WAT KAN EN MOET
HET MEETKUNDE-ONDERWIJS
AAN EEN NIET-WISKUNDIGE GEVEN
DOOR
T. EHRENFEST-AFANASSJEEWA
Aanvullende gegevens:
Pamflet, verschenen in 1924 in de reeks Paedagogiese Voordrachten
van
uitgever J.B. Wolters. Titelgegevens: T. Ehrenfest-Afanassjeewa, Wat kan
en
moet het Meetkunde-onderwijs aan een niet-wiskundige geven, J.B.
Wolters:
Groningen en Den Haag (1924), 27 pp.; tekst begint op p. 3
Oorspronkelijk pamflet met voetnoten, die op ieder pagina apart
genummerd waren.
Het stuk lokte een reactie uit van
E.J. Dijksterhuis
I. Welk nut kan het Meetkunde-onderwijs bebben
voor leerlingen die niet in wiskunde doorgaan?
Het doel van dit schrijven is om uitsluitend datgene in
de
Meetkunde te beschouwen, wat een algemeen-kultureele waarde
bezit en daarom rechtvaardigt, dat daarin ook menschen worden
onderwezen, die geen bijzonderen aanleg voor Wiskunde hebben
en in hun verder leven noch met de Wiskunde zelf, noch met hare
toepassingen in aanraking zullen komen. Ik meen, dat een
dergelijk onderzoek in onze dagen zeer op zijn plaats is: aan
het nut in het algemeen van het Wiskunde-onderwijs wordt
immers niet alleen door zwakke leerlingen en hun ouders, maar
soms ook door de Wiskunde-leeraren zelf getwijfeld. Het lijkt
wel alsof aan de tegenwoordige programma's en eindexamen-eischen
juist dat ontbreekt, wat de Wiskunde -- speciaal ook
de Meetkunde -- tot een algemeen ontwikkelend vak zou kunnen
maken. Of is het werkelijk maar een illusie geweest, wat
ertoe bewogen heeft de Meetkunde op scholen met zoo uiteenloopend
doel tot een verplicht vak te maken?
De Meetkunde houdt zich bezig met de Ruimte.
Niemand zal
ontkennen, dat de praktische vertrouwdheid met de ruimtelijke
betrekkingen een ieder van nut kan zijn: bij het meeste, wat
we doen, is het vermogen om deze snel en zoo ver mogelijk te
overzien van de grootste waarde. Aan het volgende, echter,
denkt men minder: het vermogen de ruimte goed te zien en
zich voor te stellen speelt dikwijls een heel groote rol bij het
genieten van de meest verschillende dingen dezer wereld --
hetzij ze door menschenhand of niet door menschenhand zijn
gemaakt. Men zou werkelijk kunnen zeggen, dat hij, die zich
in de ruimtelijke betrekkingen goed terecht kan vinden, zich
van iemand, die het niet kan, als een ziende van een blinde
onderscheidt, en dat het ruimtevoorstellingsvermogen van kindsbeen
af evenzeer dient ontwikkeld te worden, als het muzikale
gehoor, de lichamelijke behendigheid enz.
Een andere vraag is het echter, of de ruimtelijke
betrekkingen
aan een ieder tot bewustzijn gebracht moeten worden, en zoo
[pag. 4]
ja: of ze hem dan als een geordend samenstel of als losse stellingen
voorgelegd moeten worden. Kortom, of juist het Meetkunde-onderwijs
de geschiktste methode oplevert om aan iedereen de
kennis van de ruimte bij te brengen.
Wat het gebruik van het ruimtelijk inzicht bij het
handelen
aangaat, hier zal wel hetzelfde gelden, wat reeds meermalen bij
andere gelegenheden opgemerkt werd: het weten -- het nadenken --
vertraagt de handeling, verbrokkelt haar. Een schilder,
een stuurman, een jager, een wielrijder zullen hun ruimtevoorstelling
het beste gebruiken, wanneer ze op het beslissende
oogenblik in hun naïviteit door geen weten gehinderd worden.
Ook zou de stelling van Pythagoras of de berekening van het
boloppervlak van weinig nut zijn in zulke oogenblikken.
Er zijn weer andere bezigheden, waarbij de kennis van
eenige
bepaalde -- vooral ook quantitatieve -- ruimtelijke betrekkingen
van groot belang is. Maar het blijkt bij nadere beschouwing, dat
het Euclidische stelsel in zijn geheel ook hierbij best te missen is.
Was het dus slechts te doen om de ontwikkeling van
het
ruimtevoorstellingsvermogen en om de oefening in het gebruiken
daarvan, dan zouden misschien in vele gevallen andere leeraren
hier beter op hun plaats zijn, dan juist leeraren in de Meetkunde.
De Meetkunde heeft echter nog een andere zijde, die
haar een bijzondere kultureele beteekenis verleent: de behandeling
van de ruimtelijke betrekkingen heeft een bij uitstek hooge
mate van logische strengheid bereikt. Velen verwachten daarom,
dat de aanraking met de Meetkunde ook op het denkvermogen
van de leerlingen een bijzonderen invloed zal uitoefenen.
Dat de praktijk aan deze verwachting niet altijd
beantwoordt,
is maar al te bekend. Wat is echter de oorzaak hiervan? Wie
zijn overtuiging (zoowel pro als contra) behouden wil, kan het
immers altijd: men heeft iederen leerling slechts in één
exemplaar, en men kan nooit weten, hoever hij het met zijn logica
gebracht zou hebben zonder Meetkunde-onderwijs. Daarom zal
natuurlijk alles, wat daarover gezegd kan worden, slechts een
gissing blijven. Maar gelukkig berusten dergelijke gissingen op
ervaringen, die iedereen aan zichzelf kan toetsen, en daarom
behoeft geen beschouwing daaromtrent op goed geloof aangenomen
te worden, maar moet slechts als aansporing dienen tot
keuze van eigen standpunt.
Ik behoor tot diegenen, die aan de tot ,,logisch zijn''
opvoedende werking van de Meetkunde wèl gelooven. Mij schijnt het
echter toe, dat het onderwijs daarin meer succes in dit opzicht
[pag. 5]
zal hebben, wanneer men zich duidelijk maakt, wat ,,logisch
zijn'' toch eigenlijk is!
Tot aan het begin dezer eeuw werd van het denkproces
bijna uitsluitend één zijde beschouwd: de formeel
logische. De mislukking, die het nadruk leggen
hierop bii het Meetkunde-onderwijs
ten gevolge had, bewerkte, dat onder de leeraren
1) een nieuwe
strooming ontstond, die door de leus ,,intuïtie'' gekenmerkt is.
De vertegenwoordigers hiervan namen dikwijls zelfs een vijandige
houding tegenover het onderwijs in logische richting aan.
In werkelijkheid werd hierbij echter instinctief niets anders
op den voorgrond gebracht, dan de andere zijde van het denkproces,
die voor het bereiken van logica even noodig is.
Ik zou graag willen laten zien, dat het
Meetkunde-onderwijs slechts dan zijn vruchten ten volle zal dragen,
-- zoowel bij de
ontwikkeling van het ruimtevoorstellingsvermogen, als van de
logica, -- wanneer men aan de intuïtie haar ware plaats in het
denkproces toekent. Daarover later meer.
Hier wil ik nog zeggen, waarom ik juist van de
Meetkunde die logische werking verwacht.
