] > De constructie van ℝ [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.1  De constructie van

We gaan uit van het lichaam voorzien van de gewone absolute waarde. We willen bereiken dat Cauchyrijen convergeren. Het resultaat zal zijn dat het lichaam uitgebreid wordt met limieten van Cauchyrijen. We gaan uit van alle Cauchyrijen in . De verzameling wordt dan een verzameling van klassen van Cauchyrijen.

15.1.1  De verzameling

We willen dat Cauchyrijen een limiet krijgen. Twee Cauchyrijen hebben in het nog te construeren lichaam dezelfde limiet, precies dan als het verschil van die rijen een nulrij is. Dit leidt tot de volgende definitie.

15.1 Definitie. Cauchyrijen (an) en (bn) in heten equivalent als de rij (an bn) een nulrij is. Notatie: (an) (bn). We geven de verzameling van Cauchyrijen in aan met CR(). De relatie is dus een relatie in de verzameling CR().

Het is eenvoudig om het volgende aan te tonen:

15.2 Propositie. De relatie in CR() is een equivalentierelatie.

15.3 Definitie. Een reëel getal is een equivalentieklasse in CR(). Notatie: de klasse van een Cauchyrij (an) geven we aan met [(an)]. De verzameling is de verzameling van de reële getallen.

In dit hoofdstuk zullen reële getallen vaak met Griekse letters worden aangeduid. Bijvoorbeeld α = [(an)], ofwel het reële getal α wordt gerepresenteerd door de Cauchyrij (an) van rationale getallen. Er zijn vele Cauchyrijen die eenzelfde reëel getal representeren: andere representanten worden verkregen door bij een gegeven representant een nulrij op te tellen.

15.1.2  Het lichaam

Met de gegeven constructie van de verzameling is het eenvoudig om in een optelling en een vermenigvuldiging te definiëren en te bewijzen dat hij met deze bewerkingen een lichaam is.

15.4 Definitie. Laten (an) en (bn) Cauchyrijen in zijn. De som en het product van de reële getallen [(an)] en [(bn)] is gedefinieerd door

[(an)] + [(bn)] = [(an + bn)] [(an)] [(bn)] = [(anbn)].

Zijn (an) en (bn) Cauchyrijen, dan zijn ook (an + bn) en (anbn) Cauchyrijen, zie Propositie 14.45 en Propositie 14.47. De definitie van som en product maakt gebruik van keuzen van representanten, maar mag natuurlijk niet van die keuzen afhangen. Bijvoorbeeld: als (an) (an), dan (anbn) (anbn), ofwel ((an an)bn) is een nulrij. Dit volgt uit Propositie 14.19: (an an) is een nulrij en (bn) is begrensd.

Is a een rationaal getal, dan is de constante rij (a) een Cauchyrij en representeert dus een reëel getal: [(a)], de klasse van alle rijen in die naar a convergeren. Voor rationale getallen a en b hebben we:

[(a)] = [(b)] (a) (b)  (a b) is een nulrij a = b.

We hebben dus een injectieve afbeelding

,a[(a)].

Optellen en vermenigvuldiging van [(a)] en [(b)] correspondeert met optellen en vermenigvuldigen van de rationale getallen a en b. Het lichaam van de rationale getallen heeft dus een kopie binnen . Daarom zullen we vaak [(a)] met a aanduiden en zien als een uitbreiding van . In het bijzonder hebben we de elementen 0 en 1 in . Verder noteren we [(an)] als [(an)] (hetgeen ook niet afhangt van de keuze van de representant).

15.5 Stelling. is tezamen met de optelling en de vermenigvuldiging een lichaam.

Bewijs.   Dat een commutatieve ring is volgt rechtstreeks uit de definities van optelling en vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld de distributiviteit: kies bij α, β en γ representanten (an), (bn) en (cn), dan α(β + γ) = [(an)]([(bn)] + [(cn)]) = [(an(bn + cn))] en αβ + αγ = [(an)][(bn)] + [(an)][(cn)] = [(anbn + ancn)].

We moeten nog bewijzen dat reële getallen 0 een inverse hebben. Zij α met α0. Kies een representant (an) van α. Het reële getal 0 is de klasse van de nulrijen in . Dus is (an) geen nulrij. Volgens Propositie 14.48 zijn er een C > 0 en een N zodat |an| > C voor alle n N. We kunnen dus aannemen dat an0 (vervang in de rij termen 0 door 1, of neem de rij (aN+n)). Uit Propositie 14.49 volgt dan dat de rij ( 1 an) ook een Cauchyrij is. We hebben dan [(an)][( 1 an)] = [(1)] = 1. □

15.6 Definitie. Een α heet irrationaal als α. (We vatten hier op als deel van .)

We zullen zien dat we er veel getallen bij hebben gekregen. De reële getallen zijn op te vatten als limieten van rijen rationale getallen. Om dat een betekenis te geven moeten we de absolute waarde op voortzetten tot een absolute waarde op . Eerst gaan we de ordening van voortzetten tot .

15.1.3  De ordening van

De ordening van breiden we uit tot een ordening van . We gebruiken daarbij Propositie 14.50. Voor een Cauchyrij (an) die geen nulrij is, zijn er twee elkaar uitsluitende mogelijkheden:

  1. Er zijn een C > 0 en een N zodat an > C voor alle n N.
  2. Er zijn een C > 0 en een N zodat an < C voor alle n N.

15.7 Definitie. Zij α . Dan heet α positief als α = [(an)] en de Cauchyrij (an) heeft de eerste van de twee hierboven genoemde eigenschappen. Geldt de tweede eigenschap, dan heet α negatief .

Natuurlijk hangt het niet van de keuze van de representant af. Zijn er bij de Cauchyrij (an) in een C > 0 en een N met an > C voor alle n N en is (bn) een Cauchyrij in met [(an)] = [(bn)], dan is (an bn) een nulrij en is er dus een M zodat |an bn| < C 2 . Dan bn = an (an bn) > C C 2 = C 2 voor alle n max(M,N).

15.8 Definitie. Laten α en β reële getallen zijn. We definiëren:

α < β β α is positief.

Verder definiëren we

α β α < β of α = β.

In plaats van α < β schrijven we natuurlijk ook wel β > α. En β α betekent natuurlijk hetzelfde als α β.

De hier gedefinieerde relatie is duidelijk een voortzetting van de relatie op en hij is ook een ordening van het lichaam :

15.9 Propositie. Voor alle α,β,γ geldt:

  1. α α,
  2. als α β en β α, dan α = β,
  3. als α β en β γ, dan α γ,
  4. als α β, dan α + γ β + γ,
  5. als α β en γ > 0, dan αγ βγ.

Bewijs.   Onderdeel (i) volgt rechtstreeks uit de definitie. Bij de andere onderdelen is er niets te bewijzen als α = β en anders zijn ze eenvoudig af te leiden uit de definitie van <. □

De ordening van is totaal:

15.10 Propositie. Laten α en β reële getallen zijn. Dan α β of β α.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.11 Gevolg. Zij (an) een Cauchyrij in met an 0 voor alle n . Dan geldt voor α = [(an)] dat α 0.

Bewijs.   Stel α < 0. Dan zijn er een C met C > 0 en een n zodat an < C voor alle n N. Tegenspraak. Dus niet α < 0. Uit Propositie 15.10 volgt dat α 0. □

15.12 Gevolg. Zij α met α > 0. Dan is er een a met 0 < a < α.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.1.4  De absolute waarde op

Er is een voortzetting van de absolute waarde op tot een absolute waarde op . Deze is nodig voor het limietbegrip in .

15.13 Definitie. Zij α een reëel getal. Dan definiëren we de absolute waarde |α| van α als volgt

|α| = α  als α 0 α als α 0.

De afbeelding 0 noemen we de absolute waarde op .

15.14 Propositie. De absolute waarde 0,α|α| voldoet aan de eisen voor een absolute waarde: voor alle α,β hebben we

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

De absolute waarden van reële getallen zijn getallen in 0. In het vorige hoofdstuk waren absolute waarden van getallen elementen van 0. De voornaamste reden was dat we nog moesten construeren. De absolute waarde van een getal is z’n afstand tot 0. Het is gebruikelijk om afstanden waarden in 0 te laten aannemen. Evenals bij is de functie × 0,(α,β)|α β| een metriek. Dat is bij iedere absolute waarde zo.

15.15 Propositie. Zij α . Laat α gerepresenteerd zijn door de Cauchyrij (an) in . Dan

|α| = [(|an|)].

(Dus: |α| is het reële getal dat wordt gerepresenteerd door de Cauchyrij (|an|).

Bewijs.   Als α = 0, dan is (an) een nulrij. Dus is ook (|an|) een nulrij.

Als α > 0, dan is er een N zodat an > 0 voor n N. Dus dan |α| = α = [(an)] = [(|an|)].

Als α < 0, dan is er een N zodat an < 0 voor n N. Dus dan |α| = α = [(an)] = [(an)] = [(|an|)]. □

We hadden dit ook als definitie van |α| kunnen nemen en vervolgens de nu gegeven definitie als propositie afleiden.

[volgende][vorige][inhoud