T. Ehrenfest - Moet meetkunde-onderwijs gewijzigd?

MOET HET MEETKUNDE-ONDERWIJS

GEWIJZIGD WORDEN ?

Aanvullende gegevens:
Artikel verschenen in: Bijvoegsel op het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde I (1924-25), pp. 47-59.
Oorspronkelijk artikel met voetnoten, die op ieder pagina apart genummerd waren.
Het artikel is een reactie op een artikel van E.J. Dijksterhuis in hetzelfde tijdschrift. De noot op pagina 49 was abussievelijk als ,,2'' genummerd.

MOET HET MEETKUNDE-ONDERWIJS
GEWIJZIGD WORDEN?

Een antwoord aan den heer E.J. DIJKSTERHUIS.

DOOR

T. EHRENFEST-AFANASSJEWA

Onder dezen zelfden titel heeft de heer E.J. DIJKSTERHUIS 1) een reeks van kritische opmerkingen over mijn brochure 2) gemaakt.
Ondanks het bestiste verbod, dat zijn motto tot mij richt, maar in overeenstemming met den vrlendelijken brief, dien hij mij schreef, acht ik het een pllcht, die echter tevens een genoegen is, nog eens terug te komen op hetzelfde ,,ewig grüne'' onderwerp: de wijze, waarop de mensch denkt en de methoden, die de ontwikkeling van zijn denkvermogen kunnen bevorderen.
Ik wil met het gemakkelijkste beginnen: trachten eenig misverstand over de terminologie uit den weg te ruimen.

1. De uitdrukking bewust: een handeling (meening, indruk enz.), waarvan wij ons wel bewust zijn, maar waarvan de motieven ons nog niet duidelijk zijn geworden, is in mljn terminologie ,,een bewuste handeling met onbewuste motieven'': den naam ,,onbewuste hondeling'' reserveer ik echter voor een handeling, die...... onbewust is!
Het komt mij voor, dat men bij consequente toepassing van deze terminologie nooit zal stuiten op antinomieën, zooals de heer D. ze aanvoert (hij gebruikt tevens de woorden ,,onbewust'' en ,,intuïtief'' als synoniem, wat in mijn terminologie geenszins het geval is. Verg. blz. 49). [pag. 48]
2. De uitdrukking intuïtie: op het gebied der ruimteleer valt dit begrip inderdaad samen met wat SCHOPENHAUER Anschauung noemt; ik zou echter niet met zekerheid kunnen zeggen, tot hoever onze wegen samengaan, daar ik niet geloof, dat hij onder Anschauung hetzelfde verstaat als wat ik ,,het intuïtieve materiaal der Axiomatica'' genoemd heb 3). Mocht het echter geoorloofd zijn, de beteekenis van het woord Anschauung zoover uit te breiden, dan zou ik natuurlijk alles, wat SCHOPENHAUER over de noodzakelijkheid van de Anschauung bij het denken en uitvinden zegt, zonder voorbehoud onderschrijven 4).
Ter nadere verduidelijking wil ik ingaan op de vraag, die de heer D. stelt over de intuïtie op het gebied der meer-dimensionale ruimtes: deze is, meen ik, hoofdzakelijk algorithmisch van aard. De ,,meetkunde'' van deze ,,ruimtes'' met meer afmetingen is analytische meetkunde; d.w.z. ze onderzoekt analytische vormen, waarvan bijzondere gevallen voor bepaalde aantallen variabelen een gemakkelijke interpretatie in onze drie-dimensionale ruimtelijke voorstelling toelaten; voor een willekeurig aantal variabelen behouden zij echter dezelfde namen en dit helpt ons om bij analogie zekere betrekkingen reeds zonder berekening juist te raden. Daarom vormen ook de voorstellingen van de driedimensionale ruimte een wezenlijk bestanddeel der intuitie bij den omgang met de ruimtes van meer dimensies.
Ik geloof niet, dat daarbij naast de analytische vormen, de drie-dimensionale ruimtelijke voorstellingen en de in woorden uitgedrukte stellingen nog iets geheimzinnigs in de intuïtie voorkomt 5). [pag. 49]
Over het woord intuïtie moet ik nog een opmerking maken: geen van mijn critici, is, voorzoover ik weet, ingegaan op de volgende passage: 6)
Het einddoel van het denken..... is het verkrijgen van een intuïtief beeld, dat volmaakter is dan het oorspronkelijke en dat men goed doorziet.
Waarschijnlijk hebben zij deze passage niet opgemerkt; immers zij plegen, ook wanneer zij het in groote trekken met mij eens zijn, over de intuïtie als over iets wezenlijk onbewusts te spreken. In mijn terminologie is echter de ,,intuïtie'' iets, dat niet ophoudt te bestaan, nadat het door het zoeklicht van het bewustzijn beschenen is. Dit ,,iets'' bestaat en moet dus een eigen naam hebben. Wie ,,intuïtie'' niet goed vindt, stelle een anderen naam voor, maar het ding zelf mag niet vergeten worden.