Het is geen toeval, dat de ruimtelijke betrekkingen zoo
bijzonder ver ]ogisch doordacht zijn. Dezelfde oorzaak, die het door
de samenwerking van velen in den loop der eeuwen mogelijk
heeft gemaakt, maakt ook voor ieder afzonderlijk mogelijk dit
kostelijke te beleven: een stuk zijner ervaring door eigen verstand
logisch te ordenen. Deze oorzaak ligt in de onvergelijkelijke
eenvoud der ruimtelijke betrekkingen. Geen ander gebied
2),
waarmee zich de menschelijke geest bezig houdt, is ook in de
verste verte zoo eenvoudig -- tenzij men de overige Wiskunde
meerekent. Op deze heeft de Meetkunde echter vóór, dat de
stof, die ze behandelt, aan ieder mensch uit de dagelijksche
ervaring bekend en bovendien aanschouwelijk gegeven is.
Indien tenminste het denkvermogen werkelijk
gekweekt kan worden, dan is het door zelf bezig zijn, door vorming
van eigen oordeelen, door zelf dat, wat men heeft ingezien, te formuleeren
en tot een logisch stelsel te ordenen. Men wordt hiertoe eerder
aangespoord, indien de stof aanschouwelijk gegeven en niet
ontmoedigend ingewikkeld is.
In het gewone leven denkt men weinig en slechts
afgebroken: [pag. 6]
men vergenoegt zich meestal met afzonderlijke oordeelen en
probeert ze niet tot één enkel stelsel zonder tegenstrijdigheden
te vereenigen. Er zijn menschen, die juist houden van deze
onsamenhangendheid, van een soort wazigheid in hun denkbeelden.
Men moge er nog zoo verschillend over denken, maar dit mag
men niet over het hoold zien: de behoefte om zich tenminste
af en toe rekenschap te geven van het beleefde en om door
anderen in zijn denken begrepen te worden bestaat zelfs bij de
alleronredelijkste menschen. Men kan het reeds bij de kleinste
twisten merken: er ontstaat dikwijls de grootste verbittering
juist wegens de machteloosheid van den een om duidelllk onder
woorden te brengen, wat hij bij intuïtie ziet, en het onvermogen
van den ander om in diens woorden slechts op datgene acht
te slaan, wat voor den spreker het essentieele is. De geoefendheid
in het denken en in het weergeven van hetgeen men heeft
ingezien, zou zeker aan een ieder bij gelegenheid goede diensten
kunnen bewijzen.
II. Wat is logisch zijn?
Dikwijls wordt de logica tegenover de
intuïtie gesteld: de
woorden ,,logisch'', ,,wetenschappelijk'', ,,abstract'' worden als
't ware als synoniemen gebruikt in tegenstelling met ,,intuïtief'',
,,concreet''. Men beweert, dat de intuïtie gedood, vernietigd
wordt door de logica. Kortom men gelooft, dat logisch zijn
beteekent: zich van de intuïtie afwenden.
Tegen deze opvatting werd reeds door de voornaamste
beoefenaars der meest abstracte wetenschappen geprotesteerd, b.v.
door H. Poincaré en F. Klein, terwijl door dezen ook verregaand
de gevolgen voor het Wiskunde-onderwijs zijn getrokken. Ook
L.E.J. Brouwer legt den nadruk op de rol, die de intuïtie
bij het inzicht in de wiskundige begrippen speelt.
Aangezien echter datgene, wat verschillende menschen
omtrent intuïtie en logica beweren, zoo uitéenloopt,
zal het wel gedeeltelijk ook aan het spraakgebruik liggen.
Tot nu toe is men met de analyse van het
denkprocedé niet
zoover gekomen, dat er een vaste terminologie daaromtrent zou
bestaan. De beteekenissen, die verschillende menschen aan het
woord ,,intuïtie'' hechten, hebben wel iets gemeen, maar zijn
niet volkomen identiek. Ik hoop daarom, dat de ]ezer het mij
vergeven zal, indien mijn spraakgebruik bijgeval van het zijne
mocht afwijken. Mijn spraakgebruik berust op de volgende [pag. 7]
opvatting: bij ieder verwerven van inzicbt zijn twéé
stappen uit
elkaar te houden: het zien van een zekeren trek in het beeld,
dat we in ons hoofd hebben, en het zich bewustworden daarvan.
