien is, dan schrijven we gewoonlijk
14.36 Voorbeeld. We bepalen de tientallige ontwikkeling van :
Het verloop van onder is de repeterende rij . De tientallige ontwikkeling is de repeterende rij en dus .
We bepalen ook de tweetallige (binaire) ontwikkeling van :
De binaire notatie van is dus .
Uit het voorbeeld is wel duidelijk dat de -tallige ontwikkeling van een rationaal getal repeteert.
14.37 Propositie. Zij een rationaal getal met . Dan repeteert de -tallige ontwikkeling van . De lengte van de kleinste periode is hoogstens gelijk aan de kleinste noemer van .
Bewijs. Schrijf met , en . Dan
waarbij de rest is van bij deling door . Het verloop van onder is dus een rij in , een verzameling met elementen. Daaruit volgt dat het verloop repeteert met een periode . Dus repeteert ook de -adische ontwikkeling . □
Uit dit bewijs volgt dat er meer te zeggen valt over de periode van de -tallige ontwikkeling.
14.38 Propositie. Zij met , , , en . Dan is de -tallige ontwikkeling van zuiver repetent met een periode van lengte .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Omdat een deler is van , is de periodelengte voor ieder grondtal met een deler van de Eulerindicator van .
14.39 Voorbeeld. Zie Voorbeeld 14.36. Het rationale getal hebben we tientallig en tweetallig ontwikkeld. De orde van modulo is gelijk aan , en modulo is hij . In beide gevallen is de lengte van de periode een deler van .
Rationale getallen hebben dus een repeterende -tallige ontwikkeling. Is een repeterende rij in , dan hoort daar ook een rationaal getal bij:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
14.41 Voorbeeld. We nemen de repeterende rij in . We berekenen , ofwel . Eerst berekenen we . Dit is de som van de meetkundige rij met beginterm en reden . Dus . En dus .
Een rij in met een staart van getallen repeteert en dus bestaat :
De -tallige ontwikkeling van dit getal is dus . Een staart van getallen zal in een -tallige ontwikkeling niet optreden.
Is een rij in met niet alle gelijk aan waarvoor convergeert, zeg , dan en . Heeft de rij geen -staart, dan is de -tallige ontwikkeling van . In het bijzonder repeteert de rij .
We hebben dus een correspondentie tussen repeterende rijen zonder -staart in en rationale getallen met .
Is een niet-repeterende rij in , bijvoorbeeld de rij
dan is de rij met een rij die in niet convergeert. In het volgende hoofdstuk zullen we uitbreiden tot het lichaam van de reële getallen. In dat lichaam heeft deze rij wel een limiet.
De functie g_repr(a,b,g) geeft de g-tallige ontwikkeling van de breuk gerepresenteerd door (a,b), waarbij en .