3. De uitdrukking ruimteleer: als ik den heer D. goed begrepen heb, is dit bijna hetzelfde, als wat hij Axiomatica a priori noemt. De overeenstemming bestaat hierin, dat wij beide

daarin een duidelijke, op expliciete uitgesproken onderstellingen gebaseerde, bewijsvoering der meetkundige betrekkingen verlangen, die ook in de oogen der leerlingen, ten doel hebben, zekerheid aangaande de juistheid dier betrekkingen te verschaffen;
in dit stadium het onderzoek -- en dus ook de vraag -- naar de onafhankelijkheid der axioma's ongepast vinden.

Het verschil is echter dit, dat ik, in tegenstelling tot den heer D., van meening ben, dat, wanneer men het probleem van de onafhankelijkheid der axioma's toch niet stelt, men niet kan motiveeren, waarom men een evidente stelling op een andere, eben evidente, terugbrengt. De heer D. spreekt van de zekerheid der grondlagen [pag. 50] waarop alles, wat in dezen cursus geleerd wordt, moet worden teruggebracht. Ik mijnerzijds meen, dat die ,,zekerheid'' hier niets anders kan beteekenen dan ,,evidentie'' (wat niet hetzelfde behoeft te zijn als objectieve waarheid). Ontkent de heer D. dit, dan verzoek ik hem, te zeggen, waarom hij zelve de stelling, dat door twee punten slechts één rechte lijn kan gaan, voor zekerder houdt, dan de stelling, dat de rechte lijn tusschen ieder tweetal punten korter is dan iedere gebroken lijn tusschen hetzelfde tweetal: in sommige niet-Euclidische meetkunden zijn beide stellingen buiten zekere grenzen niet meer geldig en tegenwoordig weten wij immers niet meer, welke meetkunde het best past op de ruimte, waarin wij leven!
Wanneer wij de eene evidente stelling als axioma toelaten en voor een andere, even evidente stelling, een bewijs verlangen, dan kunnen wij er ons niet op beroepen, dat we weliswaar niet zeggen, wat ,,onafhankelijke axioma's'' zijn, maar dat we onze leerlingen toch voor de toekomst reeds van het systeem der onafhankelijke axioma's voorzien: want dit doet geen der op de scholen gebruikelijke meetkunde-cursussen (men denke aan de vaagheid van de begrippen ,,beweging'' en ,,op elkaar leggen'', om nog maar te zwijgen van de stelling, dat twee lijnen, die met een derde gelijke hoeken maken, elkander niet snijden, wat in vele Hollandsche schoolboeken als axioma aangenomen wordt).
Men zou tenslotte het vermoeden kunnen opperen, dat er bij de leerlingen werkelijk weinig zekerheid zou kunnen bestaan b.v. over de stelling van de relatieve lengtes van de rechte en de gebroken lijn -- ik zou mij echter met vermoedens niet tevreden stellen, en zou bij iedere gegeven groep leerlingen willen vaststellen, wat voor hen werkelijk zóó evident is, dat ze zelfs het doel van een nadere bespreking niet kunnen begrijpen. (Dit is zoo moeilijk niet, wanneer men maar gewoon is, de leerlingen zich te laten uitspreken. Wanneer echter minstens één leerling in de klasse bezwaren tegen zulk een stelling heeft, dan zal dit in de oogen der anderen een redelijk motief zijn, om naar een bewijs te zoeken -- en daardoor zal practisch het aantal der ,,voorloopige'' axioma's voldoende beperkt blijven.)
De waarde van een zorgvuldig kritisch onderzoek ziet men eerst in, wanneer men ,,er in geloopen'' is en daartoe bieden zich op ieder oogenblik ontelbare gelegenheden aan, waarvan de heer D. ook al enkele opnoemt. Daarom verbruike men den kostbaren tijd [pag. 51] niet voor discussies, waarvoor op het gegeven oogenblik toch niet de noodige ontvankelijkheid bestaat, terwijl de in het oog springende aanleidingen tot het geven van bewijzen onmiddellijk daarna te wachten staan 7).

4. De uitdrukkingen Seinsgrund en Erkenntissgrund: Waarschijnlijk had SCHOPENHAUER meetkunde-onderwijs gehad volgens de methode, die de heer D. aanbeveelt; daardoor en doordat hij uit zich zelf niet genoeg belangstelling voor de wiskunde in het algemeen had, zijn de Euclidische bewijzen voor hem nooit iets anders geweest dan uiteenzettingen van den ,,Erkenhtnissgrund'' en hebben ze hem niet, zooals behoort, den ,,Seinsgrund'' der te sprake komende betrekkingen, het organische verband met die grondeigenschappen der ruimte, die in de axioma's worden uitgesproken, kunnen toonen. Zoo gaat het immers steeds, wanneer iemand door woorden naar een zeker doel gevoerd wordt en niet zelf uit eigen intuïtie dat doel bereikt: dezelfde woorden hebben in deze beide gevallen verschillende beteekenissen.
Verder wil ik nadrukkelijk aangeven, waarin ik het met den heer D. eens ben.
1. In alles, wat hij zegt over de waarde van een nauwkeurige formuleering, bespreking, bewijsvoering, van een doelmatige notatie. Ik hoop, dat hij dit nu al zal hebben ingezien op grond van wat ik boven over de Ruimteleer zeide; bovendien vertrouw ik, dat wanneer hij nu zoo vriendelijk zal zijn, nog eens mijn brochure op te slaan, [pag. 52] hij daarin ook geen afwijking van deze overeenstemming zal vinden 8). Ik zou hierbij echter eenige opmerkingen willen maken.
a. De zuiverheid en eerlijkheid van het mathematische denken blijven volkomen onaangetast, wanneer men zich steeds rekenschap geeft van wat men zonder bewijs wil aannemen; het aantal van zulke aannamen is, meen ik, voor de eerlijkheid niet van belang.
b. Bij de practische toepassing van de kunst, zuiver en eerlijk te discussieeren, heeft men meestal te doen met gevallen, waarin men zich onmiddellijke zekerheid niet over de axioma's, maar slechts over de eindresultaten verschaffen kan. Zoo gaat men te werk in de natuurwetenschappen, om een theorie van bepaalde verschijnselen op te bouwen of af te breken: zoo ook handelen wij keer op keer in den omgang met andere menschen -- b.v. wanneer wij hun karakter trachten te doorgronden -- of ook in de vele kleine en groote aangelegenheden van het practische leven. Maar is het, om dit te kunnen, wel zoo erg nuttig, er aan gewend te zijn slechts van volkomen gegarandeerde axioma's uit te gaan? 9).
c. Ten onrechte kent men aan de meetkunde het monopolie toe, het verschil tusschen een directe en een omgekeerde stelling duidelijk te kunnen maken: om dit verschil goed te laten uitkomen, wat immers noodzakelijk is, voor men de eerste (evidente!) omgekeerde stelling laat bewijzen, moet men voorbeelden geven, waarin de omgekeerde stelling niet alleen niet evident, maar zelfs onjuist is 10) en daar men op zulk een oogenblik nog bijna geen meetkundige stellingen kent, is men aangewezen op voorbeelden uit andere gebieden, ,,uit het leven''. [pag. 53]
Het is waar, dat men den leerling bij geen andere gelegenheid zooveel rust gunt, om zijn opmerkzaamheid op zulke dingen te richten, maar men moet er zich van bewust zijn, dat het begrip van de betrekking tusschen een stelling en haar omgekeerde niet gebonden` is aan den specialen aard der meetkundige stellingen.

2. Het andere punt, waarop ik het volkomen met den heer D. eens ben, is dat de meeste leerlingen groote moeite hebben, zich de ruimtelijke figuraties voor te stellen.
3. De heer D. geeft zijnerzijds toe, dat iets meer ruimtelijk voorstellingsvermogen geenszins zou schaden.
Nu komen echter de punten, waarop wij van meening verschillen:
Een daarvan zou gemakkelijk door de ervaring kunnen worden opgelost, wanneer men daartoe slechts bereid was: de heer D. wil niet gelooven, dat door den omgang met het aanschouwelijke materiaal van een propaedeutischen cursus het ruimtelijk voorstellingsvermogen van de leerlingen in belangrijke mate kan worden ontwikkeld; dat dit wel het geval is, wordt echter verklaard door de leeraren, die het zelf geprobeerd hebben, zelfs in gevallen, waarin de keuze der oefenstof tamelijk beperkt was en de pogingen nog tastend geschiedden.
Welk een verlichting en bevrediging men een leerling, die met een stereometrisch vraagstuk sukkelt, geven kan, wanneer men hem het aanschouwelijke beeld helpt opbouwen, kan natuurlijk ieder gemakkelijk ervaren; maar wanneer men daarmee komt midden in den systematischen cursus, is het te laat. ledereen zal aanvankelijk wel de behoefte hebben, zich de dingen, waarover hij spreken moet(!), ook voor te stellen en wanneer die behoefte in een gegeven stadium niet meer aamvezig blijkt te zijn, zal men dit wel in de eerste plaats aan wanhoop moeten toeschrijven. De heer D. hecht niet genoeg waarde aan den propaedeutisohen cursus, dien het leven in de eerste plaats aan hem zelf -- want hij was toch een goed meetkundeleerling -- gegeven heeft. Hij moet zich echter afvragen, hoe het met vele anderen gesteld is, die niet spontaan de gewoonte hebben, de vormen om zich heen op te merken en erover te phantaseeren. Voor hen zijn de figuren der planimetrie slechts teekeningen in het boek en op het bord en voor hen is de klove tusschen die teekeningen en de vlakke figuraties in de ruimte, waarvoor ze in de Stereometrie worden geplaatst, bijna niet te overbruggen. [pag. 54]
Wanneer men dan ook den leerling in aanraking brengt met de noodige aanschouwelijke hulpmiddelen, dan is dat geen ,,vergen'', zooals de heer D. het noemt, maar een geven. Wanneer daarentegen bij de methode, die de heer D. beschrijft, nog eenige ontwikkeling van het voorstellingsvermogen kan worden geconstateerd, dan geschiedt dat, vrees ik, ten koste van een vergen zonder geven.
De heer D. vindt het ontmoedigend voor een leerling, te bemerken, ,,dat zijn meer met voorstellingsvermogen begaafde medeleerlingen of zijn sterk op de intuïtie den nadruk leggende leeraar plotseling iets ,,zien'', waarvan hij zich niets kan voorstellen.''
Ik ben dit volkomen met hem eens (ik geloof trouwens, dat dit gevoel van hulpeloosheid ook dan aanwezig zal zijn, wanneer niemand in de klasse zich iets voorstelt), maar men kan de makkers, die iets kunnen ,,zien'', als ze er bij ongeluk zijn, toch niet wegwerken, en het eenige middel, om er immuun tegen te worden, zal dus wel zijn, het eigen voorstellingsvermogen te ontwikkelen. Wanneer daarvoor van den beginne af gezorgd is, zal zoo iets onaangenaam ,,plotselings'' ook niet gebeuren. Dit is een van de gronden, waarom ik het wenschelijk acht, den propaedeutischen cursus stereometrisch in te richten.
Ik moet hierbij nog op enkele losse opmerkingen en vragen van den heer D. ingaan.
Teekenen uit het hoofd hangt op de volgende wijze met het voorstellingsvermogen samen: het geeft den leerling de gelegenheid tot zelfcontrôle, het houdt zijne opmerkzaamheid bij ieder wezenlijk element der figuur vast en prikkelt hem tot nauurkeuriger voorstelling. Ook voor den leeraar is het een goed hulpmiddel, om te controleeren, wat den leerling nog ontbreekt en wat hij hem dus door het laten beschouwen van voorwerpen nog moet laten verwerven. Het spreekt vanzelf, dat het daarbij niet op een mooie teekening aankomt: vaak zal zelfs een slechts topologische overeenstemming voldoende zijn, om te waarborgen, dat de leerling zich het bedoelde ding goed voorstelt. Het coördineeren van de handbewegingen met de voorstelling, waardoor het vermogen tot teekenen zich van het voorstellingsvermogen onderscheidt, kan, zij het ook in beperkte mate, gemakkelijk worden aaageleerd, zooals door vele teekenleeraren, die dergelijke oefeningen reeds met andere bedoelingen en aan ander materiaal laten doen, geconstateerd is.
Een icosaëder topologisch juist te teekenen is niet zoo moeilijk, [pag. 55] als de heer D. wel denkt 11), maar waarom wil hij toch tot elken prijs juist met een icosaëder beginnen? Ik heb uitdrukkelijk gezegd, dat mijn heele opsomming van onderwerpen, die men in den propaedeutischen cursus zou kunnen behandelen, slechts ten doel heeft, aan te toonen, dat er geen gebrek aan stof is; op welke wijze en tot welken graad van complicatie men die stof gebruikt, moet van den aard der leerlingen en van dien van den leeraar afhangen.