Het element van ,,zich bewustworden'' speelt een voorname rol
bij al de verschillende stappen van het denkproces: bij het
vaststellen en het ordenen van hetgeen aanvankelijk ons intuitïeve
beeld voorstelt, bij het ontdekken van gapingen en tegenstrijdigheden
erin, bij het trachten om die gapingen aan te vullen en
bij het nagaan van den oorsprong dier tegenstrijdigheden. Dit
alles noem ik nu het ,,logische'' werk. Datgene, dat zoo
bewerkt wordt (of ook soms onbewerkt blijft), noem ik ,,intuïtie''.
Het ontwaren van iets zonder er zich rekenschap van te geven en
ook het ordenen daarvan zonder bewustwording reken ik tot
de ,,intuïtieve'' werkzaamheid.
Dat een dergelijke scheiding van het bewuste en
onbewuste in het procédé
van ,,inzien'' in ieder geval gerechtvaardigd is,
kan men aantoonen aan het voorbeeld van het onbewuste handelen,
waarbij het gewaarworden ongetwijfeld aanwezig is en
waarbij van denken -- van logica -- geen sprake kan zijn
(bijv. een snelle doelmatige beweging om een dreigend gevaar
af te wenden, voordat men er zich rekenschap van heeft gegeven,
wat en waarom iets gedaan moest worden). Wat mij echter heel
essentieel toeschijnt te zijn en waar men gewoonlijk, voorzoover
ik weet, niet op wijst, is, dat de logische actie zonder de intuïtieve
onmogelijk is.
Men vertelt, dat Gauss van een van zijn ontdekkingen
gezegd heeft: ,,ich habe den Satz schon gefunden, ich habe ihn nur
noch nicht bewiesen'' -- wat als bewijs wordt aangevoerd, dat
men ook in de Wiskunde op intuitïeve wijze, -- zonder het
,,logische denken'' -- tot een inzicht kan komen. Ook H. Poincaré
spreekt erover, hoe het zoeken en vinden van wiskundige feiten
dikwijls op onbewuste wijze geschiedt, en hij besluit daaruit, hoe
erg noodzakelijk de intuïtie voor een wiskundige is. Dit zijn
echter allemaal gevallen, waarbij het ontwaren en het zich bewust
worden zeer duidelijk door den tijd van elkaar gescheiden zijn
3). -- [pag. 8]
Ik wil er echter den nadruk op leggen, dat ook in de gevallen,
waarbij het begrijpen als 't ware in één enkel -- tijdelijk
ongescheiden -- moment geschiedt, toch beide componenten aanwezig
zijn: steeds ook de intuïtieve. Zonder intuïtie is geen
denken mogelijk.
Er wordt dikwijls gezegd: ,,hij heeft een fout gemaakt,
omdat hij zich op zijn intuïtie verlaten heeft; hij had zijn logica moeten
gebruiken.'' -- In onze spreekwijze zouden we zeggen: ,,hij heeft
de fout gemaakt, omdat hij met zijn intuïtie te slordig is
omgegaan; hij had de eerste indrukken, die hem de intuïtie gaf, beter
moeten ordenen, d.w.z. logisch behandelen: dan zou hij ontdekt
hebben, dat ze niet alle in het totale intuïtieve beeld thuis
hoorden, dat het een of ander in tegenspraak was met het
geheel en door een beter (intuïtief!) element vervangen moest
worden.''
Maar: slaat dit alles ook op het
wetenschappelijke denken?
Heeft men bij dit soort denken niet met een geheel bijzonder
proces te doen, waarbij de intuïtie door de logica vervangen
wordt? We hebben immers nog niets over de formeele logica
gezegd!
Het is een oude bewering, dat men steeds dat duidelijk
zeggen kan, wat men duidelijk begrepen heeft. Daarom is een
in syllogismen geformuleerd bewijs een teeken daarvan, dat men
de stof, waar het om gaat, voldoende doordacht heeft.
