] > Diophantische benadering [volgende][vorige][inhoud]                        (versie: 23 augustus 2011)

15.7  Diophantische benadering

Benaderen we een positief irrationaal getal α tot op n cijfers achter de komma, dan verkrijgen we een rationaal getal van de vorm

p 10n (met p ),

waarvoor geldt

|α p 10n| < 1 2 10n.

Bij benaderingen met behulp van de decimale ontwikkeling van een getal, beperken we ons tot benaderingen met breuken met als noemer een macht van 10. Hoe goed een benadering van een irrationaal getal met een rationaal getal is bekijken we per gegeven noemer: nemen we q als noemer dan is er een unieke p zo dat

|α p q| < 1 2q.

Maken we de noemer n keer zo groot, dan is te verwachten dat de benadering ongeveer n keer zo nauwkeurig is. De geschiktheid van een gegeven noemer q is het best te beoordelen in verhouding tot q, d.w.z. een goede maat voor de geschiktheid van q als noemer is

|qα p|,

waarbij p de unieke p is zo dat |α p q| < 1 2q. Voor iedere q hebben we dan dat er een p is met

|qα p| < 1 2.

Laat nu de rij a1,a2,a3, de kettingbreukontwikkeling zijn van α (dus an = [φn1(α)] voor n = 1,2,3,). We schrijven pn voor pn(a1,,an) en qn voor qn(a1,,an). We zullen laten zien dat de getallen qn ‘goede’ noemers zijn voor het benaderen van α, dat oneindig vele van deze zelfs ‘zeer goed’ zijn, en dat dit ook alle ‘zeer goede’ noemers zijn.

15.57 Propositie. |qnα pn| < 1 qn voor alle n .

Bewijs.   Zij n . Er geldt pn qn < α < pn+1 qn+1 of pn+1 qn+1 < α < pn qn, dus

α pn qn < pn+1 qn+1 pn qn = 1 qnqn+1 < 1 qn2.

Dus |qnα pn| < 1 qn. □

15.58 Propositie. Voor oneindig vele n geldt |qnα pn| < 1 2qn.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.59 Lemma. Zij n . Voor alle q met q < qn+1 en alle p geldt

|qα p||qnα pn|.

Bewijs.   Er zijn u,v zo dat

p = upn + vpn+1 q = uqn + vqn+1

Immers, vermenigvuldigen we de eerste gelijkheid met qn en de tweede met pn, dan levert aftrekken (1)nv = qpn pqn. En vermenigvuldigen we de eerste met qn+1 en de tweede met pn+1, dan geeft aftrekken (1)nu = pqn+1 qpn+1. Als u = 0, dan q = vqn+1, hetgeen in tegenspraak is met q < qn+1. Dus u0. Uit q = uqn + vqn+1 volgt eenvoudig dat u en v een verschillend teken hebben (als v0), en dus (omdat dit ook geldt voor qnα pn en qn+1α pn+1):

|qα p| = |u(qnα pn) + v(qn+1α pn+1)||u(qnα pn)||qnα pn|.

Voor het benaderen van α is er onder de getallen < qn+1 geen die een betere noemer is dan qn.

15.60 Stelling. Zij q en zij p zo dat |qα p| < 1 2q en ggd(p,q) = 1. Dan is er een n zo dat p = pn en q = qn.

Bewijs.  In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □

15.61 Voorbeeld. In Voorbeeld 15.52 berekenden we de eerste 8 convergenten van 2. Dat 2 bestaat, d.w.z. een limiet is van een rij rationale getallen hadden we ingezien met de supremumstelling. De convergenten van 2 die eenvoudig met de kettingbreukontwikkeling van 2 kunnen worden berekend vormen een rij rationale getallen die naar 2 convergeert en waarvan ook duidelijk is hoe snel hij naar 2 convergeert.

i pi qi pi qi pi2 qi2 1 qiqi+1






1 1 1 1 1 0,5 2 3 2 1,5 2,25 0,1 3 7 5 1,4 1,96 0,01 4 17 12 1,416666 2,069444 0,002 5 41 29 1,413793 1,998810 0,0004 6 99 70 1,414285 2,000204 0,00008 7 239 169 1,414201 1,999964 0,00001 8 577 408 1,414215 2,000006 0,000002

Voor het getal π geldt

π = 3,7,15,1,292,.

Dit levert










i: 1 0 1 2 3 4 5








a i: 3 7 15 1 292








p i: 0 1 3 22 333 355 103993








q i: 1 0 1 7 106 113 33102








Dit geeft zeer goede benaderingen van π:

π 22 7 < 1 7 106 = 1 742.

Een veel betere benadering dan met iedere andere noemer in de buurt van 7. Omdat a5 nogal groot is, is p4 q4 een bijzonder goede benadering van π:

π 355 113 < 1 113 33102 < 3 107.

Niemand heeft enige regelmaat kunnen ontdekken in de kettingbreukontwikkeling van π. Bij het getal 2 is er wel zo’n regelmaat: hij repeteert met periode 1. Het kan natuurlijk best het geval zijn dat een reëel getal een duidelijke regelmaat in z’n kettingbreukontwikkeling heeft, zonder dat er sprake is van repeteren. Dit geldt bijvoorbeeld voor het getal

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,.

Vreemd genoeg is er voor e, het grondtal van de natuurlijke logaritme, iets dergelijks aan de hand:

e = 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,.

[volgende][vorige][inhoud