] >
Benaderen we een positief irrationaal getal tot op cijfers achter de komma, dan verkrijgen we een rationaal getal van de vorm
waarvoor geldt
Bij benaderingen met behulp van de decimale ontwikkeling van een getal, beperken we ons tot benaderingen met breuken met als noemer een macht van . Hoe goed een benadering van een irrationaal getal met een rationaal getal is bekijken we per gegeven noemer: nemen we als noemer dan is er een unieke zo dat
Maken we de noemer keer zo groot, dan is te verwachten dat de benadering ongeveer keer zo nauwkeurig is. De geschiktheid van een gegeven noemer is het best te beoordelen in verhouding tot , d.w.z. een goede maat voor de geschiktheid van als noemer is
waarbij de unieke is zo dat . Voor iedere hebben we dan dat er een is met
Laat nu de rij de kettingbreukontwikkeling zijn van (dus voor ). We schrijven voor en voor . We zullen laten zien dat de getallen ‘goede’ noemers zijn voor het benaderen van , dat oneindig vele van deze zelfs ‘zeer goed’ zijn, en dat dit ook alle ‘zeer goede’ noemers zijn.
Bewijs. Zij . Er geldt of , dus
Dus . □
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bewijs. Er zijn zo dat
Immers, vermenigvuldigen we de eerste gelijkheid met en de tweede met , dan levert aftrekken . En vermenigvuldigen we de eerste met en de tweede met , dan geeft aftrekken . Als , dan , hetgeen in tegenspraak is met . Dus . Uit volgt eenvoudig dat en een verschillend teken hebben (als ), en dus (omdat dit ook geldt voor en ):
Voor het benaderen van is er onder de getallen geen die een betere noemer is dan .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
15.61 Voorbeeld. In Voorbeeld 15.52 berekenden we de eerste convergenten van . Dat bestaat, d.w.z. een limiet is van een rij rationale getallen hadden we ingezien met de supremumstelling. De convergenten van die eenvoudig met de kettingbreukontwikkeling van kunnen worden berekend vormen een rij rationale getallen die naar convergeert en waarvan ook duidelijk is hoe snel hij naar convergeert.
Voor het getal geldt
Dit levert
Dit geeft zeer goede benaderingen van :
Een veel betere benadering dan met iedere andere noemer in de buurt van . Omdat nogal groot is, is een bijzonder goede benadering van :
Niemand heeft enige regelmaat kunnen ontdekken in de kettingbreukontwikkeling van . Bij het getal is er wel zo’n regelmaat: hij repeteert met periode 1. Het kan natuurlijk best het geval zijn dat een reëel getal een duidelijke regelmaat in z’n kettingbreukontwikkeling heeft, zonder dat er sprake is van repeteren. Dit geldt bijvoorbeeld voor het getal
Vreemd genoeg is er voor , het grondtal van de natuurlijke logaritme, iets dergelijks aan de hand: