] > De groep ℝ∗ [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.5  De groep

De multiplicatieve structuur van correspondeert met z’n additieve structuur: vermenigvuldigen van machten betekent het optellen van de exponenten. Ook bij speelt dit een rol: via de priemfactorontbinding gaat vermenigvuldigen in >0 over in optellen van de valuaties. Voor >0 geldt dat vermenigvuldigen correspondeert met optellen in . We voeren hiervoor eerst de exponentiële functie in.

15.35 Definitie. Zij x . De rij (en(x)) in is gedefinieerd door:

en(x) = k=0nxk k!  voor alle n .

Dus: (en(x)) is de reeks met algemene term xn n! . We laten zien dat deze reeks convergeert. De limiet zal de waarde van de exponentiële functie in x zijn.

15.36 Lemma. De rij (en(x)) convergeert voor alle x .

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

We kunnen nu de exponentiële functie definiëren:

15.37 Definitie. Voor iedere x definiëren we

exp(x) = n=0xn n! .

De functie exp: heet de exponentiële functie.

15.38 Stelling. Voor alle x,y geldt exp(x + y) = exp(x)exp(y).

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.39 Gevolg. Voor alle x geldt exp(x) > 0.

Bewijs.   Voor x 0 is het uit de definitie duidelijk dat exp(x) 1. Uit exp(x)exp(x) = exp(0) = 1 volgt dat voor x 0 geldt 0 < exp(x) 1. □

15.40 Gevolg. Laten x1 en x2 reële getallen zijn x1 < x2. Dan exp(x1) < exp(x2).

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

We kunnen de functie exp zien als een afbeelding exp: >0. We zullen zien dat deze afbeelding een bijectie is.

15.41 Stelling. De exponentiële functie is continu.

Bewijs.   We bewijzen eerst dat exp continu is in 0. Zij (γn) een nulrij. Te bewijzen dat exp(γn) naar exp(0) = 1 convergeert, ofwel dat (exp(γn) 1) een nulrij is. Zij N zo dat |γn| < 1 2 voor alle n N. Dan voor n N:

|exp(γn) 1| =| k=1γnk k! | k=1|γ n|k = |γn| 1 |γn| < 2|γn|.

Omdat (γn) een nulrij is, is (exp(γn) 1) dat ook.

Laat nu (γn) een willekeurige convergente rij zijn, zeg met limiet γ. Dan

limn exp(γn) = limn exp(γn γ)exp(γ) = exp(γ).

15.42 Gevolg. Zij y met y > 0. Dan is er een x met exp(x) = y.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.43 Stelling. De afbeelding exp: >0 is een isomorfisme van groepen.

Bewijs.   Uit Gevolg 15.40 volgt dat exp injectief is. Uit Gevolg 15.42 volgt dat exp surjectief is. Met Stelling 15.38 hebben we dus dat exp een isomorfisme is van de groep (met de optelling) naar de groep 0 (met de vermenigvuldiging). □

Omdat exp: >0 bijectief is heeft hij een inverse:

15.44 Definitie. De functie log: >0 is gedefinieerd als de inverse van de functie exp. De functie log heet de logaritme of ook de natuurlijke logaritme en wordt ook met ln aangeduid.

De afbeelding 2 × >0 ,(k¯,x)(1)kx is een isomorfisme van groepen. We hebben dus een isomorfisme

2 × ,(1)kx(k¯,logx) (waarbij x > 0).

Vermenigvuldigen in wordt hiermee vertaald in optellen in 2 × .

We hebben gezien dat er bij iedere β > 0 en iedere m een γ > 0 is met γm = β. Met de functie exp is dat opnieuw in te zien:

(log( 1 m exp(β)))m = log(exp(β)) = β.

Het trekken van de m-de-machts wortel uit β is te vertalen in het delen van exp(β) door m.

We kunnen nu βx definiëren voor alle β 0 en alle x :

15.45 Definitie. Laten β en x reële getallen zijn met β > 0. We definiëren β tot de macht x:

βx = exp(xlogβ).

De functie ,xβx heet de exponentiële functie met grondtal β.

Voor x is dat niets nieuws: exp(xlogβ) = exp(log(βx)) = βx. Voor x = 1 m met m geeft dat β 1 m = βm.

15.46 Stelling. Laten β, x en y reële getallen zijn met β > 0. Dan

  1. βx+y = βxβy,
  2. (βx)y = βxy.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.47 Notatie. Het getal exp(1) noteren we als e.

De functie exp is dus de exponentiële functie met grondtal e:

ex = exp(xloge) = exp(x).

Interesse in zaken die het getal e betreffen ontstond in de zeventiende eeuw bij vele wiskundigen (Napier, Briggs, Huygens, Mercator). Het ging dan vooral om exponentiële functies. Daarbij kwam het getal e zelf slechts op impliciete wijze aan bod. Jacob Bernoulli bestudeerde het getal e als limiet van de rij ((1 + 1 n)n), als gevolg van zijn interesse in de samengestelde interest, zonder dat hij een verband legde met de exponentiële functie. Leibniz was de eerste die voor het getal e een aparte notatie gebruikte, namelijk b. Dat was in een brief aan Huygens in 1690. Het gebruik van de letter e begon bij Euler. Men denkt dat hij deze letter gebruikte omdat hij een klinker wilde gebruiken en bij hem de a al in gebruik was. Hij gaf de benadering 2,718281828459045235. Daar zijn de eerste 20 termen van n=01 n! voor nodig. Hij bewees ook dat e de limiet is van de rij ((1 + 1 n)n).

Gauß vermoedde (in 1791 als veertienjarige) dat een goede benadering van π(n), zie Definitie 13.1, wordt gegeven door de n log n, of preciezer

limnπ(n)logn n = 1.

Dit vermoeden van Gauß werd ruim een eeuw later, in 1896, bewezen door J. Hadamard en C. de la Vallée Poussin, onafhankelijk van elkaar. Dit bewezen vermoeden van Gauß staat bekend als de Priemgetalstelling.

[volgende][vorige][inhoud