] > Reele getallen en meetkunde [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.4  Reële getallen en meetkunde

Uit de vorige paragraaf blijkt dat vierkantswortels uit positieve reële getallen bestaan. Die zijn nodig voor de stelling van Pythagoras.

15.4.1  Het getal π

Bij het benaderen van π op de manier van Archimedes zijn vierkantswortels nodig.

Het getal π is een voorbeeld van een transcendent getal. We zullen de transcendentie hier niet bewijzen. In 1882 was de Duitse wiskundige Lindemann de eerste die er een bewijs voor gaf. Een gevolg van de transcendentie van π is dat een cirkel niet ‘gekwadrateerd’ kan worden: het is niet mogelijk uitgaande van (de straal van) een cirkel een vierkant met dezelfde oppervlakte te construeren. De ‘kwadratuur van de cirkel’, een probleem dat bestond sinds de Griekse Oudheid, was daarmee in negatieve zin opgelost.

Het getal π is de verhouding van omtrek en diameter van de cirkel. De lengte van een kromme is op een of andere manier gedefinieerd als een limiet. Uitgangspunt is dat een kromme benaderd wordt met rechte lijnstukken en dat als het een niet al te wilde kromme is, de lengte van de kromme de limiet is van de som van de lengten van de lijnstukjes. Dat is wat Archimedes deed. Hij benaderde de cirkel met ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken. In feite nam hij regelmatige 3 2n1-hoeken: een driehoek, een zeshoek, een twaalfhoek etc., ingeschreven en omgeschreven. Voor n nemen we an gelijk aan de halve lengte van de omtrek van een ingeschreven regelmatige 3 2n1-hoek en bn die van een omgeschreven regelmatige 3 2n1-hoek. Meetkundig kan worden afgeleid dat voor alle n

an+1 = an 2bn an+bn, bn+1 = 2anbn an+bn.

Deze formules, samen met a1 = 3 23 en b1 = 33, leggen de tweetallen an,bn op inductieve wijze vast. Stelling 15.19 is hier van toepassing. Dat is meetkundig duidelijk. We leiden het af uit de formules.

Archimedes berekende met behulp van a6 < π < b6 dat 223 71 < π < 22 7 . Daarvoor moest hij ook benaderingen geven van de in deze berekening optredende vierkantswortels. De afschatting van Archimedes is dus bereikt met de omtrekken van een ingeschreven en een omgeschreven regelmatige 96-hoek.


Archimedes van Syracuse (Syracuse 287 v.C. – Syracuse 212 v.C.)


Archimedes heeft voor nieuwe ontwikkelingen in de meetkunde van de Grieken gezorgd door van nieuwe methoden gebruik te maken. Zijn methoden van benaderen van getallen liepen vooruit op die van Newton en Leibniz in de zeventiende eeuw. Zijn wiskundige precisie daarbij werd pas in de negentiende eeuw geëvenaard toen het limietbegrip een stevige basis kreeg. Archimedes was ook zeer inventief bij het ontwerpen van allerlei werktuigen. Voor een deel dienden die om de Romeinen van Sicilië weg te houden.

Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Archimedes.


Het gebruik van de letter π in verband met de verhouding van omtrek en diameter van de cirkel dateert uit de zeventiende eeuw. Oughtred noteerde de verhouding van diameter tot omtrek in 1647 als dπ en Gregory gebruikte πr voor de verhouding van omtrek tot straal. In 1706 noteerde William Jones de verhouding van omtrek tot diameter, zoals wij dat nu ook doen, met π. Euler nam deze gewoonte over in 1737 en dat droeg veel bij tot de algemene acceptatie van het gebruik van π.

15.4.2  Coördinaten

Descartes introduceerde het gebruik van coördinaten in de meetkunde. Dat was het begin van een algebraïsering van de meetkunde. Het platte vlak wordt geïdentificeerd met 2, de verzameling van geordende paren van reële getallen. Meetkundige begrippen worden vertaald in algebraïsche. Bijvoorbeeld het begrip afstand. Bij een normaal rechthoekig coördinatenstelsel volgt uit de Stelling van Pythagoras dat de afstand als volgt gedefinieerd moet worden.

15.33 Definitie. De afstand d((x1,y1),(x2,y2)) van (x1,y1) tot (x2,y2) is gedefinieerd door

d((x1,y1),(x2,y2)) = (x1 x2 )2 + (y1 y2 )2.

Meetkundig is duidelijk dat de afstand in 2 een metriek is. We leiden het uit de definitie af.

15.34 Propositie. De afstand d: 2 × 2 0 is een metriek.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

[volgende][vorige][inhoud