] > De volledigheid van ℝ [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.2  De volledigheid van

Op het lichaam hebben we een absolute waarde die een voortzetting is van de absolute waarde op . Evenals voor hebben we dus ook voor de begrippen nulrij, convergente rij en Cauchyrij. Een Cauchyrij in hoeft in niet convergent te zijn. We laten zien dat een Cauchyrij in wel in convergeert. Dat was ook het doel van de uitbreiding van tot . We zullen zien dat zelfs iedere Cauchyrij in convergeert. Men zegt daarom dat het lichaam compleet of volledig is met betrekking tot de absolute waarde op .

15.16 Propositie. Zij (an) een Cauchyrij in . Dan convergeert deze in naar [(an)].

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

Dus: wordt α gerepresenteerd door de Cauchyrij (an) in , ofwel α = [(an)], dan limnan = α.

In het bijzonder ligt er bij ieder reëel getal een rationaal getal binnen iedere voorgeschreven afstand:

15.17 Gevolg. Zij α een reëel getal en zij ε > 0. Dan is er een rationaal getal a met |a α| < ε.

Bewijs.   Er is een rij (an) van rationale getallen met limnan = α. Er is dan een N met |an α| < ε voor alle n N. In het bijzonder geldt |aN α| < ε. □

We bewijzen nu dat in iedere Cauchyrij convergeert.

15.18 Stelling. Laat (αn) een Cauchyrij van reële getallen zijn. Dan convergeert de rij (αn).

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

In dit bewijs hebben we gebruikt dat de som van een nulrij en een Cauchyrij een Cauchyrij is. Voor rijen in hebben we dit in het vorige hoofdstuk aangetoond. Dat hoofdstuk is zo georganiseerd dat van een aantal paragrafen alle definities, lemma’s, proposities en stellingen zonder meer kunnen worden uitgebreid tot de reële getallen. We lopen deze paragrafen na:

  1. Het begrip nulrij in hebben we al gebruikt. Ook het begrip begrensde rij is van toepassing op rijen in . Alle lemma’s en proposities gelden ook in . In het bijzonder de Ongelijkheid van Bernoulli voor x met x 1.
  2. Het begrip convergentie hebben we al gebruikt. Ook hebben we de begrippen stijgend en dalend voor rijen in . Alle lemma’s en proposities gelden ook voor rijen in .
  3. De transformatie γ van zetten we voort tot : γ(α) = gα gα voor α . Dit leidt tot de g-tallige ontwikkeling (γn1(α))n1 van een reëel getal α met 0 α < 1. De Proposities 14.3714.38 en 14.40 hebben speciaal betrekking op het repeterende karakter van de g-tallige ontwikkeling van rationale getallen.
  4. Het begrip Cauchyrij hebben we al gebruikt. Uit de volledigheid van volgt dat de begrippen Cauchyrij en convergente rij samenvallen. In Stelling 14.51 is de conclusie dat een rij een Cauchyrij is. Voor de reële getallen krijgen we zo de Stelling van Cantor die hieronder geformuleerd is.

15.19 Stelling (Cantor). Zij (αn) een stijgende rij reële getallen zijn en (βn) een dalende rij reële getallen. Laat verder gegeven zijn dat αn βn voor alle n en dat de rij (αn βn) een nulrij is. Dan convergeren (αn) en (βn) en er geldt voor alle m

αm limnαn = limnβn βm.

Bewijs.   Als bij Stelling 14.51 kan geconcludeerd worden dat (αn) en (βn) Cauchyrijen zijn. Omdat volledig is convergeren ze en omdat ze een nulrij verschillen hebben ze dezelfde limiet. Verder is (αn) stijgend en dus is de limiet wegens Gevolg 15.11 groter dan of gelijk aan iedere term in de rij. □

15.20 Voorbeeld. De rij (an) met an = 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + + 1 n2 voldoet aan a1 a2 . De rij (bn) met bn = an + 1 n voldoet aan b1 b2 , immers

bn bn+1 = an + 1 n an+1 1 n+1 = 1 n 1 n+1 1 (n+1)2 = (n+1)2n(n+1)n n(n+1)2 = 1 n(n+1)2.

Omdat bn an = 1 n is de stelling van Cantor van toepassing. Omdat a4 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 = 205 144 en b4 = a4 + 1 4 = 205 144 + 1 4 = 241 144 hebben we voor de limiet λ een segment van lengte 1 4 waar hij in ligt, namelijk 205 144 λ 241 144. In feite geldt λ = π2 6 , maar dat is een heel ander verhaal.

Zij g met g 2. Is (cn)n1 een rij in g, dan is volgens Gevolg 14.52 de rij (an)n1 met an = k=1nck gk een Cauchyrij van rationale getallen. Deze convergeert in . We hebben nu dus een correspondentie tussen

 reële getallen α met 0 α < 1

en

 rijen in g zonder g 1-staart.

Daarbij corresponderen de rationale getallen in de eerste verzameling met repeterende rijen in de tweede verzameling.


Simon Stevin (Brugge 1548 – Den Haag 1620)


De decimale schrijfwijze van reële getallen en het gebruik ervan in de wiskunde is geïntroduceerd door Simon Stevin. Hij had een belangrijke rol in de organisatie van de strijd van de Noordelijke Nederlanden tegen de Spaanse overheersing. Hij schreef boeken over vele onderwerpen: mechanica, hydrostatica, astronomie, de verdeling van het octaaf in twaalf intervallen, reële getallen, driehoeksmeetkunde, perspectief, algebra, politiek. Hij had een diep inzicht in de aard van de reële getallen, maar kon imaginaire getallen niet accepteren. Het woord ‘wiskunde’ is van Stevin afkomstig. Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Stevin.


Een direct gevolg van de Stelling van Cantor is de volgende stelling.

15.21 Stelling. Iedere begrensde rij in heeft een convergente deelrij.

Bewijs.   Laat (γn) een begrensde rij in zijn. Er is een C met |γn| C voor alle n . We definiëren rijen (αn) en (βn) door

(α0,β0) = (C,C)  en voor alle n : (αn+1,βn+1) = (αn, αn+βn 2 ) als er oneindig veel k  zijn met αn γk αn+βn 2 , (αn+βn 2 ,βn)  anders.

Merk op dat voor iedere n er oneindig veel k zijn met αn+βn 2 γk βn als er slechts eindig veel zijn met αn γk αn+βn 2 . Kies nu een deelrij (γi(n)) met αn γi(n) βn voor iedere n . Deze deelrij convergeert wegens de Stelling van Cantor. □

En een gevolg hiervan is:

15.22 Gevolg. Iedere begrensde stijgende rij in convergeert.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

De supremumstelling

Het lichaam is volledig: iedere Cauchyrij in convergeert. Die volledigheid kan ook op andere manieren gekarakteriseerd worden. Een daarvan is de supremumstelling. Hij wordt veel gebruikt, maar niet in dit boek.

15.23 Definitie. Een λ heet een bovengrens van een X als x λ voor alle x X. Heeft X een bovengrens, dan zeggen we ook dat hij naar boven begrensd is. Heeft de verzameling van bovengrenzen van X een kleinste element, dan noemen we dit de element de kleinste bovengrens of het supremum van X. Het supremum van X wordt genoteerd als sup(X). De kleinste ondergrens of het infimum van X noteert men met inf(X) (als hij bestaat).

15.24 Voorbeelden. De verzamelingen

{x 0 < x < 1}, {x 0 x 1}, {x 0 < x < 1}, {1 1 nn }

hebben alle vier het supremum 1.

15.25 Supremumstelling. Zij X een niet-lege en naar boven begrensde deelverzameling van . Dan heeft X een supremum.

Bewijs.   Neem een α X en een bovengrens λ van X. Dan α λ. We definiëren een rij (αn,λn) in 2 door (α0,λ0) = (α,λ) en voor alle n :

(αn+1,λn+1) = (αn, αn+λn 2 ) als αn+λn 2  een bovengrens is, (αn+λn 2 ,λn)  anders.

Dan (αn) stijgend, (λn) dalend, αn λn voor alle n en (λn αn) is een nulrij, want λn αn = 1 2n(λ α). Uit Stelling 15.19 volgt dat de rijen (αn) en (βn) convergeren naar een μ . We laten zien dat μ de kleinste bovengrens van X is.

Zij x X. Dan x λn voor alle n en dus x limnλn = μ.

Dus is μ een bovengrens van X.

Stel μ < μ en μ is een bovengrens. Omdat (λn αn) een nulrij is, is er een n zodat λn αn < μ μ. Er is een x X met x αn. We hebben dan

αn x μ < μ λ n.

Hieruit volgt μ μ λn αn. Tegenspraak.

Dus geldt voor iedere bovengrens μ van X dat μ μ. Dus is μ de kleinste bovengrens. □

Hier volgt natuurlijk uit dat een niet-lege naar beneden begrensde verzameling X een infimum heeft: pas de stelling toe op X.

[volgende][vorige][inhoud