] >
We hebben de -adische absolute waarde op voortgezet tot . We hebben nu dus ook nulrijen, convergente rijen en Cauchyrijen in . We tonen aan dat iedere -adische Cauchyrij in convergeert in .
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
Bij ieder -adisch getal is er dus een rationaal getal binnen iedere voorgeschreven afstand:
Hieruit volgt dat volledig is:
Bewijs. In: ”Getallen”, Epsilon deel 65, uitgegeven door Epsilon-Uitgaven. □
We hebben eigenschappen van nulrijen, convergente rijen en Cauchyrijen in gebruikt die bewezen waren voor -adische Cauchyrijen in . Alle begrippen en eigenschappen van paragraaf 14.6 zijn ook van toepassing op de completering . Is daar bij een eigenschap de conclusie dat een rij een -adische Cauchyrij is, dan kan voor geconcludeerd worden dat de rij convergeert. In het bijzonder hebben we:
We hebben dus bij iedere rij dat de rij in convergeert, zie Gevolg 14.79. We zullen zien dat we omgekeerd bij iedere met een -adische ontwikkeling kunnen maken en die hoeft dan niet te repeteren.