Misschien bestaan er voor iederen mensch grenzen, waar geen macht hem overheen helpt, maar voor ons is hier de keerzijde van belang: dat er voor iedereen wèl hulpmiddelen bestaan, die hem eenigszins kunnen verheffen boven den natuurlijken toestand, waarin hij voor de eerste maal voor zijn leeraar verschijnt, en dat deze middelen op het speciale gebied der ruimtelijke voorstelling bestaan in het verzamelen van zintuigelijke waarnemingen en de vewerking daarvan onder leiding van den leeraar.
De heer D. vraagt, hoe ik verlangen kan, dat de leerlingen zich de ruimtelijke figuraties althans qualitatief juist voorstellen, vóór ze geleerd hebben, daarover logisch bevredigende stellingen uit te spreken. Ik moet daar de vraag tegenover stellen: hoe kunnen ze iets anders doen, dan die stellingen napraten, vóór ze geleerd hebben, zich de dingen, waarover ze spreken, goed voor te stellen.
Hoe kunnen zij weten, welke theorema's toegepast moeten worden, om het vraagstukvan de vijf lijnen en het vlak, dat de heer D. ter illustratie van zijn methode vermeldt 12), op te kunnen lossen, wanneer zij zich deze lijnen en dit vlak heelemaal niet voorstellen? Ik geef toe, dat het in dit geval voldoende zou zijn, zich de verschillende elementen slechts successievelijk, groepsgewijze, voor te stellen, om de methode van oplossing te vinden (maar heelemaal niet, zooals de heer D. uitdrukkelijk zegt? 13), maar is het principieel juist, dat ze, zoover gekomen, het heele probleem weer mogen vergeten en niet zullen moeten probeeren, zich de gevraagde lijn althans achteraf voor te stellen? [pag. 56]
Hiermee zijn we echter aan een tweede en wel zeer gewichtig verschilpunt gekomen: met welk soort van inzioht mag men zich tevreden stellen?
Er bestaan ongetwijfeld voor iedereen op elk gebied problemen, waarvan hij het geheele intuïtieve materiaal niet in een samenhangend beeld kan overzien; dat ik dergelijke grenzen maar al te goed ken, heb ik in de noot van pag. 11 van mijn brochure uitgesproken; maar voelen wij ons bevredigd, wanneer wij, aan een dergelijke grens gekomen; niet in staat zijn, haar verder te verleggen? zelfs, wanneer we de mogelijkheid, om door rekenen die grens te overschrijden, voorloopig als een ontwijfelbare triomf van onze rekenkunst moeten begroeten? Mogen wij ons daarbij neerleggen, voordat wij alle middelen hebben beproefd, het geheel toch intuïtief te begrijpen?
Het zij mij vergund, een episode uit mijn naaste omgeving te verhalen: een geleerde vertelt triomfantelijk aan een vriend, dat hij een physisch effect heeft berekend, dat men a priori nooit voor mogelijk zou hebben gehouden; dat men ook a posteriori niet begrijpen kan, maar dat de gelegenheid opent, een zeer interessante en voordeelige technische toepassing te construeeren. De vriend, die voor berekeningen zonder intuïtie niet genoeg respect heeft, kan zich niet bij het geval neerleggen. Hij tracht het ook intuïtief te begrijpen, maar komt tot een ander resultaat. Dit geeft den beiden vrienden aanleiding, het heele probleem nog eens rustig na te rekenen, maar nu onder voortdurende voeling met de intuïtie; en nu blijkt, dat er in de oorspronkelijke berekening......... een teekenfout had gezeten.
Deze zelfde neiging, om bij het eenmaal verkregen reken- of redeneerresultaat stil te blijven staan, voert ook zoo vaak de leerlingen tot de domste fouten en iedere leeraar kan er de vermaning in vinden, hoe weinig waarde het heeft, te kunnen rekenen, wanneer men daarbij niet de gewoonte heeft, het verkregen resultaat in het integrale intuïtieve beeld in te passen; de kleinste fout maakt een heele berekening waardeloos, maar kan zelfs de meest opmerkzame mensch zich voor fouten gevrijwaard achten? en hoeveel opmerkzame menschen zijn er op de wereld?
Wanneer de leerlingen in staat zijn, dank zij het ontwikkelde voorstellingsvermogen, een voldoende hoeveelheid betrekkingen integreerend ,,in vogelvlucht'' te overzien, kan hun de gewoonte [pag. 57] bijgebracht worden, bij ieder probleem naar het integrale inzicht te streven -- ook dan, wanneer ze voorloopig het resultaat slechts volgens de ,,wormmethode'' der geleidelijke overwinning van moeilijkheden verkregen hebben. Met den geringen voorraad voorstellingen, dien de meeste leerlingen vóór het begin van het meetkunde-onderwijs bezitten, kan echter van zulk een overzicht -- Vooral in de stereometrie -- geen sprake zijn.
Och, ik stel me natuurlijk niet voor, dat mert op deze manier uit iederen stakker van een leerling een vogel zal kunnen maken, maar men zal ze toch allemaal wat dichter bij het gezonde verstand kunnen brengen. 14)
