] > p-adische benaderingen [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

14.6  p-adische benaderingen

In deze paragraaf maken we bij ieder priemgetal p een absolute waarde op . Deze absolute waarden wijken sterk af van de gewone absolute waarde die we tot nu toe hebben gebruikt.

14.53 Definitie. Zij p een priemgetal en r een rationaal getal 0. We definiëren de p-adische absolute waarde |r|p van r als volgt:

|r|p = pvp(r).

Verder definiëren we |0|p = 0. We hebben zo een afbeelding 0,r|r|p, de p-adische absolute waarde op .

14.54 Propositie. Zij p een priemgetal. Voor alle r,s geldt:

  1. |r|p = 0r = 0,
  2. |rs|p = |r|p |s|p,
  3. |r + s|p max(|r|p,|s|p).
  4. Als |r|p|s|p, dan |r + s|p = max(|r|p,|s|p).

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

De derde eigenschap is sterker dan wat vereist is voor een absolute waarde. Dus is r|r|p inderdaad een absolute waarde op . Voor de gewone absolute waarde geldt dat |n| = n voor alle n . Voor de p-adische absolute waarde hebben we

|n|p = |1 + + 1|p max(|1|p,,|1|p) = 1.

Een absolute waarde met deze eigenschap noemt men niet-Archimedisch, en anders heet hij Archimedisch. Ook de p-adische absolute waarde van een getal is op te vatten als de afstand van dat getal tot 0. We hebben nu de p-adische afstand.

14.55 Definitie. Laten r en s rationale getallen zijn. De p-adische afstand dp(r,s) van r tot s is de p-adische absolute waarde van het verschil van r en s:

dp(r,s) = |r s|p.

Ook de p-adische afstand is een metriek op , en vanwege eigenschap (iii) zelfs een ultrametriek:

14.56 Propositie. Voor alle r, s en t in geldt:

  1. dp(r,s) = 0r = s,
  2. dp(r,s) = dp(s,r),
  3. dp(r,t) max(dp(r,s),dp(s,t)).

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

In de paragrafen 14.2, 14.3 en 14.5 hebben we begrippen ingevoerd die ook voor willekeurige absolute waarden ingevoerd kunnen worden. Veel van de eigenschappen die we hebben afgeleid zijn afgeleid door alleen de regels voor absolute waarden te gebruiken. Bij een aantal hebben we wel de definitie van de gewone absolute waarde gebruikt. Omdat de gewone absolute waarde nauw verbonden is aan de ordening van is deze absolute waarde ook hier nog steeds van belang. We beginnen het proces opnieuw en zullen vaak verwijzen naar bewijzen uit de voorgaande paragrafen.

14.6.1  p-adische convergentie

14.57 Definitie. Een rij (an) van rationale getallen heet een p-adische nulrij als er bij iedere ε > 0 een N is met de eigenschap

 |an|p < ε voor alle n N.

Anders geformuleerd: (an) is een p-adische nulrij dan en slechts dan als (|an|p) een nulrij is. (Vergelijk met Lemma 14.11.)

14.58 Voorbeeld. De rij (pn) is een p-adische nulrij, want |pn|p = 1 pn en ( 1 pn) is een nulrij. De rij (1 n) is geen p-adische nulrij: |1 n|p = pvp(n) en in het bijzonder |1 pn|p = pn

Voor welke a de rij (an) een p-adische nulrij is, is eenvoudig vast te stellen.

14.59 Propositie. Zij a met |a|p < 1. Dan is (an) een p-adische nulrij.

Bewijs.   Omdat |a|p < 1, is volgens Propositie 14.15 de rij (|an|p) een nulrij. Dus is (an) een p-adische nulrij. □

14.60 Propositie. Laten (an) en (bn) p-adische nulrijen zijn. Dan is ook (an + bn) een p-adische nulrij.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

14.61 Definitie. Laat (an) een rij rationale getallen zijn. We zeggen dat (an) p-adisch convergeert naar een rationaal getal a als de rij (an a) een p-adische nulrij is. Notatie: limn(p)an = a.

Voor de p-adische absolute waarden van een een p-adisch convergente rij is er een sterker resultaat dan Propositie 14.25:

14.62 Propositie. Laat (an) een rij rationale getallen zijn die p-adisch convergeert naar a. Dan convergeert (|an|p) naar |a|p. Als a0, dan is er een N zodat |an|p = |a|p voor alle n N.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

Dus: convergeert een rij p-adisch en is hij geen p-adische nulrij, dan zijn de p-adische absolute waarden van de termen voor grote indices aan elkaar gelijk.

14.63 Propositie. Laat (an) een rij zijn die p-adisch convergeert naar a en de (bn) een rij die p-adisch convergeert naar b. Dan convergeert de rij (an + bn) p-adisch naar a + b.

Bewijs.   De rij (an + bn a b) is de som van twee p-adische nulrijen. □

14.64 Propositie. Laat (an) een rij zijn die p-adisch convergeert naar a en (bn) een rij die p-adisch convergeert naar b. Dan convergeert de rij (anbn) p-adisch naar ab.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

14.65 Propositie. Laat de rij (an) p-adisch convergeren naar a en laat verder gegeven zijn dat a0 en dat ook an0 voor alle n. Dan convergeert de rij ( 1 an) p-adisch naar 1 a.

Bewijs.   Te bewijzen dat (|1 an 1 a|p) een nulrij is. We hebben:

| 1 an 1 a|p = 1 |a|p|an|p|a an|p.

De rij ( 1 |a|p(|a an)|p) is een nulrij. Volgens Propositie 14.62 zijn de termen van de rij ( 1 |an|p) voor n groot genoeg gelijk aan 1 |a|p. □

14.66 Notatie. Als de somrij (sn) van een rij (an) p-adisch convergeert, dan gebruiken we voor de p-adische limiet de volgende notatie:

p n=0a n = limnsn.

Ook nu hebben we dat de somrij van een meetkundige rij convergeert als de absolute waarde van de reden kleiner is dan 1. Alleen nu alles p-adisch. Het bewijs is analoog.

14.67 Propositie. Laten a en r rationale getallen zijn met |r|p < 1. Dan is de somrij van de meetkundige rij (arn) p-adisch convergent en er geldt

p n=0arn = a 1 r.

14.68 Voorbeeld. Omdat |p|p = 1 p < 1, hebben we

p n=0pn = 1 1 p.

14.6.2  p-adische ontwikkelingen

Bij een gegeven grondtal g kunnen we rationale getallen g-tallig ontwikkelen: in de g-tallige schrijfwijze komt een oneindig lange repeterende rij cijfers achter de komma. Het rationale getal is dan verkregen als een limiet van rationale getallen met alleen machten van het grondtal g in de noemer. Deze limiet is gebaseerd op de gewone absolute waarde. In het p-adische geval ligt het voor de hand om p als grondtal te nemen. Natuurlijke getallen hebben een p-tallige schrijfwijze. Voor rationale getallen r met vp(r) 0 hebben we ook een p-tallige ontwikkeling. Deze ontwikkeling is echter niet naar rechts achter de komma, maar naar links voor de komma. Delen door pn betekent dan dat de komma n plaatsen naar links gaat. Ieder rationaal getal heeft zo in het p-adische geval een p-tallige schrijfwijze.

14.69 Definitie. Een rationaal getal r heet p-adisch geheel als |r|p 1. De verzameling der p-adisch gehele rationale getallen geven we aan met (p).

De verzameling (p) is dus een deelverzameling van die omvat. De elementen van (p) zijn als breuken van gehele getallen te schrijven, waarbij de noemer geen p-voud is. Deze verzameling is gesloten onder optellen en vermenigvuldigen, d.w.z. als r,s (p), dan ook r + s,rs (p). Men gaat eenvoudig na dat met deze optelling en vermenigvuldiging de verzameling (p) een integriteitsgebied is. De deelverzameling (p) der inverteerbare elementen bestaat uit de rationale getallen r met |r|p = 1. Deze getallen zijn te schrijven als een breuk van gehele getallen waarbij de teller en de noemer beide geen p-voud zijn.

14.70 Propositie. Zij r (p). Dan is er een unieke c p zodat |r c|p < 1.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

14.71 Definitie. Zij r (p). De unieke c p met |r c|p < 1 noemen we de rest van r bij deling door p. Notatie: c = [r]p.

We hebben nu een transformatie van (p):

γp: (p) (p),rr [r]p p .

14.72 Definitie. Zij r (p). De rij (cn)n0 met cn = [γpn(r)]p in p noemen we de p-adische ontwikkeling van r.

14.73 Propositie. Laat (cn) de p-adische ontwikkeling zijn van r (p). Dan

r = p n=0c npn.

Bewijs.   Er geldt

r = c0 + γp(r)p = c0 + c1p + γp2(r)p2 = c0 + c1p + c2p2 + + c npn + γ pn+1(r)pn+1.

Dus |r k=0ncnpn|p = |γpn+1pn+1|p 1 pn+1 < 1 pn. □

De p-adische ontwikkeling van een rationaal getal r dat p-adisch geheel is repeteert. We bewijzen dat voor r met 1 < r 0. Dan is er sprake van zuiver repeteren. Het repeteren in het algemene geval volgt hieruit.

14.74 Propositie. Zij r (p) met 1 < r 0. Dan is de p-adische ontwikkeling van r zuiver repetent.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

14.75 Voorbeeld. We berekenen de 5-adische ontwikkeling van 1 7. We berekenen eerst de 5-adische ontwikkeling van 1 7 1 = 6 7. Volgen we het bewijs van Propositie 14.74, dan krijgen we achtereenvolgens:

6 7 = 2 4 7 5 4 7 = 3 5 7 5 5 7 = 0 1 7 5 1 7 = 2 3 7 5 3 7 = 1 2 7 5 2 7 = 4 6 7 5.

Hierbij is in iedere regel de tweede breuk ontstaan uit de eerste door met 3 (de inverse van 5 modulo 7) te vermenigvuldigen en daarvan de rest bij deling door 7 te nemen. Hieruit volgt dat de 5-adische ontwikkeling van 6 7 de rij (2,3,0,2,1,4¯) is. Van 1 7 is de 5-adische ontwikkeling (3,3,0,2,1,4,2¯).

Het bovenstaande rekenwerk nogmaals, maar dan anders opgeschreven:

20 7 = 2 + 6 7 25 7 = 3 + 4 7 5 7 = 0 + 5 7 15 7 = 2 + 1 7 10 7 = 1 + 3 7 30 7 = 4 + 2 7.

Van onderen naar boven is dit precies het rekenwerk voor het bepalen van de 5-tallige ontwikkeling van 6 7. Deze is dus in de 5-tallige notatie: 0,412032¯. De streep betekent dat deze periode van lengte 6 zich naar rechts toe herhaalt. Benaderen we 6 7 5-adisch, dan krijgen we 412032¯, waarbij de streep nu betekent dat de periode van lengte 6 zich naar links toe herhaalt.

Wat we in dit voorbeeld constateerden geldt natuurlijk algemener voor de p-adische ontwikkeling van a b, waarbij b , a b, p b en ggd(a,b) = 1: is (c1,,cn¯) de p-tallige ontwikkeling van a b, dan is (cn,,c1¯) de p-adische ontwikkeling van a b.

14.76 Propositie. Zij (cn)n0 een repeterende rij in p. Dan convergeert de rij (an) met an = k=0nck p-adisch naar een rationaal getal.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

Python

De functie p_adic(a,b,p) geeft de p-adische ontwikkeling van het rationale getal gerepresenteerd door (a,b), waarbij a en b met p b.

  def p_adic(a,b,p):
      u=modinv(b,p)
      nrs = []
      exp = []
      while a not in nrs:
          nrs.append(a)
          c = (a * u) % p
          a = (a - (c * b)) / p
          exp.append(c)
      i = nrs.index(a)
      return [exp[:i],exp[i:]]

  >>> p_adic(-6,7,5)
  [[], [2, 3, 0, 2, 1, 4]]
  >>> p_adic(-131,87,17)
  [[11], [2, 10, 8, 12]]

14.6.3  p-adische Cauchyrijen

Ook voor de p-adische absolute waarde hebben we het begrip Cauchyrij. We zullen zien dat in dit geval het begrip Cauchyrij sterk te vereenvoudigen is.

14.77 Definitie. Een rij (an) van rationale getallen heet een p-adische Cauchyrij als er bij iedere ε > 0 een N is zodat voor alle m,n N geldt |an am|p ε.

14.78 Propositie. Een rij (an) is een p-adische Cauchyrij dan en slechts dan als de verschilrij (an+1 an) een p-adische nulrij is.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

14.79 Gevolg. Zij (cn)n0 een rij in p. Dan is de rij (an)n0 met an = k=0ncnpn een Cauchyrij.

p-Adisch convergente rijen zijn p-adische Cauchyrijen. Dat kan bewezen worden als in het geval van de gewone absolute waarde (Propositie 14.44), maar omdat het begrip Cauchyrij in dit geval zo eenvoudig is, kan het ook eenvoudiger.

14.80 Propositie. Laat (an) een p-adisch convergente rij van rationale getallen zijn. Dan is (an) een p-adische Cauchyrij.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

Ook voor p-adische Cauchyrijen die geen p-adische nulrijen zijn geldt dat de p-adische absolute waarden van de termen vanaf een bepaalde term constant zijn.

14.81 Lemma. Laat (an) een p-adische Cauchyrij zijn die geen p-adische nulrij is. Dan is er een N zodat |an|p = |an+1|p voor alle n N.

Bewijs.   Omdat (an) geen p-adische nulrij is, is er een ε > 0 zodat voor iedere M er een N M is met |aN|p > ε. De rij (an+1 an) is een p-adische nulrij. Er is dus een K zodat |an+1 an|p < ε voor alle n K. Er is een N K met |aN|p > ε. Voor alle n N geldt dan |an+1|p = |an+1 an + an|p = |an|p. □

Dat p-adische Cauchyrijen zich goed gedragen onder de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en inverteren kan net zo bewezen worden als voor de gewone Cauchyrijen. We geven hier kortere bewijzen gebaseerd op Propositie 14.78 en Lemma 14.81. Deze eigenschappen gebruiken we in hoofdstuk 16 bij de constructie van het lichaam p van de p-adische getallen.

14.82 Propositie. Laten (an) en (bn) p-adische Cauchyrijen zijn. Dan is ook (an + bn) een p-adische Cauchyrij.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

14.83 Propositie. Laten (an) en (bn) p-adische Cauchyrijen zijn. Dan is ook (anbn) een p-adische Cauchyrij.

Bewijs.   Er geldt

an+1bn+1 anbn = an+1(bn+1 bn) + (an+1 an)bn.

Wegens Lemma 14.81 is er een N zo dat |an+1|p = |an|p voor alle n N. Omdat (bn+1 bn) een p-adische nulrij is, volgt dat ook (an+1(bn+1 bn)) een p-adische nulrij is. Evenzo is ((an+1 an)bn) een p-adische nulrij. Dus is (an+1bn+1 anbn) een p-adische nulrij. □

14.84 Propositie. Laat (an) een p-adische Cauchyrij zijn die geen p-adische nulrij is en zij an0 voor alle n. Dan is ook ( 1 an) een p-adische Cauchyrij.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

[volgende][vorige][inhoud