] > Oneindige kettingbreuken [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.6  Oneindige kettingbreuken

We hebben gezien hoe met behulp van het algoritme van Euclides een rationaal getal geschreven kan worden als a1,,an, de kettingbreuk van getallen a1 en a2,,an . Dit proces levert, toegepast op een rationaal getal r:

r = a1,r2 = a1,a2,r3 = = a1,,an1,rn,

waarbij (met r1 = r):

ak = rk rk+1 = 1 rkak

voor k = 1,,n 1. Het proces stopt zodra rn .

We kunnen het procedé ook toepassen op een irrationaal getal α. Dan krijgen we:

α = α,φ(α) = α,φ(α),φ2(α) = = α,φ(α),,φn1(α),φn(α),

waarbij φ de transformatie van is die een irrationaal getal α afbeeldt op 1 αα, ofwel φ(α) is gedefinieerd door

α = α + 1 φ(α).

Met behulp van oneindige kettingbreuken kunnen irrationale getallen goed met rationale getallen worden benaderd. Hoe goed zo’n benadering is, is het onderwerp van de volgende paragraaf.

15.48 Voorbeeld. We nemen α = 2. We krijgen dan:

2 = 1 + (2 1) φ(2) = 1 2 1 = 2 + 1 = 2 + (2 1) φ2(2) = 1 2 1 = 2 + 1 = 2 + (2 1)

Dus:

2 = 1,2 + 1 = 1,2,2 + 1 = 1,2,2,2 + 1 = = 1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 + 1.

We zijn geneigd te schrijven

2 = 1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,,

maar dan moeten we eerst nog aan het rechterlid een betekenis toekennen en vervolgens aantonen dat hier van een gelijkheid sprake is.

15.49 Stelling. Laat gegeven zijn een rij a1,a2,a3, met a1 en a2,a3, . Dan convergeert de rij r1,r2,r3, van rationale getallen gedefinieerd door

rn = a1,,an(voor alle n ).

Bewijs.   We berekenen rn+1 rn:

rn+1 rn = a1,,an+1a1,,an = pn+1 qn+1 pn qn = pn+1qn pnqn+1 qnqn+1 = (1)n+1 qnqn+1 .

Uit de definitie van de getallen q1,q2, volgt eenvoudig dat

1 = q1 q2 < q3 < q4 < .

De rij van de verschillen rn+1 rn is afwisselend positief en negatief en de rij (|rn+1 rn|) daalt naar 0. Daaruit volgt dat de rij (rn) een Cauchyrij is en dus naar een reëel getal convergeert. □

15.50 Definitie. Voor getallen a1,a2,a3, met a1 en a2,a3, definiëren we de (oneindige) kettingbreuk van de getallen a1,a2,a3, door

a1,a2,a3, = limna1,a2,,an.

15.51 Definitie. Zij α . De rij α,φ(α),φ2(α), noemen we de kettingbreukontwikkeling van α.

15.52 Voorbeeld. We hebben gezien dat 1,2,2,2,2,2,2,2, de kettingbreukontwikkeling van 2 is. De getallen 1,2,2,2,2,,2 zijn te berekenen zoals in de vorige paragraaf is beschreven:













i: 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8











a i: 1 2 2 2 2 2 2 2











p i: 0 1 1 3 7 17 41 99 239 577











q i: 1 0 1 2 5 12 29 70 169 408











We hebben dus:

1 < 7 5 < 41 29 < < 1,2,2,2,2,2,2,2,2, < < 99 70 < 17 12 < 3 2.

We zullen aantonen dat de kettingbreuk van de kettingbreukontwikkeling van een irrationaal getal datzelfde irrationale getal is, en dus in het bijzonder 2 = 1,2,2,2,2,2,.

15.53 Stelling. Zij α . Dan

α = α,φ(α),φ2(α),φ3(α),.

Bewijs.   We schrijven an = φn1(α) voor n . Te bewijzen

α = limna1,a2,,an.

Dit volgt uit

|α a1,,an| = |a1,,an,φn(α)a 1,,an| = 1 |qn(a1,,an)qn+1(a1,,an,φn(α))| < 1 qn(a1,,an)2

en het feit dat de getallen qn(a1,,an) vanaf n = 2 een strikt stijgende rij vormen. □

15.54 Definitie. Het rationale getal α,φ(α),φ2(α),,φn1(α) heet de n-de convergent van het irrationale getal α.

15.55 Lemma. Zij α = a1,a2,a3, met a1 en a2,a3, . Dan α = a1 en φ(α) = a2,a3,.

Bewijs.  

a1,a2,a3, = limna1,,an+1 = limna1 + 1 a2,a3,,an+1 = a1 + 1 limna2,a3,,an+1 = a1 + 1 a2,a3,.

Uit a2,a3, volgt eenvoudig dat a2,a3, > 1, en dus α = a1 en φ(α) = a2,a3,. □

15.56 Stelling. Zij α = a1,a2,a3, met a1 en a2,a3, . Dan geldt voor alle n :

an = φn1(α).

(Dus is de rij a1,a2,a3, de kettingbreukontwikkeling van α.)

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

Uit het bovenstaande volgt dat de afbeelding van naar de verzameling der rijen a1,a2,a3, met a1 en a2,a3 , die aan een irrationaal getal z’n kettingbreukontwikkeling toevoegt, bijectief is. De inverse van deze afbeelding voegt aan zo’n rij de kettingbreuk van die rij getallen toe.


Christiaan Huygens (Den Haag 1629 – Den Haag 1695)


Christiaan Huygens gebruikte als eerste kettingbreuken voor praktische toepassingen. Hij gebruikte ze voor het bepalen van het aantal tanden van tandraderen voor het bouwen van een planetarium. Hij ontdekte de maan Titan van Saturnus en ook de ring van Saturnus met een zelfgemaakte lens. Hij was bevriend met Descartes en voerde correspondenties met o.a. Mersenne, Pascal en Fermat. Als eerste schreef hij een boek over waarschijnlijkheidsrekening. Hij ontwierp de penduleklok voor nauwkeurige tijdmeting. Huygens verbleef geregeld in Parijs en Londen en had daar contacten met o.a. Leibniz en Newton. Hij heeft bijgedragen aan de grondslagen van de mechanica en de theorie van het licht.

Zie The MacTutor History of Mathematics archive voor meer over Huygens.


[volgende][vorige][inhoud