] >
In deze paragraaf completeren we met betrekking tot de -adische absolute waarde. Completeren kan algemeen gebeuren voor elke absolute waarde. In het vorige hoofdstuk hebben we gecompleteerd met betrekking tot de gewone absolute waarde op . We lopen de constructie in dit speciale geval na en letten er daarbij op of er hier bijzondere eigenschappen zijn.
16.1 Definitie. -Adische Cauchyrijen en in heten -adisch equivalent als de rij een -adische nulrij is. Notatie: . We geven de verzameling van -adische Cauchyrijen in aan met .
We hebben ook nu:
16.3 Definitie. Een -adisch getal is een equivalentieklasse in . Notatie: de klasse van een -adische Cauchyrij geven we aan met . De verzameling is de verzameling van de -adische getallen.
In dit hoofdstuk bekijken we alleen het -adische geval. Schrijven we , dan bedoelen we steeds dat een -adische Cauchyrij is en de equivalentieklasse met betrekking tot de relatie , een -adisch getal dus.
De som en het product van -adische getallen worden verkregen door representerende rijen op te tellen en te vermenigvuldigen. Dat is onafhankelijk van de keuze van de representanten:
16.4 Definitie. Laten en -adische Cauchyrijen in zijn. De som en het product van de -adische getallen en zijn gedefinieerd door
We hebben weer een injectieve afbeelding
We kunnen zien als een uitbreiding van . De klasse van een constante rij zullen we gewoonlijk met aangeven. Het is de klasse van rijen in die -adisch naar convergeren.
Bewijs. We kijken alleen naar het bestaan van een inverse. Zij met . Kies een representant van . Dan is geen -adische nulrij. Uit Propositie 14.81 volgt dat er een is zodat voor alle . We kunnen dus aannemen dat voor alle . Uit Propositie 14.84 volgt dan dat de rij ook een -adische Cauchyrij is. Er geldt . □
We zetten de -adische absolute waarde op voort tot een absolute waarde op . Is een -adisch getal , zeg , dan is er een met voor alle .
Er geldt dus , waarbij de limiet de gewone limiet is in . Als , is de rij voor grote constant. Als , dan is de rij een nulrij. De absolute waarden van -adische getallen zijn getallen in . Het beeld van is de verzameling .
Uit de definitie van de absolute waarde op volgt onmiddellijk: