We willen toonen, dat de wiskunde onafhankelijk
is van de zoogenaamde logische wetten, (wetten van
redeneering of van menschelijk denken). Dit schijnt
paradox, want wiskunde wordt gewoonlijk gesproken
en geschreven als bewijsvoering, afleiding van eigenschappen,
en in den vorm van een aaneenschakeling
van syllogismen. Maar de voorstellingen, die door
de daarbij gebruikte woorden worden verwekt, bestaan
hierin, dat, waar wiskundige dingen worden gegeven
door hun relaties met een gedeelte van de enkelvoudige
of samengestelde deelen van een wiskundig gebouw,
1)
men door een reeks van tautologieën
2), de gegeven
relaties vervormt en trapsgewijs voortschrijdt naar de
relaties van het ding met andere deelen van het gebouw. De bewijzen, die we in het eerste hoofdstuk
van de allereerste stellingen der wiskunde gaven, bestonden in
[pag. 126]
het leeren lezen van die stellingen als tautologieën. Dat
in meer gecompliceerde gevallen een stelling niet direct
duidelijk is, maar eerst na een reeks van tautologieën
wordt ingezien, bewijst alleen, dat wij onze gebouwen
ingewikkelder bouwen, dan we in eens kunnen overzien. Er is een bijzonder geval, waar de aaneenschakeling
van syllogismen een eenigszins ander karakter
heeft, dat aan de gewone logische figuren meer
nabij schijnt te komen, en werkelijk het hypothetische
oordeel der logica schijnt te vooronderstellen. Dat is,
waar een gebouw ín een gebouw door eenige relatie
wordt gedefinieerd zonder dat men daarin direct het
middel ziet het te contrueeren. Het schijnt, dat men
daar onderstelt dat het gezochte geconstrueerd was,
en uit die onderstellingen een keten van hypothetische
oordeelen afleidt. 3)
Maar meer dan schijn is dit niet;
wat men hier eigenlijk doet, bestaat in het volgende:
men begint met een systeem te construeeren, dat aan
een deel der geëischte relaties voldoet, en tracht
uit die relaties door tautologieën andere af te leiden
zóó, dat ten slotte de afgeleide zich met de nog
achteraf gehoudene laten combineeren tot een
stelsel voorwaarden, dat als uitgangspunt voor de
constructie van het gezochte systeem kan dienen. Met
[pag. 127]
die constructie is dan eerst bewezen, dat werkelijk
aan de voorwaarden kan worden voldaan. ,,Maar'', zal de logicus zeggen, ,,het had ook
kunnen zijn, dat bij de redeneeringen een strijdigheid
tusschen de afgeleide en de nog wachtende
voorwaarden was voor den dag gekomen, en die
strijdigheid wordt toch waargenomen als logische
figuur
en bij het inzicht van de strijdigheid steunt
men op het principium contradictionis.'' Waarop
kan worden geantwoord: ,,De woorden van uw
wiskundig betoog zijn slechts de begeleiding van
een woordloos wiskundig bouwen, en waar gij de
strijdigheid uitspreekt, merk ik eenvoudig, dat het
bouwen niet verder gaat, dat er geen plaats is te
vinden in het gegeven grondgebouw voor het opgegeven
gebouw. En waar ik dat merk, denk ik
aan geen principium contradictionis. Is dus de wiskunde niet afhankelijk van de logica,
de logica is wèl afhankelijk van de wiskunde:
vooreerst het intuitief logisch redeneeren is dát bijzondere
wiskundige redeneeren, dat overblijft, als
men bij het bekijken der wiskundige systemen zich
uitsluitend beperkt tot relaties van geheel en deel;
de beschouwde wiskundige systemen zelf dragen
in geen opzicht een speciaal elementair karakter,
dat een prioriteit van logisch redeneeren zou kunnen wettigen.
Men zou kunnen aanvoeren: De relatie
opvolger zijn van, die het redeneeren in de eigenlijke
[pag. 128]
wiskunde beheerscht, treedt in de wiskunde van
het logisch redeneeren nog niet op. Dan dient geantwoord:
Die relatie treedt weliswaat niet meer expliciet
op, maar ze is er zoo goed als in alle wiskunde
voorondersteld; immers ze vergezelt alle wiskundige
opbouw, hoezeer ze ook na het beëindigen van den
opbouw bij zekere relaties tusschen de elementen niet
meer als zoodanig duidelijk in het oog springt. Van het wiskundig bouwen en redeneeren, en in
het bijzonder van het logisch redeneeren, dat de
menschen bij zichzelf doen, trachten ze door middel
van klanken en teekens bij andere menschen copieën
te doen oprijzen, of ook hun eigen herinneringsvermogen
te hulp te komen. Zoo ontstaat de wiskundige taal, en als
bijzonder geval hiervaj de taal der logische
redeneeringen. 4) Voor welke wiskundige begrippen men een klankbeeld
of schriftteeken zal scheppen, om er aan te
laten beantwoorden, deze keuze zal zoo ekonomisch
mogelijk rekening houden met de meest gebruikelijke
wiskundige systemen en wijzen van redeneering;
ze zal dus in 't algemeen in elk milieu verschillend
[pag. 129]
zijn. En in het bijzonder: welke gedeelten der wiskunde
een taal krijgen niet alleen bij de wiskundigen
van beroep, maar ook in het dagelijksch leven,
dit zal voor elk volk weer op nieuw er van af hangen,
welke gedeelten der wiskunde als leiding voor
het levensgedrag of als middel tot verstandhouding
daarover er de meeste toepassing hebben gevonden. Het is dus zeer goed denkbaar, dat bij dezelfde
organisatie van het menschelijk intellect, dus bij dezelfde
wiskunde, een andere taal van verstandhouding
ware ontstaan, waarin voor de ons bekende taal der
logische redeneeringen geen plaats zou zijn. En waarschijnlijk
zijn er nog wel buiten het cultuurverband
levende volken, waarbij dat werkelijk het geval is.
En evenmin is voor de taal der cultuurvolken uitgesloten,
dat in een verder ontwikkelingsstadium de
logische redeneeringen er hun plaasts zullen verliezen. Nu hebben de menschen, die alles wiskundig
willen bekijken, dat ook gedaan met de wiskundige
taal, en wel in vroeger eeuwen steeds uitsluitend met
de taak der logische redeneeringen: de hieruit voortgekomen
wetenschap is de theoretische logica. Eerst in de laatste twintig jaren (de vroegste sporen
gaan overigens tot op LEIBNITZ terug) is men de
wiskundige taal in het algemeen op dezelfde wijze
gaan bekijken: hierin bestaat, voor zoover ze zonder
zeloverschatting wordt beoefend
5), de logistiek.
[pag. 130] Zoowel theoretische logica als logistiek zijn dus
empirische wetenschappen, en toepassingen der wiskunde,
die omtrent de organisatie van het menschelijk intellect
nooit iets zullen kunnen leeren, en nog eerder tot de ethnographie,
dan tot de psychologie, moeten worden gerekend. En de taal der logische redeneeringen is zoo min
een toepassing van de theoretische logica (waarvan zou
overigens in dat geval de taal der theoretische logica
zelf een toepassing zijn?) als het menschelijk lichaam
een toepassing der anatomie is. Beschouwen we tot toelichting het klassieke
syllogisme:
Alle menschen zijn sterfelijk.
Socrates is een mensch.
ergo:
Socrates is sterfelijk.
De gedachten door deze woorden geaccompagneerd
zijn de volgende: Ten grondlag ligt de projecteering in de
aanschouwingswereld van een wiskundig systeem, n.l. een
groep van een eindig aantal elementen, ,,subjecten'',
elk verbonden aan geen of een of meer uit een
groep van een eindig aantal andere elementen (,,praedicaten'').
Het blijkt dat het gelukt, in het menschelijk
intellect een deel der aanschouwingswereld
[pag. 131]
bij benadering op zoo'n systeem te projecteeren. Nu, en in zoo'n wiskundig systeem is het een
wiskundige tautologie, dat als alle elementen met het
praedicaat ,,mensch'' een deel zijn van die met het praedicaat
,,sterfelijk'', dat dan een element ,,Socrates'' uit
de eerste groep, ook deel uitmaakt van de tweede
groep. We hebben hier een der allereenvoudigste vormen
van wiskundige redeneering, dat is van door
tautologie overgaan van de eene relatie op de andere. Gaat men evenwel de woorden, die deze
primitieve wiskunde begeleiden, bekijken, dan kan men er
wiskundig een verrassend mechanisme van een niet
a priori duidelijke wetmatigheid in zien, m.a.w.
men kan op die woorden een nieuw eenvoudig
wiskundig systeem projecteeren, waarover sprekende
men de theorie van het syllogisme uiteenzet. Maar de
hier van kracht zijnde wiskundige systemen behooren
tot de allereenvoudigste, hebben dus voor
hun bekendheid de logica niet noodig. Was in het syllogisme nog een wiskundig element
te onderkennen, de stelling: Een functie is òf differentieerbaar óf
niet differentieerbaar zegt niets; drukt hetzelfde uit, als het
volgende: Als een functie niet differentieerbaar is, is ze niet
differentieerbaar. Maar de woorden van eerstgenoemde volzin
bekijkend, en een regelmatig gedrag in de opvolging
der woorden van deze en van dergelijke volzinnen
[pag. 132]
ontdekkend, projecteert de logicus ook hier een wiskundig
systeem, en noemt zulk een volzin een toepassing
van het principe van tertium non datur. We leggen er verder den nadruk op, dat het
syllogisme en de verder logische principes kunnen
worden gerekend te gelden voor de taal der logische
redeneeringen, die handelen over eindige elementengroepen,
of aftelbaar oneindige, of gebieden binnen
continua, maar in elk geval uitsluitend wiskundig
opgebouwde systemen; de overtuiging van de betrouwbaarheid
hunner toepassing steunt op de zekerheid, dat
het wiskundig opbouwbare systemen zijn, waarover
wordt gesproken. En wanneer het gelukt taalgebouwen
op te trekken, reeksen van volzinnen, die volgens de
wetten der logica op elkaar volgen, uitgaande van
taalbeelden, die voor werkelijke wiskundige gebouwen,
wiskundige grondwaarheden zouden kunnen
accompagneeren, en het blijkt dat die taalgebouwen
nooit het taalbeeld van een contradictie zullen kunnen
vertoonen, dan zijn ze toch alleen wiskunde als
taalgebouw en hebben met wiskunde buiten dat gebouw,
bijv. met de gewone rekenkunde of meetkunde niets
te maken. Dus in geen geval mag men denken, door middel
van die taalgebouwen iets van andere wiskunde,
dan die direct intuitief op te bouwen is, te kunnen
te weten te komen. En nog veel minder mag men
meenen, op die manier de grondslagen der wiskunde
te kunnen leggen, m.a.w. de betrouwbaarheid der
[pag. 133]
wiskundige eigenschappen te kunnen verzekeren. We gaan er toe over, op grond van bovenstaande
overwegingen achtereenvolgens nader te
bespreken:
1°. De grondvesting der wiskunde op axioma's.
2°. De theorie der transfinite getallen van CANTOR.
3°. De logistiek van PEANO-RUSSELL.
4°. De logische grondslagen der wiskunde volgens
HILBERT.
Ad 1°.
Het klassieke voorbeeld is hier de meetkunde
van EUCLIDES. Dat het als logisch taalgebouw
onvolkomen is, dat n.l. stilzwijgend hier en daar
niet genoemde axioma's worden ingevoerd, is door
de nieuwere onderzoekingen van PASCH, SCHUR,
HILBERT, PEANO, PIERI e.a. overtuigend aangetoond,
maar het systeem in dat opzicht te perfectioneeren,
heeft dezen wiskundigen weinig moeite
gekost. Daarnaast hebben zij, en vooral HILBERT,
zich onledig gehouden, taalgebouwen van pathologische
geomtrieën te construeeren, om aan te toonen,
welke eigenschappen (d.w.z. volzinnen die
voor de Euclidische meetkunde meetkundige eigenschappen
uitdrukken) wèl, en welke niet behouden
blijven, wanneer men een deel der axioma's laat
vallen (hierin de voetsporen drukkend van LOBATCHÉFFSKY,
die onderzocht, wat van het logische
gebouw van EUCLIDES overblijft, als men zijn parallellen-axioma
[pag. 134]
vallen laat 6)).
In het bijzonder stelden
zij zich ten doel, voor elk der zoo geconstrueerde
logische gebouwen de benoodigde axioma's tot een
minimum te beperken. Zoo heeft HILBERT voor
de meeste in zijn Festschrift opgestelde axioma's
aangetoond, dat zij niet kunnen weggelaten worden,
zonder dat de meetkunde daardoor een deel van haar
eigenschappen verliest. 7) We moeten echter opmerken, dat het verwijt van
onvolledigheid tegen EUCLIDES vervalt als hij zich
zijn wiskundig gebouw der Euclidische meetkunde,
reeds af voorstelde (als een Cartesiaansche ruimte met
een bewegingsgroep), en zijn redeneeringen alleen
dienen als begeleiding bij het uit duidelijk geziene
[pag. 135]
relaties (dat zijn ondergeschikte gebouwen) door een
reeks van tautologieën overgaan tot nieuwe, niet
direct geziene, m.a.w. als begeleiding van een
exploratie van een zelf opgebouwd gebouw. Dan is
zijn werk zuiver wiskundig, en het niet invoeren
van coördinaten en opereeren daarmee, is alleen
een methodische onvolkomenheid. Het is natuurlijk ook mogelijk, dat EUCLIDES het
niet zoo heeft ingezien, en in de fout van zoovelen
is vervallen, die dachten logisch te kunnen redeneeren
over andere diungen dan eigengemaakte wiskundige
systemen, en voorbijzagen, dat, waar de
logica het woord alle of elke gebruikt, deze woorden,
om zin te hebben, de beperking van voor zoover
behoorend tot een als vooraf opgebouwd gedacht wiskundig
systeem stilzwijgend insluiten
8).
[pag. 136] In elk geval is het werk van EUCLIDES door de
nakomelingschap meest als zulk een logisch gebouw opgevat
en LOBATCHEFFSKY misschien en BOLYAI zeker
construeerden eveneens logische gebouwen, zonder
zich om wiskundige systemen, die ze zouden kunnen
accompagneeren, te bekommeren. Eerst RIEMANN
heeft voor het onderzoek naar de grondslagen der
meetkunde den juisten weg gewezen, door bij
zijn redeneeringen er van uit te gaan, dat de
ruimte een Zahlenmannigfaltigkeit is, dus een door
ons zelf gebouwd systeem. Hij voert dit evenwel
met nadruk in als een hypothese, die een
willekeurig karakter draagt; en spreekt er niet
van, dat we in elk geval een wiskundig systeem
moeten ten grondslag leggen, en dan als zoodanig
uithoofde van doelmatigheid de Zahlenmannigfaltigkeit
kiezen. Zoo zijn dus PASCH, HILBERT enz., in zijn
[pag. 137]
aanname iets willekeurigs ziende, weer tot de logische
grondvesting der meetkunde teruggekeerd, en hebben
getracht EUCLIDES te verbeteren, door, zooals we
boven hebben uiteengezet, zich ten doel te stellen
taalgebouwen 9)
te construeeren, die uit axioma's
zich ontwikkelen, enkel door middel van het formeele
syllogisme en de verdere logische principes.
De intuïtieve wiskunde halen ze alleen binnen den
kring hunner beschouwingen tot het voeren van
niet-strijdigheidsbewijzen (aangeven van een systeem,
waarvan een zeker stelsel logische axioma's en dus ook
alle er uit afgeleide stellingen kunnen worden beschouwd,
eigenschappen uit te drukken
10)) en
onafhankelijkheidsbewijzen
[pag. 138]
(d.w.z. dat emn, om aan te toonen,
dat een zeker axioma uit zekere andere niet logisch
[pag. 139]
is af te leiden, een wiskundig systeem aangeeft, waarvan
de laatste wel, het eerste niet, beschouwd kunnen
[pag. 140]
eigenschappen uit te drukken), en in dezen
zin treden bij hem o.a. niet-Archimedische en niet-Pascalsche
geometrieën op, zooals we aan het eind van
het eerste hoofdstuk hebben geconstrueerd
11). Deze
weinig harmonische, met moeite samengetimmerde
systemen krijgen zoo, doordat ze een beperkter
stel axioma's representeeren, een prioriteit ten opzichte
van de eenvoudige, doorzichtige, Euclidische
meetkunde 12).
Zoo iets storends is het gevolg, wanneer
[pag. 141]
men de taal, die een, zij het gebrekkig,
hulpmiddel is om wiskunde mee te deeken, maar
met de wiskunde zelf niets uitstaande heeft, er van gaat
bekijken, en de wetten, die de opvolging der volzinnen
regeeren, de logische wetten, als het eigenlijke
richtende bij daden van wiskundig bouwen in 't oog
gaat vatten. Intusschen blijven de moderne axiomatici natuurlijk
toch van plan, om hun logische systemen ten slotte
weer toegepast te zien, en hebben dan ook geen woordgebouwen
opgetrokken, dan die geschikt zijn, om
opbouwbare wiskundige systemen te begeleiden. Nu
rijst de vraag: gesteld we hebben op een of andere
manier, zonder aan wiskundige interpretaties te denken,
bewezeb dat het uit eenige taalaxioma's opgebouwde
logische systeem niet-strijdig is, d.w.z. dat op
geen moment der ontwikkeling van het systeem twee
strijdige stellingen komen; vinden we vervolgens een
wiskundige interpretatie voor de axiomas's, (die dan
natuurlijk bestaat in den eisch, een wiskundig gebouw
te construeeren met aan gegeven wiskundige relaties
voldoende elementen), volgt dan uit de niet-strijdigheid
van het logische systeem, dat zulk een wiskundig
gebouw bestaat? Maar zoo iets is door de
axiomatici nooit bewezen, niet eens voor het geval
de gestelde voorwaarden insluiten, dat het een wiskundig
opbouwbaar systeem is, wat gezocht wordt;
zoo b.v. wordt nergens bewezen, dat als een eindig
[pag. 142]
getal aan een stelsel voorwaarden moet voldoen,
waarvan bewezen kan worden, dat ze niet contradictoor
zijn, dat dan dat getal ook bestaat.
13) Maar zeker niet is de stelling waar, als in de
gegeven voorwaarden niet reeds de opbouwbaarheid
uitdrukkelijk begrepen is. Zoo b.v. zijn volgens
HILBERT de eigenschappen, door CANTOR gesteld
voor de welgeordende verzameling, bestaande uit
al de getallen der tweede getalklasse, niet
contradictoor; maar de verzameling bestaat niet wiskundig.
Ad 2°.
We hebben in het eerste hoofdstuk gezien, dat
er geen andere verzamelingen bestaan, dan eindige
en aftelbaar oneindige, en continua; hetgeen is
aangetoond op grond van de intuitieve waarheid,
dat wij wiskundig niet anders kunnen scheppen, dan
eindige rijen, verder op grond van het duidelijk gedachte
,,en zoo voort'' het ordetype
, doch allen bestaande
[pag. 143]
uit gelijke elementen14), zoodat we ons b.v. de
willekeurige oneindige duaalbreuken nooit af, dus
nooit geïndividualiseerd kunnen denken, omdat het
aftelbaar oneindig aantal cijfers achter de komma niet
is te zien als een aftelbaar aantal gelijke dingen),
en tenslotte het intuitief continuum, (met behulp
waarvan we vervolgens het gewone continuum, het
meetbaar continuum, hebben geconstrueerd). CANTOR en zijn volgelingen meenen echter nog
allerlei verzamelingen te kennen; hun grondbeginsel
is (CANTOR, ,,Grundlagen der allgemeinen
Mannigfaltigkeitslehre,'' pag. 45) het volgende: ,,Der Vorgang bei der correcten Bildung von
Begriffen ist m.E. überall derselbe; man setzt ein
eigenschaftloses Ding, das zuerst nichts anderes
ist, als ein Name oder ein Zeichen A und giebt demselben
ordnungsmässig verschiedene, selbst unendlich
viele verständliche Prädicate, deren Bedeutung an
bereits vorhandenen Ideeën bekannt ist und die
einander nicht wiedersprechen dürfen; dadurch werden
die Beziehungen von A zu den bereits vorhandenen
Begriffen und namentlich zu den verwandten bestimmt;
ist man hiermit vollständig zu Ende, so
sind alle Bedingungen zur Weckung des Begriffes
A, welcher in uns geschlummert, vorhanden und
[pag. 144]
er tritt fertig ins Dasein, versehen mit der intrasubjectiven
Realität, welche überall von Begriffen nur
verlangt werden kann; seine transiente Bedeutung zu
constatiren ist alsdann Sache der Metaphysik.'' Het komt zooals we zien ongeveer neer op het
standpunt der axiomatici. We hebben boven getoond dat dit principe niet
gewettigd is, en beweren nu op dezen grond, dat
de vele paradoxen der ,,Mengenlehre'', waravan de
oplossing met zooveel ijver wordt gezocht, geen
recht van bestaan hebben; dat veelmeer de Cantorianen
verplicht waren geweest een begrip dat
tot een contradictie aanleiding geeft, direct, als
zeker onwiskundig gevormd, te verwerpen. Gaan we op enkele punten nader in:
Van de definitie der welgeordende
verzamelingen volgens CANTOR (zie hoofdstuk I pag. 63) weten we,
dat ze niet-contradictoor is; immers er bestaan welgeordende
verzamelingen, in de eerste plaats het ordetype
van de rij der eindige ordetypen: 0, 1, 2, . . .
Er is dan ook niets tegen, om
te stellen als een
nieuw ordegetal, en weer op nieuw te gaan tellen
,
+ 1,
+ 2, . . .
2,
2 + 1, . . .
m + n, . . .
Evenmin is er iets tegen, na alle op deze
wijze te vormen getallen te stellen een getal
2; we openen
ons zoo weer een grooter gebied van volgend een
[pag. 145]
welgeordende rij op elkaar volgende ordegetallen,
waarvan de uitdrukking geschiedt door den algemeenen
vorm:
m1p1
+ m2p2
+ . . . . (pr > pr + 1)
als eerstvolgende waarop we
kunnen invoeren.
Zoo kunnen we doorgaan, en CANTOR toont (,,Grundlagen''
pag. 35) aan, dat elk zoo ingevoerd ordetype,
dus ook in elk stadium het geheel der ingevoerde
getallen, aftelbaar blijft. Dan laat hij echter volgen: ,,Wir definiren daher der zweite Zahlenclasse als
den Inbegriff aller mit Hülfe der beiden Erzeugungsprincipe
(hij verstaat onder die twee principes: een
eenheid verder gaan, en van een ordetype
het naasthoogere
element, het grenselement, nemen) bildbaren,
in bestimmter Succession fortschreitende Zahlen
:
welche der Bedingung unterworfen sind, dass alle
der Zahl
voraufgehenden Zahlen, von 1 an, eine
Menge von der Mächtigkeit der ersten Zahlenclasse
bilden.'' Let wel, ,,den Inbegriff aller''; hij spreekt hier
van iets, wat van zich niet laat denken, d.w.z. zich
niet wiskundig laat opbouwen; immers een geheel,
[pag. 146]
geconstrueerd met behulp van ,,en zoo voort'' laat
zich alleen denken, als dat ,,en zoo voort'' op een
ordetype
van gelijke dingen slaat; maar het
,,en zoo voort'' hier slaat niet op een ordetype
, en ook niet op gelijke dingen.
CANTOR verliest dus hier den wiskundigen bodem. Volgens
zijn boven aangehaald grondprincipe moet hem dit
onverschillig zijn; maar in elk geval moet hij dan
toch zorgen, dat hij logisch vasten grond houdt,
heeft dus aan te toonen, dat de invoering van dit
,,Inbegriff aller'' niet tot strijdigheden aanleiding
kan geven, wat hij evenmin doet, wat echter kan
geschieden volgens de methode, waarop HILBERT
15)
de logische entiteit ,,Inbegriff aller'' invoert, en
haar niet-strijdigheid bewijst. CANTOR gaat nu door en spreekt over zijn tweede
getalklasse, alsof hij haar reëel voor oogen had;
zijn manier van uitdrukken wijst er alles behalve op,
dat hij alleen een logisch systeem op het oog heeft.
Bij het bewijzen der machtigheidsstellingen, dat de
tweede getalklasse een hoogere machtigheid heeft
dan de eerste, en wel de naasthoogere, ziet hij in die
machtigheidsgelijkheids, resp. ongelijkheid wel degelijk
een reëele mogelijkheid resp. onmogelijkheid van een
eenduidige afbeelding van twee bestaande getalklassen
op elkaar.
[pag. 147] Van ons standpunt zijn die redeneeringen met de
tendens die CANTOR er in legt beschouwd, zinloos; het
eenige, wat er, met eenige wijzigingen, van te maken is,
komt neer op de volgende trivialiteit: Wordt de
logische entiteit T (machtigheid der tweede getalklasse)
ingevoerd, dan zou het axioma T = A (A is
de machtigheid van )
in het logisch gebouw tot
een contradictie voeren; evenzoo de invoering van
een logische entiteit I, die de logsiche functie van
een machtigheid zou moeten vervullen, en aan de
axioma's A < I < T zou moeten voldoen. Dat is het
logische, voor de wiskunde waardelooze resultaat
dezer bewijzen van CANTOR. Wil men het in wiskundig
licht bezien, dan kan men niet anders vinden
dan de volgende uitspraak: Onwaar zijn de
beide stellingen: 1°. De tweede getalklasse is denkbaar en
aftelbaar. 2°. De tweede getalklasse is denkbaar, en er
ligt een machtigheid tusschen de hare, en die der eerste
getalklasse. Maar dat deze twee stellingen onwaar zijn, wisten
we al, want we wisten al dat het eerste deel van beide
(de denkbaarheid der tweede getalklasse) onwaar is. En als parallelle wiskundige inhoud der in de
bewijzen van CANTOR bevatte ontwikkelingen blijft alleen
het volgende over: ,,Er is zeker geen rij met machtigheid
A van welgeordende verzamelingen zóó, dat ik
nog niet een nieuwe, niet tot die rij behoorende welgeordende
verzameling zou kunnen opbouwen. Maar
[pag. 148]
het geheel der welgeordende verzamelingen, die ik
in een of ander wiskundig systeem heb ingevoerd,
is zeker aftelbaar.'' (We spreken in deze wiskundige
stelling niet van ,,getallen der tweede getalklasse,''
omdat het woord klasse hier niet tot ons begrip
spreken kan; we spreken ook niet uitdrukkelijk van
de ,,aftelbare welgeordende verzamelingen,'' want
we kunnen geen andere welgeordende verzamelingen.
dan aftelbare, opbouwen. Wil men toch van ,,het geheel der welgeordende
getallen'' spreken, en iets omtrent de machtigheid
daarvan zeggen, dan gelukt dat in een eenigszins gewijzigde
beteekenis, in verband met de laatstgenoemde
wiskundige stelling, door de volgende uitspraak: De machtigheid van het geheel der welgeordende
getallen is aftelbaar onaf; we verstaan dan onder
een aftelbaar onaffe verzameling een, waarvan niet
anders dan een aftelbare groep welgedefinieerd is
aan te geven, maar waar dan tevens dadelijk volgens
een of ander vooraf gedefinieerd wiskundig proces
uit elke zoodanige aftelbare groep nieuwe elementen
zijn af te leiden, die gerekend worden eveneesn tot
de verzameling in kwestie te behooren. Maar streng
wiskundig bestaat die verzameling als geheel niet;
evenmin haar machtigheid; we kunnen deze woorden
echter invoeren als willekeurige uitdrukkingswijzen
voor een bekende bedoeling. Als verdere voorbeelden van aftelbaar onaffe
verzamelingen kunnen we noemen: Het geheel der
[pag. 149]
definieerbare punten op het continuum; en a fortiori
het geheel van alle mogelijke wiskundige systemen. Bij het nooit klaar komend opbouwen van een
aftelbaar onaffe verzameling kunnen we al voortbouwende
naar opvolging afbeelden op de rij der
welgeordende verzamelingen, die eveneens nooit
uitgeput raakt; het begrip van gelijkmachtigheid
uitbreidend, om het hier toepasbaar te houden, kunnen
we zeggen: Alle aftelbaar onaffe verzamelingen zijn
gelijkmachtig16). We onderscheiden dus dan voor verzamelingen
naar volgorde van grootte de volgende machtigheden:
1°. de verschillende eindige. 2°. de aftelbaar oneindige. 3°. de aftelbaar oneindig onaffe. 4°. de continue.
Het continuumprobleem, waarover
voortdurend [pag. 150]
bijdragen verschijnen met het doel, de oplossing
een stap verder te voeren, stelt den eisch aan te
toonen, dat het continuum en het ,,geheel der getallen
van de tweede getalklasse'' gelijkmachtig zijn.
Uit het voorgaande blijkt nu, dat men daarmee,
aangezien nòch het geheel der getallen van de tweede
getalklasse, nòch het continuum als systeem van
geïndividualiseerde punten wiskundig bestaan, niets
duidelijk gedachts kan zoeken, dan de volgende
buiten de eigenlijke wiskunde staande logische stelling: ,,Men kan als logische entiteiten invoeren het
geheel der getallen van de tweede getalklasse en het geheel
der punten van het continuum zóó, dat de aanname
dat daartusschen correspondentie één aan één
bestaat, waarbij geen enkel element van en van
beide buiten die correspondentie valt, niet-contradictoor
is.'' Maar als men invoert de logische entiteit:
geheel der punten van het continuum, en de continuum-intuitie
heeft verlaten, dus de punten van continuum
moet definieeren, is dat niet anders mogelijk,
dan als de te definieeren wetten van voortschrijding
voor benaderende duaalbreuken. Nu, als zoodanig
is dan het continuum aftelbaar onaf en ook de
tweede getalklasse is aftelbaar onaf, de gezochte
ogische stelling is dus bewezen. De verwante wiskundige kwestie (dat alle op
het continuum te definieeren verzamelingen òf aftelbaar
zijn, òf de machtigheid van het continuum
[pag. 151]
bezitten) is in het eerste hoofdstuk (pag. 62-67)
behandeld.
Volgen we CANTOR verder, dan zien we hoe hij
als eerste ordegetal, dat op alle ordegetallen der
tweede klasse volgt,
invoert, en dat noemt:
eerste ordegetal der derde getalklasse. Maar
bestaat
niet wiskundig, en het logische bewijs voor de
niet-strijdigheid van het nieuw ingevoerde ding,
hoewel waarschijnlijk licht te voeren, heeft geen
belang. CANTOR'S volgelingen zijn onbeschroomd nog verder
doorgegaan en hebben zoo evenveel getalklassen
en machtigheden geschapen, als ze ordegetallen zelf
konden scheppen, zich nòch om wiskundige denkbaarheid,
nòch om logische niet-strijdigheid bekommerend.
Ten slotte voerden ze in het geheel van
alle ordegetallen, maar bemerkten nu een logsiche
strijdigheid, die intusschen werd gesignaleerd als
wiskundige paradox en waarvan een wiskundige (we
verstaan onder wiskundige steeds: in het gebied der
intuïtieve denkbaarheden liggend) oplossing met ijver
werd gezocht, zonder dat men er erg in had, hoe
hier het gebied der wiskunde reeds lang verlaten was. Het is de paradox van BURALI-FORTI: (,,Una
questione sui numeri transfiniti,'' Rendiconti del
circolo Matematico di Palermo 1897) ,,Stellen we
het geheel der welgeordende typen naar volgorde van
grootte gerangschikt, O, dan in O zelf een
welgeordend [pag. 152]
type, en daar alle welgeordende typen optreden
als een deelverzameling van O, moet O het grootste
welgeordende type zijn. Maar als O een welgeordend
type is, is O + 1 er ook een, en O + 1 > O; O
is dus niet het grootste ordegetal.'' Ten eerste zou de paradox licht te verhelpen
zijn, door aan O niet opnieuw de eigenschap toe
te kennen, (aan vroeger geschapen welgeordende
typen toch ook alleen bij willekeurige axioma's
toegekend), dat O + 1 weer een welgeordend tupe is. Maar ten tweede mag men zoo iets niet paradox
vinden: waar men logische gebouwen schept, zonder
een wiskunde, die ze als taalbegeleiding accompagneeren,
is van elk gebouw a priori even goed mogelijk,
dat het strijdig, als niet-strijdig is.
Een tweede beroemd probleem uit de leer der
transfinite getallen is: ,,Te bewijzen, dat elke verzameling
kan worden welgeordend.'' CANTOR sprak
deze stelling (,,Grundlagen'' pag. 6) uit als ,,Denkgesetz,''
waarvoor natuurlijk niet de minste reden
is, zoodat zijn volgelingen dan ook trachtten haar
te bewijzen. In Mathem. Ann. 59 geeft ZERMELO
zulk een bewijs op grond van het volgend axioma: ,,Jeder Teilmenge M' einer Menge M kann man
ein beliebiges Element m'1 zugeordnet denken, dass
in M' selbst vorkommt und das ,,ausgezeichnete''
Element von M' genannt werden möge.'' BOREL merkt dan in Mathem. Ann. 60 terecht
[pag. 153]
op, dat wie zoo iets als axioma invoert, even goed
de stelling zelf als axioma nemen kan. Nu weten we, dat behalve de aftelbare verzamelingen,
waarvoor de stelling zeker geldt, nog
alleen het continuum bestaat, waarvoor de stelling
zeker niet geldt, vooreerst omdat men het grootste
deel der elementen van het continuum als onbekend
meot beschouwen, ze dus allerminst individueel kan
ordenen, en dan, omdat alle welgeordende verzamelingen
aftelbaar zijn. Ook deze kwestie blijkt
dus illusoor.
Als hoofdstelling van de leer der transfinite
getallen wordt gewoonlijk genoemd het theorema van
BERNSTEIN-SCHRÖDER: ,,Zijn A en B twee
verzamelingen en is A een-eenduidig af te beelden op
een deel van B en evenzoo B op
een deel van A, dan ook A op B.''
of wat op hetzelfde neerkomt, (we voeren in het
symbool ,,a b'',
gelezen: a aequivalent met b), om
uit te drukken dat a en b een-eenduidig op elkaar
afbeeldbaar zijn): Als
A = A1 + B + C
A A1
dan ook
A A1 + B.
(Gesteld n.l. dat de stelling in de laatste
formuleering bewezen is en gegeven:
[pag. 154]
A = H1 +
C
H H1
H = A1 +
D
A A1
hebben we eveneens
H1 = A11 + D1
waarin
A11
A1 A
D1 D.
En nu volgt uit
A = A11 + D1 + C
volgend de stelling in de tweede formuleering
A A11 +
D1 H.)
Het bewijs voor de tweede formuleering wordt
gegeven als volgt: Passen we de operatie, die A
verdeelt in een deel, met het geheel aequivalent, en
nog twee andere deelen, weer toe op A1, zoodat
A1 = A2 + B1 +
C1,
vervolgens op A2 enz., dan hebben we ten slotte:
A = B + B1 + B2 + . . . . . . . +
+ C + C1 + C2 . . . . + D,
als D de verzameling is, die aan alle opvolgende
A's gemeenschappelijk is. Maar duidelijk is
C + C1 + C2 + . . . .
C1 + C2 . . . .
Dus
A B + B1
+ B2 . . . . + C1 + C2
+ . . . . + D
A1 + B;
en men krijgt de gezochte afbeelding, door C af te
beelden op C1; C1 op C2;
C2 op C3; enz. Voor de alleen als niet-contradictore logische
[pag. 155]
entiteiten bestaande verzamelingen bewijst dit theorema,
dat als
A = A1 + B + C,
en er is een een-eenduidige afbeelding van A op A1
gegeven, dat het dan logisch niet-strijdig is, aan te
nemen dat ook A en A1 + B aequivalent zijn.
Wiskundig geeft het ook een middel aan, om een
een-eenduidige afbeelding van A op A1 + B werkelijk
uit te voeren, maar alleen voor de gedefinieerde, de
bekende elementen van A, dat is dus voor een aftelbaar
onaf gedeelte. Voor de onbekende elementen leert
het zulk een afbeelding niet. Zoo b.v. bij een A, die
een continuum is, zullen we van een willekeurig
element, dat dus alleen bij steeds onaffe benadering
bekend is, nooit weten, of het al of niet tot een
der C's hoort, en zoo ja, tot welke, dus kunnen we
van de benadering van de afbeelding niets zeggen. Wiskundigen zin heeft dus de stelling, zooals ze
boven is bewezen, alleen voor eindige, aftelbare en
aftelbaar onaffe verzamelingen. Maar daarvoor is
haar geldigheid direct duidelijk. Het theorema is zooals we van vroeger (zie
Hoofdstuk I pag. 62-67) weten, ook geldig voor
continua; maar het zooeven gegeven bewijs heeft
voor dat geval geen waarde. Nu het theorema zonder beteekenis blijkt te zijn,
kunnen we verwachten, dat de vele toepassingen,
die de Cantorianen er van maken, even inhoudsloos
[pag. 156]
zijn. Onderzoeken we als voorbeeld een verhandeling
van BERNSTEIN in Mathem. Annalen 61.
Om het continuumprobleem dichter bij zijn oplossing
te voeren, leidt hij daar naast de bekende stelling: De machtigheid van alle welgeordende typen
met machtigheid A (eerste machtigheid) is F (tweede
machtigheid)
een analoge af: De machtigheid van alle ordetypen met
machtigheid A is C (machtigheid van het
continuum). Deze stelling grondt hij met behulp van zijn
aequivalentietheorema op de beide hulpstellingen:
a) Het continuum is aequivalent met een
deelverzameling uit het geheel van alle ordetypen met
machtigheid A: zeggen we uit de verzameling
OA.
b) De verzameling OAis
aequivalent met een deel van het continuum. Het eerste bewijst hij door aan een oneindige
duaalbreuk te laten beantwoorden het ordetype,
dat ontstaat door tusschen elke twee cijfers achter de
komaa een ordetype
* +
in te voeren, en
vervolgens alle cijfers 0 te schrappen, en voor alle
cijfers 1 een enkel element te zetten. Het bewijs dat hij voor de tweede hulpstelling
geeft, is onjuist; zooals hij daat de ordetypen met
machtigheid A opbouwt (n.l. eerst één neerzetten,
dan de tweede, waarvoor 2 keuzen van plaats zijn,
dan de derde, waarvoor er 3 zijn enz.), krijgt hij nooit
[pag. 157]
meer, dan een bijzondere groep van typen, waarvan
het aantal aftelbaar is, n.l. 1 × 2 × 3 × 4 × . . . .
Want het àf denken van een aantal A van factoren,
dat voor de duaalbreuken van het continuum gebeurt,
kan daar alleen geschieden uithoofde van de
continuumintuïtie; een analoge intuïtieve mogelijkheid
bestaat hier niet. Hier kunnen we dus alleen aan díe ordetypen
denken, waarvoor een wet van voortschrijding is
gegeven, maar dan wordt de verzameling van alle
ordetypen gedacht als aftelbaar onaffe verzameling
van voortschrijdingswetten. Die gegeven afbeelding
is er dus eene van OA als wettenverzameling op een
deel van het continuum. Keeren we terug tot de eerste hulpstelling, dan
kunnen we haar op twee manieren lezen. Of: ,,Alle punten van het continuum zijn
aequivalent met een deel van alle elementen uit
OA.'' Of: ,,Alle benaderingswetten voor punten van het
continuum zijn aequivalent met een deel van alle
benaderingswetten voor elementen uit OA.'' Alleen de laatste lezing is te combineeren met de
tweede hulpstelling, voor zoover ze door BERNSTEIN
bewezen mag worden geacht. Maar wat blijft dan
nu van het resultaat? Dat alle voortschrijdingswetten
in OA aequivalent zijn met alle benaderingswetten
in het continuum, wat vanzelf spreekt, daar beide
verzamelingen aftelbaar onaf zijn.
[pag. 158] Behalve de rij der welgeordende klassen wordt in
de leer der transfinite verzamelingen nog een ander
middel gebruikt, om tot steeds hoogere machtigheden
op te klimmen, berustend op machtsverheffing tot een
transfinite exponent. Men verstaat onder MN de
beleggingsverzameling van N met M d.w.z. de verzameling,
bestaande uit alle manieren, om met elk element van N een
element van M te laten correspondeeren. Men bewijst dan dat voor M > 1,
MN > N.
(vgl. b.v. SCHOENFLIES, Bericht über die Mengenlehre,
Jahresber. der Deutschen Math. Ver. Bd VIII
Heft 2 pag. 26; daar wordt bewezeb dat NN > N,
maar het bewijs laat zich op de hier gegeven stelling
onveranderd veralgemeenen). De eerste op deze wijze afgeleide hoogere
machtigheid is
C = MA
waar M eindig of aftelbaar oneindig, en A de aftelbaar
oneindige machtigheid; deze beleggingsverzameling
kunnen we denken, omdat we het continuum kunnen
denken. Maar reeds de volgende beleggingsverzameling
der reeks:
F = MC
kunnen we niet meer denken, dus de stelling dat F
[pag. 159]
(dus b.v. de verzameling van alle functies van een
enkele reëele veranderlijke) > C is, heeft geen andere
wiskundige beteekenis meer, dan de volgende uitspraak: ,,Met elk verschillend element van C is eenduidig
een verschillende beleggingsgroep in correspondentie
te brengen; -- terwijl het niet waar is, dat F denkbaar
en afbeeldbaar op C zou zijn.'' Wat we natuurlijk ook zonder het bewijs voor
de stelling al wisten, omdat we wisten, dat F niet
denkbaar is.
Ad. 3°.
De klassieke theoretische logica was ontoereikend,
om van de wiskunde rekenschap te geven. Haar zoodanig
uit te breiden, dat ze dat wel zou kunnen was het
doel van de logistici. Nu hebben we gezien, dat
de klassieke logica bestudeert de taalbegeleiding
17)
der logische redeneeringen, d.w.z. der redeneeringen
in relaties van geheel en deel voor willekeurige
wiskundig opgebouwde systemen; en we weten
uit het feit, dat we die wiskundige systemen zien,
dat daar de volgens de klassieke logica elkaar
[pag. 160]
opvolgende volzinnen, die immers wiskundige bouwhandelingen
begeleiden, nooit contradicties zullen vertoonen.
Zoo voeren we daar veilig in de logische som,
het logisch product en de complementairverzameling
d.w.z. de verzameling die als praedicaat heeft de ontkenning
van het praedicaat der gegeven verzameling;
en passen er veilig toe de principes van identiteit, syllogisme,
distributie18),
contradictie, en tertium non datur. De logistici gaan omgekeerd van deze principes
uit, en leggen als operatiegebied, waarbinnen de
met de woorden of symbolen bedoelde relaties
moeten bestaan, ten grondslag niet een of ander
wiskundig systeem, maar het hersenschimmige ,,alles''
-- dat, zooals we boven (pag. 138 sqq, noot) zagen,
ook DEDEKIND ten onrechte als uitgangspunt wilde
nemen -- waaruit ze verschillende klassen definieeren
door wat ze noemen propositioneele functies. Onder een propositioneele functie verstaan ze een
beweering omtrent x, of omtrent x en
y, in 't algemeen
omtrent een zeker aantal variabelen, waarin
men voor die variabelen alle substituties moet denken;
zij rekenen dan, dat door die bewering een
klasse bepaald is, bestaande uit alle dingen (of voor
meer veranderlijken: groepen van dingen), die, gesubstitueerd,
de bewering waar maken. Ze schrijven xx
voor alle dingen, waarvoor de
[pag. 161]
beweringx waar is;
het reciproke teeken
wordt
ingevoerd zóó, dat
k
(xx)
=k,
m.a.w. voor
het geval, dat de propositioneele functie een klasse
a bepaalt, beduidt ka: k hoort tot de klasse a. PEANO had het teeken
primair genoemd; RUSSELL gaat liever uit van
,
omdat hij het niet zeker vindt, dat iedere propositioneele
functie een klasse bepaalt. Daar heeft hij gelijk aan; hij werkt echter met
zijn propositioneele functies als met de praedicaten
der gewone logica, doet dus toch alsof de functie
wèl altijd een klasse bepaalt. Maar nooit kan men een woordsysteem van
beweringen en propositioneele functies een prioriteit in
het intellect geven ten opzichte der wiskunde; want
geen beweringen omtrent de buitenwereld worden
met vol verstand gezegd, dan die een op de buitenwereld
geprojecteerd wiskundig systeem vooronderstellen.
Hoe men zich draait of wendt, de grond
van de wiskunde blijft de wiskunde en die groeit
over haar geheele gebied vrij en intuitief. Terwijl de logistici, als vrijen oorsprong van
logica en wiskunde de propositioneele functies beschouwend,
als zoodanig allerlei door (foutieve)
analogie met wiskundige eigenschappen gevormde
volzinnen uitspreken en daarvoor postuleeren dat ze
klassen bepalen, en dat over die klassen volgens de
wetten der klassieke logica kan worden geredeneerd. Dat zij dus, evenals de Cantorianen, op
contradicties
[pag. 162]
stooten19),
behoeft niet te verwonderen, en hun eigen
verwondering kan allen zijn te wijten aan begripsverwarring. RUSSEL (,,The Principles of Mathematics'', Part I,
Chap. X) bespreekt het uitvoerigst de volgende
contradictie: ,,Er zijn klassen, die zelf als eenheid beschouwd
tot hun elementen behooren, b.v. de klasse der
klassen, de klasse van alle dingen, die niet leven,
en meer. Ik beschouw nu de klasse van alle klassen,
die de zooeven genoemde eigenschap, tot
hun elementen te behooren, niet bezitten; bezit
die klasse dan de genoemde eigenschap? Zoo ja,
dan hoort ze tot haar elementen, is dus één van
de klassen, die de eigenschap niet bezitten, bezit
dus de eigenschap niet. En vice versa: zo neen,
dan staat ze daarin met haar elementen gelijk, behoort
dus tot haar elementen, bezit dus de eigenschap
wel.'' RUSSELL suggereert eenige middelen om aan de
contradictie te ontkomen maar verwerpt ze dan
toch weer en gelooft dat een diepgaande hervorming
der logica tot de oplossing noodig zal zijn. Het
meest geneigd voelt hij zich tot de opvatting, dat
[pag. 163]
een theorie moet worden gezocht, die niet veroorlooft,
alle klassen, zelf als eenheid beschouwd, tot
logische subjecten te maken. ,,Misschien ook'', zegt
hij, ,,moet de notie alle dingen worden verworpen,
maar elk willekeurig ding moet in elk geval behouden
blijven; immers er zijn waarheden, n.l. de
logische principes, die voor elk willekeurig ding
gelden.'' Dat is intusschen juist niet waar: logische principes
gelden alleen voor woorden met wiskundige
beteekenis. En juist omdat RUSSELL's logica niets
is dan een woordsysteem, zonder een voorondersteld
wiskundig systeem, waarop het betrekking
heeft, is er geen reden, dat er geen contradicties
zouden komen. Overigens ziet ook het gezond verstand direct,
waar de redeneering in kwestie haar leven verliest,
dus niet meer betrouwbaar is, en dat zelfs zonder dat
de illusie van het hersenschimmige ,,alles'' behoeft te
worden weggenomen. Immers gesteld, ik kende een
,,alles'' met een ,,geheel'' van tusschen de dingen
bestaande relaties en een stelsel van voor de dingen
mogelijke proposities. Dan kan ik voor een propositioneele
functie voor elk willekeurig ding op grond
van zijn gegeven relaties uitmaken, of het wel of
niet de functie waar maakt, dus in welke van de
beide door de functie bepaalde klassen het dient te
worden geplaatst. Maar wil ik voor het ding, dat de kwestieuze klasse
[pag. 164]
is, onderzoeken, of het de gestelde propositioneele
functie waar maakt, dan merk ik, dat de uitvoering
van het onderzoek het reeds afgeloopen zijn er van
vereischt. Het onderzoek kan dus niet worden
uitgevoerd, en zoo is de contradictie opgelost. We
hebben hier een propositioneele functie, die twee
complementaire klassen bepaalt, die niet aan het
principe tertium non datur voldoen; wat niet
behoeft te verwonderen, want de logische principes
bestaan slechts voor de taal der wiskunde; voor
andere taalsystemen, hoe zeer ook aan de wiskundige
verwant, behoeven ze dus niet te gelden. In anderen vorm geeft RUSSELL de contradictie
pag. 80 en pag. 102. Daar zegt hij: ,,Er zijn praedicaten, die van hun eigen uitdrukking
door woorden gelden; en die dat niet doen.
Het eenvoudigste voorbeeld van de eerste soort is
wel: een praedicaat zijn. Maar geldt nu de eigenschap
voor: niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door
woorden? Zoo ja, dan neen; zoo neen, dan ja.'' Hij wil dit oplossen door te zeggen, dat
niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door woorden geen
praedicaat is, wat natuurlijk niemand hem zal toegeven. En evenmin wat hij pag. 88 voorstelt, om te
ontkomen aan de contradictie in een derden vorm,
die voortvloeit uit de verdeeling van propositioneele
functies in zulke als wel en als niet voor zich zelf
gelden, dat n.l. een propositioneele functie niet op
zich zelf zou kunnen worden gedacht.
[pag. 165] Voor de beide laatste contradicties geldt overigens
dezelfde oplossing als voor de eerste. Tot zoover de rol van de klassieke logica; de
logistiek vult haar dan verder aan met de zoogenaame
relatielogica, en de conclusie luidt ten
slotte, dat zuivere wiskunde niets mag zijn dan een
systeem, opgebouwd uit eenige logische grondbegrippen,
volgens eenige logische grondprincipes (RUSSELL
telt er van de eerste 9 en van de laatste 20);
dat zij alleen op deze wijze een vasten grond en
een zekeren voortgang behoudt; dat er misschien
nog wel een intuïtieve wiskunde ook kan zijn, maar
dat die dan uitsluitend bestaat in de toepassing der
genoemde zuivere wiskunde op materieele dingen.
(vgl. b.v. COUTURAT, ,,Les Principes des Mathématiques'',
Introduction, pag. 4) Maar zuivere wiskunde is, zooals we weten,
nòch het één nòch het ander. De relatielogica dan, aanvangende bij het woord
volgen op, dat afbeeldt de meest elementaire daad van
wiskundig bouwen, zooals ze direct uit de oer-intuïtie
voortkomt, bestudeert de taal der wiskunde in het
algemeen, zooals de klassieke logica die van de
speciale wiskunde van geheel en deel. Dat in de taal, die de wiskunde begeleidt, de opvolging
der woorden aan wetten gehoorzaamt, spreekt
van zelf; maar dié wetten als het leidende bij den
opbouw der wiskunde te beschouwen, daarin ligt
de fout.
[pag. 166] Gaan we ter toelichting in op de theorie der
geheele positieve getallen m.a.w. de gewone rekenkunde,
zooals ze door de logistici gegeven wordt. PEANO (,,Sul concetto di numero'', Rivista di
Matematica, t. I; vgl. COUTURAT, ,,Les Principes
des Mathématiques;;, pag. 54) voert hier na de
klassieke logica in drie nieuwe grondbegrippen:
0, N (eindig ordinaalgetal) en seq (opvolger), en
vijf daarvoor geldende grondprincipes: 1°. 0 is een N. 2°. er is geen N, waarvan 0 de
seq. is. 3°. de seq. van elke N is een N.20) 4°. twee N's zijn gelijk, als hun seq.'s gelijk
zijn. 5°. een klassen, die 0 bevat, en
die van elke N, die ze bevat, ook de seq. bevat, bevat alle N's. Maar leidt PEANO hieruit de rekenkudne af, dan
bouwt hij weer op een logisch systeem, dat nòch
door een bestaansbewijs, nòch door een bewijs van
niet-strijdigheid wordt gesteund. Het is dus te veroordeelen op dezelfde gronden als
het systeem van DEDEKIND. (vgl. pag. 138 sqq, noot) RUSSELL (,,The Principles of Mathematics'' p. 127)
verbetert de methode van PEANO aanmerkelijk, door
te beginnen, cardinaalgetallen te definieeren als klassen
van aequivalente klassen, en vervolgens te zeggen:
[pag. 167] 1°. 0 is de klasse van klassen, die als eenig
lid heeft de nulklasse -- de nulklasse zelf gedefinieers
(;.c. pag. 75) als klasse van alle klasse-concepten,
die geen leden voor hun klasse geven; en daarom
gecenseerd (of als een principe gepostuleerd?) te
bestaan --; de klasse 0 bestaat dus. 2°. 1 is de klasse van klassen met
leden, zóó, dat
als x tot de klasse behoort, de klasse verminderd
met x geen leden heeft. De klasse 1 bestaat, want heeft reeds een lid dat er
toe behoort, n.l. de zooeven gedefinieerde klasse 0. 3°. n+1 is de klasse van klassen, aequivalent
met de klasse, verkregen door bij een klassem hoorend
tot de klasse n, een element toe te voegen. De klasse
n+1 bestaat dus, als n bestaat. 4°. Eindige getallen zijn die
cardinaalgetallen, welke behooren tot elke klasse s, waartoe 0 behoort,
en verder n+1, als n er toe behoort. De zoo gedefinieerde eindige getallen voldoen aan
alle postulaten van PEANO, zonder nieuwe grondbegrippen
en grondprincipes in te voeren, en kunnen
dus volgens RUSSELL als bestaansbewijs dienen
(als we n + 1 als de seq. van n bschouwen) en
COUTURAT (antwoord aan POINCARÉ, Revue de
Métaphysique et de Morale 1906, n°. 2) legt sterk den
nadruk op dit bestaansbewijs, dat de intuïtie van
of van de volledige inductie niet noodig zou
hebben, zoodat het logische systeem hier vrij van
die intuïtie zou zijn opgebouwd, en zonder behulp
[pag. 168]
van volledige inductie niet-contradictoor zou zijn
gebleken. Maar we hebben boven gemerkt, dat het
klasse-concept door definitie wèl contradictoor is, dat dus
nooit de niet-strijdigheid van een logisch systeem
mag worden gebaseerd op haar parallel loopen met
pseudo-wiskundige operaties in klassen, die alleen
door definitie bestaan. RUSSELL schroomt intusschen niet, de volledige
inductie, die hij niet als axioma wil uitspreken,
tòch met de daad toe te passen. Hij bewijst n.l.
dat n _ 1 het cardinaalgetal van de klasse der getallen
0, 1, 2, . . . . . n is en dat als volgt: 1 is het
cardinaalgetal van de klasse 0; 2 (gedefinieerd als
1 + 1) dat van de klasse 0, 1; 3 (gedefinieerd als
2 + 1_ dat van de klasse 0, 1, 2; enzoovoort. Evenzoo past hij de volledige inductie toe om
te bewijzen, dat een eindig getal niet met een van
zijn deelen aequivalent kan zijn (l.c. pag. 121, 123). De gedefinieerde eindige getallen egven meteen
de definitie van het cardinaalgetal A der klasse, die
ze alle bevat (de eerste transfinite machtigheid), van
welk cardinaalgetal RUSSELL zonder moeite bewijst,
dat het zelf geen eindig getal is, omdat het n.l.
wèl met het geheel aequivalente deelen bezit; vervolgens
toont hij aan, dat elke oneindige klasse deelen
bezit met cardinaalgetal A. (l.c. pag. 122, 123). Maar de wijze waarop de logistici de verdere
wiskunde ontwikkelen heeft, behalve dat de taal zooveel
[pag. 169]
mogelijk in symbolische teekens wordt gecondenseerd,
geen bijzonder karakter meer. Ze smelt samen met
de methoden der Cantorianen en die der axiomatici. De conclusies omtrent de logistiek moeten
luiden: dat ze niets kan leeren omtrent de grondslagen
der wiskunde, omdat ze onherroepelijk van de
wiskunde gescheiden blijft; dat ze integendeel, om
een bestaan in zichzelf te handhaven, d.w.z. zich
voor contradicties te bewaren, al haar eigen speciale
principes heeft te verwerpen en zich heeft te beperken,
een getrouwe, machinale, stenographische
copie te zijn van de taal der wiskunde, die zelf geen
wiskunde is, maar alleen een gebrekkig hulpmiddel
voor de menschen, om wiskunde aan elkaar mee
te deelen, en hun geheugen voor wiskunde te ondersteunen.
Ad 4°.
De zuiverste consequentie van de hier bestreden
methoden, waaraan tegelijk het eenvoudigst en helders
de ontoereikendheid er van blijkt, is getrokken
door HILBERT (Verhandlungen des internationalen
Mathematiker-Congresses in Heidelberg 1904, pag.
174). In ,,Ueber den Zahlbegriff'' (Jahresber. der
Deutschen Math. Ver. VIII) had hij de axioma's van
de hoofdbewerkingen op het meetbaar continuum
geformuleerd en het probleem gesteld, onafhankelijk
van eenige wiskundige intuïtie, de niet-strijdigheid van
die axioma's te bewijzen (vgl. ook ,,Mathematische
[pag. 170]
Probleme'', Problem n° 2, Gött. Nachr. 1900,
pag. 264.) Het spreekt van zelf, dat dit alleen te bereiken is
door de teekens, die de axioma's uitdrukken, zelf
als een wiskundig systeem te beschouwen, de principes
van de logica volgens de algebra der logica
te formuleeren als regels om dat systeem verder uit
te bouwen, en dan wiskundig te bewijzem. dat die
uit de algebra der logica afgelezen bouwregels
nooit tegelijk een vergelijking en haar ontkenning
zullen kunnen afleiden. Het geheel der uit
de axiomatische grondvergelijkingen af te leiden
vergelijkingen vormt natuurlijk een aftelbaar oneindig
systeem. 21) HILBERT schetst l.c. de wijze van uitvoering
22)
dezer niet-strijdigheidsbewijzen in groote trekken,
niet alleen voor het zooeven genoemde stel axioma's
der hoofdbewerkingen, maar ook voor dat van
verschillende andere deelen der wiskunde. Zoo
voert hij b.v. om de grondslagen der Mengenlehre
te leggen pag. 182-184 het klassesymbool in,
[pag. 171]
maar alleen in relatie tot reeds ingevoerde symbolen,
waardoor hij beveiligd is voor de contradicties
van RUSSELL, die klassen invoerde, als door een
definitie omgrepen deelen van het al. Nu heeft HILBERT evenwel, zooals hij in zijn
inleiding uitdrukkelijk zegt, de adspiratie, om van
niets af te beginnen met de wiskunde en de logica
zich gezamenlijk te laten ontwikkelen. Maar bij de
zooeven genoemde redeneeringen over niet-strijdigheid
van axioma's, gebruikt hij steeds intuïtief termen
als een, twee, drie, eenige (daarbij een zeker eindig
getal bedoelend) en past verder intuïtief alle wetten
der logica en ook de volledige inductie toe. Om zich van deze belasting met intuïtieve
elementen te ontdoen, gaat hij ten slotte (l.c. pag. 184, V)
in eens zijn eigen te voren geschreven woorden
bekijken, ziet die complex van woorden en redeneeringen
als een wiskundig gebouw aan, dat ook
weer volgens regels zich van het begin naar het
einde ontwikkelt, en zegt: ,,De wetten volgens welke ik dat taalgebouw zich
zie ontwikkelen, heb ik zooeven bewezen, dat niet-strijdig,
dus juist zijn. M.a.w. de daar in die taal
van mij gehouden redeneeringen bewijzen meteen
het intuïtieve in hun eigen daad als gerechtvaardigd.'' Dat is fout en om de volgende reden: Vooreerst de grond, waarop hij steunt, blijft
de intuïtie van zooeven; immers hij weet alleen: als de
intuïtie van zooeven juist is, dan volgt daaruit, dat
[pag. 172]
de woorden, die die intuïtie begeleiden, zich ontwikkelen
volgens een niet-strijdig logisch systeem,
wat geen nieuws is; wie zal een wiskundige stellen
bewijzen, door op grond van die stelling zelf haar
nog eens af te leiden, en dan te zeggen: ,,nu is
meteen het onderstelde gerechtvaardigd''? Maar verder: De niet-strijdigheid van het taalsysteem,
op grond der wiskundige intuïtie afgeleid,
bewijst niet omgekeerd de wiskundige intuïtie, die
ze begeleidt, zooals we boven bij de behandeling
der axiomatische grondslagen hebben aangetoond.
(vgl. ook POINCARÉ, Revue de Métaphysique et de
Morale 1905, pag. 834.) De gewraakte methode overtreft die der logistici
doordat zij de ongeoorloogde sprong uit het oude
wiskundige gebied door de taaldaad naar een nieuw
meermalen achtereen uitvoert en dan doordat zij niet,
zooals de logistici, voor twee zulke wiskundige gebieden,
die alleen via de taalklanken verband houden,
dat intuïtieve verband handhaaft, dus ze als ongelijksoortig
blijft behandelen, maar ze gaat verwarren en
op één lijn stellen. De logistici voeren den sprong
éénmaal uit, en bewegen zich dan wisselend op
beide gebieden, ze beide in hun beteekenis handhavend;
HILBERT doet den sprong, waar hij hem
doet, gedecideerd en voor goed, blijft dus op het
tweede gebied, gebruikt het eerste nog alleen, om
het beteekenis in het tweede te geven; doet hem
vervolgens een tweede maal weer voor goed, blijft
[pag. 173]
dus op het zoo geschapen derde gebied, en gebruikt
daar het eerste en het tweede nog alleen, om ze
beteekenis in het derde te geven. Ter toelichting sommen we in genetische volgorde
op de hier te onderscheidne verschillende phasen:
1. Het zuivere bouwen van intuïtieve wiskundige
systemen, die zoo ze worden toegepast, in het
leven worden veruiterlijkt, door de wereld wiskundig
te zien. 2. De taalparallel der wiskunde: het wiskundig
spreken of schrijven. 3. Het wiskundig zien van de taal: opgemerkt
worden logische taalgebouwen, opgetrokken volgens
principes uit de gewone logica of uit de uitbreiding
daarvan met relatielogica, de logistiek, maar de
elementen dier taalgebouwen zijn taalbegeleidingen
van wiskundige gebouwen of relaties. 4. Het niet meer denken aan een beteekenis
van de elementen der zooeven genoemde logische
figuren; en het nabouwen van die figuren door een
nieuw wiskundig systeem der tweede orde, voorloopig
zonder taal, die het bouwen begeleidt; het is het
systeem van de logistici, dat bij de minste vrije
generalizeerende uitbreiding zeer goed vatbaar wordt
voor de figuur der contradictie, tenzij daartegen de
voorzorgsmaatregelen van HILBERT worden genomen,
en het zijn deze voorzorgsmaatregeln, die den eigenlijken
inhoud der verhandeling van HILBERT uitmaken.
[pag. 174] 5. De taal der logistiek, d.w.z. de woorden,
die het logistisch bouwen begeleiden en motiveeren;
PEANO zorgt wel zooveel mogelijk om ook de
begeleidende gedachten aan symbolische teekens te
binden; niettemin blijft dan het systeem te splitsen
in het eigenlijke gebouw, en de principes volgens
welke het gebouw zich ontwikkelt; al worden die
principes eveneens symbolisch geformuleerd, zulke
formuleeringen moeten worden beschouwd als heterogeen
ten opzichte van de verdere formules,
waarop die eerste worden toegepast niet als formuleeringen,
maar als intuïtieve daden, waarvan de
toegevoegde formuleeringen slechts de taalbegeleidingen
zijn. HILBERT heeft de intuïtieve daden, dus ook de
begeleidende taal meer noodig dan PEANO, omdat
hij de niet-strijdigheid van zijn logistisch systeem
in zichzelf wil bewijzen, iets waarom PEANO zich
niet bekommert. Tot de vijfde phase behoort de woordinhoud
der verhandeling van HILBERT tot aan pag. 184, V. 6. Het wiskundig zien van die taal; dezen stap
uitdrukkelijk te doen, is iets essentieels bij HILBERT
in onderscheid van PEANO en RUSSELL; hij merkt,
op zijn eigen woorden terugziende, logische figuren
op, die zich ontwikkelen volgens logische en arithmetische
principes, ook o.a. het theorema der volledige
inductie; de elementen dezer logishce figuren,
zooals de woorden mehrere, zwei, Fortsetzung, an
[pag. 175]
Stelle von, beliebig, enz. zijn taalbegeleidingen van
bouwhandelingen in het zooeven genoemde wiskundig
systeem der tweede orde. 7. Het niet meer denken aan een beteekenis
van de elementen der zooeven genoemde logische
figuren, en het nabouwen er van door een nieuw
wiskundig systeem der derde orde, voorlopig zonder
begeleidende taal. Den overgang van 6 naar 7 volvoert HILBERT in
zijn gedachten l.c. 184 en 185 onder V, eerste alinea. 8. De taalbegeleiding van het wiskundig systeem
der derde orde, die den opbouw van dat systeem
motiveert, en de niet-strijdigheid er van aantoont. Deze phase is, in de woorden der zooeven
genoemde alinea l.c. 184, 185, de laatste die bij
HILBERT wordt aangetroffen. Men zou nog verder door kunnen gaan, maar de
wiskundige systemen van nog hooger orde zouden
alle ongeveer elkaars copieën zijn; het heeft dus
geen zin den gang verder voort te zetten. Intussche de vorige phasen, vanaf de derde zijn
evenmin van wiskundig belang. Wiskunde behoort
slechts in de eerste thuis; van de tweede kan zij
zich in het practische leven niet vrijhouden, maar
die phase blijft een niet-wiskundige onbewuste daad,
al of niet vervolgens door toegepaste wiskunde geleid
en gesteund, maar nooit een prioriteit ten opzichte
der intuïtieve wiskunde verkrijgend.
[pag. 176]
De logistiek en het cantorisme zijn reeds scherp
gekritizeerd door POINCARÉ (Revue de Métaphysique
et de Morale 1905, n° 6; 1906, n° 1, 3);
hij laakt voornamelijk in de logistiek de petitio
principii en in het cantorisme de aanname van
het actueel oneindige. Zoo raakt hij intusschen
niet het hart van de kwestie, dat dieper zit, n.l. in
de verwarring van de daad van het bouwen der
wiskunde en de taal der wiskunde. De petitio principii is in zekeren zin geoorloofd,
want waar die in de daad van den opbouw van
het taalsysteem wordt uitgevoerd, raakt zij aan de
volkomenheid van dat taalgebouw als zoodanig niet;
een ongeoorloofde petitio principii in de wiskunde
zouden we alleen hebben, als op grond van een
primaire wiskundige intuïtie later in verder phasen
van het wiskundig bouwen diezelfde intuïtie weer
voor den dag zou komen, en dan zou worden
gesignaleerd als niet primair. Maar de fout der logistiek bestaat hierin, dat zij
niets schept dan een taalgebouw, dat nooit in de
eienlijke wiskunde kan worden overgevoerd.
23) En het actueel oneindige der Cantorianen, dit
bestaat wel degelijk, als we het maar beperken tot
het intuïtief opbouwbare, en dat niet door niet de
verwezenlijken logische combinaties willen uitbreiden.
[pag. 177] How weinig POINCARÉ er aan denkt, den
intuïtieven bouw der wiskunde als eenigen grondslag
voor zijn kritiek te nemen, blijkt uit zijn woorden
(l.c. pag. 819): ,,Les mathématiciens sont
indépendantes de l'existence des objets matériels;
en mathématiques le
mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie
exempt de contradiction.'' Het doet haast aan zijn tegenstander RUSSELL
denken. De wiskunde is zeker geheel onafhankelijk
van de materieele wereld, maar bestaan in wiskunde
beteekent: intuitief zijn opgebouwd; en of een begeleidende
taal vrij van contradictie is, is niet alleen
op zichzelf zonder belang, maar ook geen criterium
voor het wiskundig bestaan. Het wiskundig bekijken van taalteekens, 't zij
woorden of Peanistische teekens, kan omtrent de
wiskunde niets leeren; men beschouwe wiskundige
formules niet als een onafhankelijk bestaan voerende
,,waarheden'', maar alleen als hulpmiddel door teekens,
om zich zoo ekonomisch mogelijk te herinneren,
hoe in een zeker gebouw een ander gebouw is
ingepast. Zoo leze men in de formule
13 = 7 + 6
de herinnering aan het inpassen in eengroep waarlangs
men tot 13 kan tellen van een groep bestaande
uit de iuxtapositie van een groep waarlangs men
tot 6, en een waarlangs men tot 7 kan tellen.
Voetnoten:
1) d.w.z. dat men tot den bouw van het ding in kwestie
komt in samenhang met die deelen waartoe het wordt gezegd, in relatie
te staan.
2) d.w.z. wisseling in de ondergroepeeringen, die
men in eenzelfde wiskundig systeem in 't oog vat.
3) Men denke hier b.v. aan de uniciteitsbewijzen
voor transformatiegroepen met gegeven eigenschappen van HILBERT
en LIE; of ook aan gewone elementaire werkstukken, als het zoeken
van een gemeenschappelijk harmonisch paar, of de werkstukken van
APOLLONIUS.
4) Dat men ook bij wiskunde, waar aan geen relaties
van geheel en deel wordt gedacht, dikwijls voor de mededeeling door
woorden aan anderen, de gedachte relaties omvormt tot relaties
van geheel en deel, zoodat de gebruikelijke taal der algemeene
wiskunde doortrokken is van de uitdrukkingswijze der logische
redeneeringen, is slechts toe te schrijven aan de eeuwenoude traditie
der logische termen in de taal, in verband met haar beperkten
woordenvoorraad.
5) vgl. pag. 159 sqq. De totnogtoe uitgewerkte
systemen van logistiek beschouwen een wiskundige taal die een
overmatig gebruik maakt van de woorden der theoretische logica,
en die soms, waar dat overmatig gebruik voerde tot een ongeoorloofd
gebruik, wiskundige dwalingen heeft in het leven geroepen.
6) Ook al is uit de berekeningen van LOBATCHEFFSKY,
vooral voor het platte vlak op vrij eenvoudige wijze, wel een
bestaansbewijs aan te brengen, en is het niet onmogelijk, dat
hij zelf dat er in heeft willen zien; vgl. b.v. ,,Pangeometrie'',
§ 8.
7) Intusschen, zelfs, al had hij dat van al zijn
axioma's aangetoond -- de ,,Axiome der Verknüpfung'' en
,,Axioma der Anordnung'' onderzoekt hij in dat opzicht niet;
waarvoor hij (l.c. p. 20) den vagen grond opgeeft, dat zij ,,bei
userer Darstellung den übrigen Axiomen zu Grunde liegen'' --
dan ws daarmee het minimumbewijs nog niet geleverd. Immers elk
axioma, waarin het woord alle voorkomt, is splitsbaar, al
was het alleen in het axioma voor alle op één na
en dat voor de eene resteerende, en daarvoor zou dan telkens
moeten worden aangetoond, dat het tweede deel niet uit het eerste
volgt, wat misschien wel mogelijk is, maar in elk geval niet zoo
eenvoudig, en HILBERT heeft in dat opzicht zijn onderzoek onvolledig
gelaten.
8) Naast deze waan van de vrijheid der logica
staat als een analoge overschatting er van het idee van ARISTOTELES
en de scholastici -- dat nog sterk bij SPINOZA en in mindere mate
bij KANT nawerkt, en waaraan eerst in de 19de eeuw de
philosophie ontgroeid schijnt te zijn -- dat men door logica niet
a priori duidelijke geheimen der natuur zou kunnen ontdekken, terwijl
in werkelijkheid de conclusies waartoe men zoo geraakt, niet voor de
natuur zelf, maar alleen voor het in willekeur daarop geprojecteerde
wiskundige systeem (waarvan dan slechts een deel het direct doorleefde
dekt, terwijl het overige een uitbreiding door inductie daarvan is)
geldig zijn; dat die conclusies ook voor de natuur juist zijn
(d.w.z. als leiddraad voor het menschelijk handelen doel treffen),
dient voor elke conclusie opnieuw geverifieerd (en elke verifieering
door wiskundige inductie aangevuld). Zulk een verifieering is noodig,
hoe juist de gebruikte praemissen ook waren, zoo goed als van een
physische hyporthese, hoe bruikbaar ook tot nog toe gebleken, elke
nieuwe consequentie uitdrukkelijk dient gecontrôleerd te
worden. Die verifieering kan verder voor verschillende
personen tot verschillend resultaat leiden, omdat zij de woorden der
conclusie toetsen aan verschillende voor die woorden in hun geest
bestaande wiskundige systemen, of ook zij kan bij gebrek aan zulke
wiskundige systemen in afwachting van latere ondervinding, dat is
vorming van nieuwe wiskundige systemen, voorloopig onmogelijk zijn.
9) HILBERT verklaart zelfs uitdrukkelijk, bij woorden
als ,,Punkt,'' ,,Gerade'', ,,zwischen'' enz. aan geen wiskundige
interpretatie te willen denken.
10) Het is duidelijk, dat door het aangeven van een
wiskundig systeem, waarvan de axioma's eigenschappen zouden
kunnen accompagneeren, bewezen is, dat nooit twee strijdige
stellingen uit die axioma's kunnen worden afgeleid, want twee
strijdige stellingen kunnen niet van een wiskundig gebouw gelden.
Overigens ligt in het aanvoeren der wiskundige systemen als
bestaansbewijzen voor de logische, dat men nog voelde dat het
wiskundig systeem zelf geen verder bestaansbewijs, dan zijn
intuitieven opbouw noodig had. Hoe die overtuiging HILBERT later
echter weer heeft verlaten, blijkt uit zijn noot ,,über den
Zahlbegriff'' (Jahresber. der Deutschen Math. Ver. VIII), waar hij
de getalsystemen, die hij als bestaansbewijzen voor zijn
geometrieën had ingevoerd, op hun beurt zelf weer alleen
axiomatisch gedefinieerd denkt, zoodat dan daarvan nog weer even goed
onafhankelijk van de intuitie de niet-strijdigheid moet worden
aangetoond. Maar hij bedenke dat hij dan toch weer intuittief een
wiskundig systeem (dat van de uit de axioma's afgeleide stellingen)
intuitief opbouwt volgens de wetten der logica, en dan eenvoudig in
de niet-strijdigheid een wiskundige eigenschap van dat wiskundig
systeem aantoont, en dat niet anders dan intuitief. Daar hij geen
intuitieve wiskunde wil erkennen, zal hij die laatste bewijsvoering
ook weer als gebouw in de taal moeten beschouwen, en er een redeneering
op grond van axioma's (n.l. over de ,,Verknüpfunf van de
elementen die de stellingen van het systeem zijn, en daaronder
zeker het axioma van volledige inductie) in moeten zien; en hij
zal weer moeten bewijzen, dat die axioma's niet strijdig zijn.
Maar 1° is hij dan nog even ver, als zooeven, 2° volgt uit
de niet-strijdigheid der axioma's nog niet het bestaan
van het bijbehoorend wiskundig systeem, 3° volgt uit het
bestaan van het wiskundig redeneersysteem nog niet, dat dat
taalsysteem leeft, m.a.w. een aaneenschakeling van gedachten
begeleidt, en dát nog niet, dat die aaneenschakeling van
gedachten een wiskundige ontwikkeling is, dus overtuigingskracht
bezit. We zullen beneden zien, hoe HILBERT zich hieruit heeft
trachten te redden, en in hoeverre hij daarin geslaagd is. Herinneren we in dit verband ook aan de beroemde
brochure van DEDEKIND: ,,Was sind und was sollen die Zahlen?'', die
zich ten doel stelt, de arithmetiek der geheele getallen logisch te
bewijzen uit de allerprimitiefste begrippen. Hij geeft daartoe een
logisch systeem (dus een wiskundig gebouw van woorden), waarin de
woordbeelden van de onderlinge verhouding van de primitieve begrippen
(geheel en deel, beantwoording van elementen aan elkaar,
afbeelding van systemen op elkaar enz.) de axioma's zijn,
en dat dan verder volgens de logische wetten eindig wordt
opgebouwd (dus zonder gebruik te maken van de volledige inductie,
dat is de wiskundige intuitie ,,en zoo voort.'') Zou dit
systeem nu wiskundige beteekenis hebben, dan zou het door een wiskundig
bestaansbewijs moeten worden gecompleteerd. Maar wilden we dat geven,
dan zouden we daarbij zeker de intuitie ,,en zoo voort''
moeten gebruiken, en zouden meteen zien, dat we alle arithmetische
stellingen veel eenvoudiger kunnen zien, dan volgens het gewrongen
systeem van DEDEKIND; deze geeft dan ook niet het bestaansbewijs. Wel
geeft hij § 66 een bewijs voor: ,,Es giebt unendliche Systeme,''
maar 1° is vereist een bewijs voor: ,,Es giebt einfach unendliche
Systeme,'' wat meer is; en 2° is zijn bewijs, dat ,,meine
Gedankenwelt'' is niet wiskundig te bekijken, en het is dus ook niet
zeker, dat ten opzichte van zoo iets de gewone axioma's van geheel en
deel niet-strijdig zullen blijven. Wiskundige beteekenis heeft het
systeem van DEDEKIND dus niet; om het logische beteekenis te geven,
ware een onafhankelijk bewijs van niet-strijdigheid vereischt geweest,
dat DEDEKIND evenmin geeft; hád hij dat trouwens gegeven, dan
had hij zich op de intuitie ,,en zoo voort'' moeten beroepen,
maar had hij díe intuitief erkend, dan had hij weer gezien, hoe
hij met behulp daarvan de arithmetiek eenvoudig had kunnen opbouwen, en
was zijn logisch systeem hem als èn ongemotiveerd, èn
omslachtig verschenen, en had hij niet volgehouden, dat ieder die rekent,
onbewust alle phasen van zijn logisch systeem doormaakt. (vgl. Vorrede
pag. IX: ,,Ich erblicke gerade in der Möglichkeit, solche
Wahrheiten auf andere, einfachere, zurückzuführen, mag die
Reihe der Schlüsse noch so lange und scheinbar künstlich
sein, einen überzeugenden Beweis dafür, das ihr Besitz oder
der Glaube an sie niemals durch innere Anschauung gegeben, sondern
immer nur durch eine mehr oder weniger vollständige Wiederholung
der einzelnen Schlüsse erworben ist.'') Op dezelfde gronden als het werk van DEDEKIND, moet
de verhandeling van MANNOURY: ,,De zoogenaamde grondeigenschap der
Rekenkunde'' (Handelingen van het 8e Natuur- en
Geneeskundig congres, Rotterdam 1901) die eenvoudiger hetzelfde idee
uitwerkt, als grondlegging voor de rekenkunde worden veroordeeld.
11) Van de daar opgebouwde groep van niet-Pascalsche
geometrieën zijn de door HILBERT (Festschrift p. 69) en VAHLEN
(Abstrakte Geometrie pag. 42; 110) aangegevene bijzondere gevallen.
12) Van ons standpunt kunnen we in de pathologische
geometrieën van Hilbert c.s. niets zien, dan speciale
veralgemeeningen van de Euclidische bewegingsgroep. En deze
veralgemeeningen blijven eenzijdig hierin, dat ze zich (in tegenstelling
met die van LIE) tot projectieve groepen beperken, en dat ze (eveneens
anders dan bij LIE) niet de algemeene groep, die aan zeker
voorwaarden voldoet, opsporen; wat overigens ook niet zal gaan,
zoolang niet eerst als willekeurige beperking een bepaald
wiskundig grondsysteem wordt gegeven, waarin de verder nog aan zekere
intrinsieke voorwaarden voldoende groep moet worden ingepast.
13) Het is dus a fortiori niet zeker, dat van elk
wiskundig probleem òf de oplossing kan worden gegeven òf
logisch kan worden aangetoond, dat het onoplosbaar is; iets, waarvan
intusschen HILBERT in ,,Mathematische Probleme'' meent, dat ieder
wiskundige ten innigste is overtuigd. Maar van deze kwestie zelf is natuurlijk ook weer
niet zeker, dat ze ooit zal kunnen worden afgedaan, d.w.z. òf
opgelost, òf als onoplosbaar aangetoond (een logische kwestie
is ook niets dan een wiskundig probleem.)
14) Waar men zegt: ,,en zoo voort'', bedoelt
men het onbepaald herhalen van eenzelfde ding of operatie, ook
al is dat ding of die operatie tamelijk complex gedefinieerd.
15) Verhandlungen des internationalen
Mathematiker-Congresses in Heidelberg, 1904 p. 183, 184.
16) Intusschen kan men in zekeren zin ook zeggen, dat
aftelbaar onaffe en aftelbare verzamelingen gelijkmachtig zijn, daar
elke aftelbaar onaffe verzameling is af te beelden op
w2 (immers elk gedeelte, dat ik telkens weer
toevoeg, als ik de aftelbaar onaffe verzameling opbouw, is af te
beelden op w, immers is aftelbaar; construeer ik zulk een
afbeelding voor elk toegevoegd gedeelte, dan beeld ik de onaffe
verzameling af op w + w + w + ... = w2); alleen
is deze afbeelding steeds onaf; het bewijs, dat een
afbeelding eener aftelbaar onaffe verzameling op een aftelbare
onmogelijk is, geldt dan ook alleen voor een affe afbeelding.
17) Zoo goed als alle wiskundige taal is ook deze
taal zonder moeite te condenseeren tot symbolen. Men vergelijke voor
zulk een symbolische taal (,,Algebra der Logica'' genoemd) b.v. A.N.
WHITEHEAD, ,,A treatise on Universal Algebra'', Cambridge University
Press 1898, pag. 35 sqq.
18) d.w.z. (a + b)c = ac + bc, waarin de logische
sommen en producten bedoeld zijn.
19) In zulk een contradictoor systeem zijn natuurlijk
bijna geen redeneeringen meer gerechtvaardigd, daar het voornaamste
redeneermiddel, het principe van contradictie, niet mag worden toegepast.
20) Waaraan dient te worden toegevoegd
(POINCARÉ, Revue de Métaphysique et de Morale 1905
p. 833): elk getal heeft een opvolger, elke N heeft een seq. 21) Immers het geheel van alle combinaties van een
eindig aantal der ingevoerde teekens (waartoe ook het teeken = behoort,
en die eindig in aantal zijn voor elk wiskundige theorie) blijft
aftelbaar, a fortiori dus het geheel van die bijzondere teekencombinaties,
die als ware vergelijkingen zijn te lezen.
22) Een enkele maal vergist hij zich, waar hij n.l.
pag. 181 een niet-strijdigheid door een voorbeeld bewijst, wat
van het door hem ingenomen standpunt natuurlijk ongeoorloofd is.
23) Wèl wordt de petitio principii natuurlijk
geoorloofd, zoodra men, zooals HILBERT, uit het taalsysteem omgekeerd
op de primaire intuïtie, die het begeleidt, wil concludeeren.