] > Veeltermvergelijkingen over ℝ [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.3  Veeltermvergelijkingen over

We gaan uit van een veelterm van graad m:

f(x) = xm + α 1xm1 + + α kxmk + + α m,

waarbij α1,,αm . We bestuderen de vraag of de m-de-graads vergelijking f(x) = 0 een oplossing heeft, m.a.w. of de veeltermfunctie xf(x) een nulpunt heeft.

We gaan gebruik maken van het feit dat veeltermfuncties continu zijn. We gebruiken hier een continuïteitsbegrip dat was geïntroduceerd door Heine. De gebruikelijke definitie is die van Cauchy.

15.26 Definitie. Zij U . Een functie g: U heet continu in een γ U als

limng(γn) = g(γ)

voor alle rijen (γn) in U die naar γ convergeren. De functie g: U heet continu als hij continu is in alle γ U.


Heinrich Eduard Heine (Berlijn 1821 – Halle 1881)


Heine was een leerling van Dirichlet. Hij heeft bijgedragen aan het begrip continuïteit in de wiskunde en is vooral bekend door de Stelling van Heine en Borel over deelverzamelingen van .

Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Heine.


We vergelijken het continuïteitsbegrip van Heine met dat van Cauchy. In dit boek maken we daar verder geen gebruik van.

Definitie (Cauchy). Zij U . Een functie g: U heet continu in een γ U als er bij iedere ε > 0 een δ > 0 bestaat zodat |g(x) g(γ)| < ε voor alle x U met |x γ| < δ.
Propositie. Zij U . Een functie g: U is continu (volgens de definitie van Heine) in een γ U dan en slechts dan als hij dat is volgens de definitie van Cauchy.
Bewijs. Stel g is continu in γ volgens de definitie van Cauchy. Laat (γn) een rij in U zijn die convergeert naar γ. Te bewijzen dat (g(γn)) convergeert naar g(γ). Zij ε > 0 willekeurig. Er is een δ > 0 met |g(x) g(γ)| < ε voor alle x U met |x u| < δ. Omdat (γn) convergeert naar γ, is er een N zodat |γn γ| < δ voor alle n met n N. Voor deze n geldt dan |g(γn) g(γ)| < ε. Dus convergeert (g(γn)) naar g(γ).

Stel g is volgens de definitie van Cauchy niet continu in γ. Te bewijzen dat er in U een rij (γn) is die convergeert naar γ terwijl (g(γn)) niet convergeert naar g(γ). Er is een ε > 0 zodat voor alle δ > 0 er een x U is met |x γ| < δ en |g(x) g(γ)| ε. Neem bij iedere n een γn U met |γn γ| < 1 n en |g(γn) g(γ)| ε. □

15.27 Propositie. Veeltermfuncties op zijn continu.

Bewijs.   Dit is een gevolg van rekenregels voor limieten: stel limnγn = γ, dan

limnf(γn) = limn k=0mα kγnmk = k=0m lim n(αkγnmk) = k=0mα kγmk = f(γ).

De volgende stelling geeft voorwaarden voor het bestaan van een nulpunt van een reële functie g(x).

15.28 Stelling. Laten α en β reële getallen zijn met α < β. Zij g: continu in alle γ met α < γ < β. Stel dat g(α) < 0 en g(β) > 0. Dan is er een γ met α < γ < β en g(γ) = 0.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

We geven in deze paragraaf twee gevolgen van deze stelling.

15.29 Gevolg. Laat f(x) een veelterm over zijn van oneven graad. Dan heeft f(x) een nulpunt in .

Bewijs.   Zij f(x) = xm + α1xm1 + + αkxmk + + αm waarbij α1,,αm en m oneven. Uit limnf(n) nm = 1 volgt dat er een N is met f(N) Nm > 0 en dus ook f(N) > 0. Uit limn f(n) (n)m = 1 volgt dat er een M is met f(M) (M)m > 0 en dus f(M) < 0, want (M)m < 0. Uit Propositie 15.27 en Stelling 15.28 volgt dan dat er een nulpunt γ van f(x) is met M < γ < N. □

In was worteltrekken zeer beperkt mogelijk. In is dat anders.

15.30 Gevolg. Zij α een positief reëel getal en zij m . Dan is er een positief reëel getal γ met γm = α.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.31 Definitie. Zij α 0 en zij m . Het unieke reële getal γ 0 met γm = α heet de m-de-machts wortel uit α. Notatie: γ = αm.

We hebben gezien dat er voor veel veeltermvergelijkingen oplossingen in zijn. In het bijzonder geldt dat veel vergelijkingen met coëfficiënten in oplossingen in hebben terwijl ze in geen oplossingen hebben.

15.32 Definitie. Een getal dat een oplossing is van een veeltermvergelijking met rationale coëfficiënten heet algebraïsch. Is een getal niet algebraïsch dan heet het transcendent.

We zullen zien dat er in zeer veel transcendente getallen zijn.

[volgende][vorige][inhoud