Wanneer men iemand niet al te veel detailkennis bijbrengt, maar men leert hem, om dat, wat hij weet, te overzien, ontwikkelt men bij hem die zijde der logica, die hij ook kan toepassen op alles, wat hij later in het leven ontmoet: dit lijkt mij van meer belang, dan hem lastig te vallen met problemen, waarvan hij de oplossingen slechts moeizaam en onzelfstandig kan opsporen: zulke geestesoefeningen zal hij toch ongebruikt laten liggen en op al het overige zal hij reageeren met de goede oude ,,vrouwenlogica'' 15) of met de gebruikelijke spreelkwijze: ,,in de wetenschap moet men exact [pag. 58] redeneeren, maar in het leven......''. Tenzij hij pleizier in de methode gekregen heeft: dan zal hij juist het omgekeerde vertoonen: hij zal zich werpen op het concludeeren uit losse, langs verschillende wegen verkregen praemissen, die hij eventueel ook nog te eng of te wijd heeft opgevat, zonder aan het totale intuïtieve beeld te hebben gecontroleerd, of ze het wezenlijke treffen. 16)
Het ideaal, dat de heer D. schetst, is een ander dan het mijne en, naar het mij voorkomt, ligt dit niet alleen aan de zwakte van zijn geloof in de bereikbaarheid van mijn ideaal, maar ook aan ons verschil van smaak. Dan kan er natuurlijk van overeenstemming geen sprake zijn. Wanneer men echter toch soms ,,de gustibus'' twist, dan geschiedt dit in de onderstelling, dat de ander de spijs, waaraan wij de voorkeur geven, nog niet geproefd heeft: had hij haar maar eerst eens geprobeerd, dan......
Er is nog een derde punt, waarover wij het niet eens zijn: het schijnt wel, alsof voor den heer D. het ruimteiijk voorstellingsvermogen een attribuut is van den aanleg voor wiskunde. Dit is, zooals ieder in zijn naaste omgeving waar kan nemen, niet het geva): er zijn niet-mathematisch-begaafde menschen, met een uitstekend ruimtelijk voorstellingsvermogen en goede mathematici, die dat vermogen slechts in geringe mate bezitten. Dit vermogen, waarvan de mate zoowel van natuurlijken aanleg, als van oefening afhangt, is evenzeer een eigenschap op zich zelf, als b.v. de zin voor kleur, het muzikale gehoor en dergelijke. En daarom is het ook niet moeilijk, om juist den propaedeutischen cursus stereometrisch te maken: de theorie van de muziek leert men ook eerst, nadat men zijn gehoor door oefening in de muziek ontwikkeld heeft.
Vóór het begin van het meetkunde-onderwijs hebben de leerlingen ook niet geblinddoekt rondgeloopen; ja, wanneer ze in de eerste meetkunde-lessen nog iets snappen, dan komt dit alleen, doordat ze al over een zekeren voorraad voorstellingen beschikken; en wanneer men dan het materiaal tot uitbreiding van dien voorraad doelbewust ophoopt en ordent en de opmerkzaamheid der leerlingen daarop richt, dan verlangt men niets onbereikbaars van hen.
Wel wordt hierbij iets van den leeraar gevergd: hij moet zelf een bewegelijke ruimtelijke phantasie bezitten, om die ook bij de [pag. 59] leerlingen te kunnen ontwikkelen; hij moet vindingrijk genoeg zijn, om de beschikbare materieele abjecten voor de noodige oefeningen te kunnen gebruiken; hij moet naast de zuiver mathematische ook andere interessen tot op zekere hoogte bezitten, waardoor hij met zulke objecten vertrouwd kan zijn. Anderzijds moet hij ook met de streng systematische methode goed vertrouwd zijn, om de leerlingen vastberaden tot het einddoel van den propaedeutischen cursus te kunnen brengen: tot het besef van de noodzakelijkheid van een systematischen opbouw; en bovendien moet hij den leerling goed kunnen waarnemen en diens behoeften kunnen raden. Het gemis aan deze eigenschappen kan gemakkelijk tot een pijnlijk weifelen voeren, dat gevaarlijk kan worden voor de orde. Mij dunkt, dat de leeraar den propaedeutischen cursus met een klaar plan moet beginnen, maar dat hij ieder oogenblik bereid en in staat moet zijn, daarvan af te wijken in de richting, die door de actueele behoeften van de leerlingen -- onverwachte gapingen in hun inzicht, bijzonder sterke belangstelling in bepaalde quaesties enz. -- aangegeven wordt. Dit brengt echter ook weer een vergemakkelijking met zich mee, omdat men zich niet gebonden behoeft te voelen door den eisch, dat een bepaalde hoeveelheid stof moet worden doorgewerkt: iedere beschouwing van ruimtelijke objecten, waartoe men den leerling kan krijgen, zonder dat men er hem, onder tegenstribbelen, toe dwingt, verschaft al een nuttige oefening.
Resumeerend moet ik zeggen: deze strijd om de methode is eigenlijk een strijd om het doel; wie een nieuw ideaal heeft, zal zoeken naar een nieuwen opbouw van het onderwijs. Ik voor mij geloof echter, dat velen, die tot nu toe gewoon waren, slechts te denken aan de vroegere methode -- die in de overwegende meerderheid der gevallen ook nog de tegenwoordige is --, eigenlijk hetzelfde ideaal hebben, dat ik getracht heb, hier te schetsen. Misschien zullen zij in deze discussies aanleiding vinden, hun methode nog eens aan hun ideaal te toetsen.

Leiden, 25 December 1924.

Voetnoten

1) Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 1e Jaargang 1924/1925. Nr. 1, pag. 1. P. Noordhoff, Groningen.

2) Wat kan en moet het Meetkunde-onderwijs aan een niet-wiskundige geven? door T. Ehrenfest-Afanassjewa. Bij J.B. Wolters' U.M. Groningen, Den Haag, 1924.

3) loc. cit. pag. 10, r. 19 en de bijbehorende noot 3.

4) Evenals vele andere dingen, die deze, door mij zeer vereerde denker gezegd heeft.

5) Het spreekt vanzelf, dat wanneer men bij de behandeling van de driedimensionale ruimte aan de ruimtelijke voorstelling nog het heele formule-materiaal toevoegt, men rijker aan hulpmiddelen geworden is; laat men echter het eerste, de voorstelling, varen, dan berooft men zich van kostbare hulpmiddelen, om de noodige betrekkingen te ontdekken en hare beteekenis juist te beoordeelen; natuurlijk gaat het er wel om en ik weet, dat er wiskundigen zijn, die in de analytische meetkunde bijna uitsluitend analytisch te werk gaan.
Uitgesproken waardeering is aan de beteekenis van de ruimtelijke voorstelling geschonken door Prof. F. KLEIN te Göttingen; deze verzuimde op zijn colleges niet, om bij de bespreking van ruimtekrommen en oppervlakken van hoogeren graad draad- en gipsmodellen onder het auditorium te laten circuleeren.
In de elementaire meetkunde staat het echter zoo, dat wanneer men daar van de ruimtelijke voorstelling afziet, er niets anders meer overblijft dan woordsystemen! Hieruit kan men, als men het nog de moeite waard vindt, volgens de regels der formeele logica andere woordsystemen vormen, maar zelfs dit simpele systeem: ,,laten we nu de hulplijn MN trekken'', zou er niet eens onder kunnen voorkomen.