Het is echter onjuist, dat de syllogismen het
instrument zelf van het denken zijn.
Bestaat toch het zoeken naar een antwoord in het aanéénrijgen
van syllogismen? Kan een ander,
wien we onze syllogistische redeneering voorleggen, ons volgen,
tenzij hij tegelijkertijd zelf denkt ... op een niet
syllogistische wijze? 4)
De logische vorm -- niet alleen de syllogismen, maar
iedere eenigszins zuivere ééndimensionale
aanéénschakeling der gedachten -- treedt op hoogstens als
afsluiting van een denkproces of als uitgangspunt voor een nieuwe
onderzoeking, daar
men zooals gezegd -- daaraan zien kan, of de vraag
voldoende doordacht is. Maar moge een dergelijke formeele
bewerking nog zoo dikwijls in het denkproces ingeschakeld
worden, het denken zelf is ze niet! [pag. 9]
Het begrijpen van het voorwerp gebeurt niet in die
oogenblikken, waarin men er van abstraheert en zich wendt tot de
formeel-logische betrekkingen tusschen de stellingen, waarmee
het beschreven wordt: in zulke oogenblikken denkt men
natuurlijk ook, maar nu niet meer over dat voorwerp, maar
over iets anders -- over deze formeele betrekkingen. Tot het
voorwerp zelf verhoudt men zich niet meer als een ,,denkende'',
maar als een ,,rekenende''. Zoo is ook de algebraïsche bewerking
der formules uit de Natuurkunde niet het denken over de
natuurkundige betrekkingen zelf, in deze formules weergegeven.
Dat ik het woord ,,denken'' juist reserveer voor dit
eene: voor de bewerking van het intuïtieve materiaal door het
bewustzijn, -- zal wel een kwestie van terminologie zijn. Maar dit
raakt het wezen van de zaak, dat ik in een wetenschappelijk
onderzoek twee dingen onderscheid: het ,,denken'' en het
,,rekenen'' -- in boven genoemden zin -- en dat ik ze daarom
niet beide met hetzelfde woord ,,denken'' aanduid.
Er zijn wel dingen, die we slechts
door rekenen (nu ,,rekenen''
in gewonen zin) te weten zijn gekomen. Maar een ieder kan wel
opmerken, hoe geheel anders dergelijke kennis in hem zit, dan
die, welke hij door het ,,denken'' -- in de beteekenis, die ik
daaraan gaf -- verworven heeft. De door rekenen verworven
kennis kan ook licht door een rekenfout in haar tegendeel
verkeerd zijn en men kan (tenzij men naderhand tracht haar
ook ,,denkend'' in het oorspronkelijke intuïtieve beeld een plaats
te geven) er in loopen: menig goed man van wetenschap zou
uit zijn eigen ervaring iets dergelijks kunnen vertellen.
Maar datzelfde geldt ook voor bet toepassen van de
formeele logica. Overigens, men gebruikt haar al te zelden om werkelijk
iets nieuws te weten te komen. Ook wanneer men met de
formuleering der bewijzen bezig is, ligt de eigenlijke moeilijkheid
in het uitzoeken en op den voorgrond brengen van de praemissen,
die het wezen van de zaak raken: het formeel logische
concludeeren zelf geeft in den regel geen moeite meer -- en
zoomede ook geen nieuwe openbaring -- het is dan een
automatisch gevolg, als het ware.
Aan een probleem kan moeilijk zijn: zich er bewust te
worden, wat men eigenlijk zoekt, hoe men de vragen moet inrichten om
het onderwerp op de doelmatigste wijze in het licht te stellen
-- want ook dit wordt in het begin intuïtief gezien en soms eerst
veel later en met moeite tot bewustzijn gebracht; vervolgens
het ordenen van de door de intuïtie gegeven stof, het verzamelen
[pag. 10] van alles, wat betrekking heeft op de zaak en het weg doen
van het overbodige. Wie dat kan, die is logisch
5).
Het eigenlijke werk der logica geschiedt op die
oogenblikken, waarop de intuïtie tot bewustzijn gebracht
wordt.
Ter illustratie van wat ik met ,,logica'' en
,,intuïtie'' bedoel
en voor later gebruik zou ik de volgende opmerking willen
maken. In de Meetkunde zijn sinds Euclides twee geheel verschillende
takken van wetenschap doorééngestrengeld: de
Ruimteleer en de Axiomatica der Meetkunde. Het
intuïtieve materiaal der
Ruimteleer is datgene, wat het ruimtelijk voorstellingsvermogen
]evert (het komt hierbij niet daarop aan, waarvandaan di laatste
komt). De logische bewerking daarvan bestaat in het uitzoeken
van de meest essentieele ruimtelijke betrekkingen, het formuleeren
en vaststellen daarvan; ook in het vaststellen van betrekkingen.
die het onmiddellijke voorstellingsvermogen te boven gaan en
waar we toch niet aan twijfelen, omdat we een verband zien
met de ons bekende aanschouwelijke betrekkingen
6). Ze maakt,
dat onze kennis van de ruimte rijker en duidelijker wordt.
Het intuïtieve materiaal der Axiomatica zijn al
de stellingen, die voor ons de Ruimteleer vormen
7); de logische bewerking
daarvan bestaat in het op den voorgrond brengen van de meest
essentieele daarvan, waaruit de andere formeel logisch afgeleid
kunnen worden, in het aantoonen van hun (formeel) logische
onafhankelijkheid; ze levert een volmaakter stelsel van stellingen,
een waarin de logische samenhang doorzichtiger is geworden
8).
De inhoud der intuïtie kan bestaan in
zinnelijke waarnemingen
(zooals in de Ruimteleer), maar ook in de resultaten van een
vroegere logische bewerking (zooals in de Axiomatica). Dit is
de tegenstelling tusschen ,,concreet'' en ,,abstract''.
Wanneer ik een zeker intuïtief beeld logisch
bewerk, dan richt ik mijn aandacht op zijn afzonderlijke trekken, zoodat de
overige op den achtergrond treden: dit is ,,abstraheeren''.
Wanneer mij in dit beeld één betrekking speciaal interesseert,
die ik in het begin niet doorzie, dan is het van groot belang,
dat ik slechts die elementen van het beeld uitzoek, die iets
daarmee te maken hebben: om te kunnen denken moet ik de
kunst verstaan van het abstraheeren. In dezen zin kan men
toegeven, dat ,,logisch zijn'' samenvalt met ,,abstract zijn''. Maar
men moet wel bedenken, dat, om te kunnen abstraheeren, men
de betreffende intuïtie, waarvan men abstraheert, onvoorwaardelijk
noodig heeft.
Wanneer men het resultaat van het denken in woorden
uitdrukt, dan krijgt men abstracte zinnen, d.w.z. zulke, die slechts
enkele elementen van het intuïtieve beeld weergeven. Maar hij,
die ze gevormd heeft, beschikt over meer dan dit. En dit geldt
algemeen: wanneer iemand verklaart, dat de uitingen van den
ander ,,te abstract'' zijn, dan is juist hijzelf diegene, die de
noodige intuïtie mist, niet hij, wien de abstractheid verweten
wordt. Hierdoor is de ander natuurlijk toch niet gerechtvaardigd:
wanneer hij zijn inzichten wil mededeelen, dan is het zijn taak
om ervoor te zorgen, dat ieder hetzelfde intuïtieve beeld verkrijgt,
waaruit hijzelf zijn oordeelen en bewijsgronden afleest!