6) loc. cit. pag. 11, r. 34 seq.

7) Het bewijs van de stelling van de gelijkheid der basis-hoeken in den gelijkbeenigen driehoek -- in den zin van het opsporen van die Euclidische axioma's die aan deze stelling ,,schuld hebben'', zal toch wel meer voor de leerlingen gewaardeerd worden, wanneer men de vraag stelt, hoe het analoge geval op een eivormig oppervlak is. Dit hoort echter thuis in de ,,Axiomatica a posteriori''. Ik zou trouwens niet verboden willen zien, om dergelijke vragen reeds in den ruimteleer-cursus in te schakelen, mits slecht de beide gezichtspunten gescheiden blijven, opdat de leerlingen niet zullen kunnen meenen, dat men van hen twijfel verlangt aan iets, waarvan ze niet kunnen twijfelen. Ook in dit opzicht moet bij hen, terwille van de logica, volkomen klaarheid bestaan.

8) Mijn geheele brochure is in deze stemming geschreven, maar misschien moet ik nog in het bijzonder op Hoofdstuk IV wijzen.

9) Zou niet het al te vaak mislukken van onze pogingen in de laatst genoemde gevallen juist daarop berusten. dat wij, bij het verband leggen tusschen onze axioma's en de gevolgen, vergeten, dat juist de axioma's heelemaal niet gegarandeerd zijn?

10) We behoeven hier niet te twisten over de oorzaak, waardoor de regels der formeele logica zulk een onweersprekelijke macht over ons intellect hebben, maar moeten in ieder geval als empirisch feit erkennen, dat, wanneer iemand nooit aan voorbeelden beleefd heeft, dat, als de stelling: alle A zijn B, juist is, er ook B kunnen bestaan, die niet A zijn, hij ook den regel niet begrijpt. Ook hier is een ervaring noodzakelijk, die den intuïtieven inhoud levert.

11) Men kan daarbij de volgende methode toepassen: men neme een model van een icosaëder in den hand en legge het niet weer weg, voor men uitgevonden heeft, hoe men het moet oriënteeren, om gemakkelijk te zien, dat het werkelijk een icosaëder is.

12) loc. cit. pag. 19, r. 38 seq.

13) ibidem, pag. 20, r. 31-32.

14) Deze zelfde tendentie kan men waarnemen, waar in de moderne paedagogisch-mathematische literatuur de eisch gesteld wordt, het ,,functioneele denken'' bij de leerlingen te ontwikkelen. Als hulpmiddelen daarvoor worden de graphische voorstellingen aanbevolen; daarbij moeten relaties tusschen verschillende grootheden uit allerlei andere gebieden in het ruimtelijke ,,vertaald'' worden; blijkbaar vindt men dus de gedachte, dat juist het ruimtelijke het gemakkelijkst toegankelijk is voor onze phantasie, steeds meer ingang.

15) Ik weet niet, of ik als vrouw nu wel juist competent ben, om te beoordeelen, wat vrouwenlogica is, maar toch zou ik een poging willen wagen: het is de manier, waarop de ongeschoolde mensch een probleem behandelt (een manier trouwens, die bij meer gecompliceerde problemen ook bij de meest fijn beschaafde mannen voorkomt): enkele punten van het betrokken intuïtieve beeld zijn volkomen helder en hij kan ze goed onder woorden brengen; het overige is onderbewust en wanneer hij probeert het te analyseeren, glijdt zijn opmerkzaamheid daaraan af; hij noemt dingen, die ook wel in zijn beeld voorkomen, en die op zich zelf ook wel waar kunnen zijn, maar die met de te behandelen vraag niets te maken hebben.

16) Zou men deze methode -- ter wille van de symmetrie -- niet ,,mannenlogica'' mogen noemen? Ook zij komt trouwen, min of meer gematigd bij beide geslachten voor.