Weliswaar is dit het werk van een kunstenaar en voor een
gewoon mensch in de meeste gevallen uiterst moeilijk. Maar in
menig geval zouden ongetwijfeld vele moeilijkheden vermeden
kunnen worden, indien men niet van het verkeerde axioma
uitging, dat alle menschen van het begin af hetzelfde intuïtieve
beeld in zich hebben.
Het einddoel van het denken -- dat dikwijls slechts
gedeeltelijk bereikt wordt
9) -- is het verkrijgen van een
intuïtief beeld,
dat volmaakter is dan het oorspronkelijke en dat men goed [pag. 12]
doorziet. In dezen zin is het dus niet waar, dat de logica de
intuïtie doodt, zooals dikwij]s beweerd wordt; integendeel ze
verrijkt haar 10).
Ik hoop, dat het mlj` met behulp van mijn terminologie
gelukt is die twee elementen van het denkproces uit
elkaar te houden, die bij het onderwijs slechts door geheel
verschillende middelen ontwikkeld kunnen worden.
III. Kan het Meetkunde-onderwijs de ontwikkeling
van de logica bevorderen?
In aansluiting aan al het voorafgaande zou mijn
antwoord zijn: jawel, mits men maar niet nalaat die voorwaarden te
verschaffen, zonder welke het denken zelf onmogelijk is. Deze
voorwaarden zijn: een voldoende voorraad van intuïtie en de
belangstelling om deze te analyseeren. In het algemeen wordt
hiervoor weinig of niets gedaan: sommigen onder de leeraren
weten niet, hoe noodzakelijk een speciale verzorging hiervan
voor vele ]eerlingen is, ze gelooven, dat het inzicht in de
ruimtelijke betrekkingen synthetisch met behulp van de stellingen
der Meetkunde gevormd wordt (dat deze stellingen iets
anders kunnen zijn, dan bet uittreksel, ontstaan bij. het
analyseeren van de intuïtie, die reeds van te voren aanwezig was);
anderen gaan van de overtuiging uit, dat iedere leerling al
vanzelf de intuïtie, die daarvoor noodig is, bezit -- en bouwen
dan voort op iets, wat in heel vele gevallen niet bestaat (soms
ziet men een eigenaardig verschijnsel: wel is het ruimtelijke
voorstellingsvermogen aanwezig, maar door een misverstand
wordt het door den leerling slechts niet in de Meetkundeles
meegenomen).
Maar al had men ook louter leerlingen, die reeds van te
voren werkelijk over een goed voorstellingsvermogen beschikten,
dan zouden, bij het gebruikelijke onderwijs nog verscheidene
omstandigheden hun ontvankelijkheid voor de ,,logische strengheid''
kunnen afbreuk doen:
1. In de eerste plaats zou het de in de vorige paragraaf
[pag. 13]
genoemde dooréénmenging van twee verschillende
wetenschappen: van de Ruimteleer en van de Axiomatica zijn, waardoor
twee verschillende opvattingen in het spel komen, zonder dat
ze duidelijk uit elkaar worden gehouden. Intusschen heeft reeds
het zoo alarmeerend woord ,,bewijzen'' in deze twee wetenschappen
twee verschillende beteekenissen. In de Ruimteleer
verstaat men onder ,,bewijzen'': de juistheid van een bewering
doen inzien. In de Axiomatica beteekent het: de bewering
logisch op de axioma's herleiden. Het in dezen zin nemende
heeft men geen bezwaar om een stelling voor ,,bewezen'' te
houden, ook al gelooft niemand aan haar geldigheid in de
empirische ruimte -- wanneer men zich met een systeem van
axioma's bezig houdt, dat niet voor de empirische ruimte geldt.
Bij dezelfde beteekenis als zooeven wordt, aan den anderen
kant, een bewijs geëischt, ook al kan men de leerlingen door
geen kunstgrepen aan het twijfelen brengen omtrent eene stelling
-- wanneer slechts die stelling geen onafhankelijk axioma is.
Wanneer de leeraar zich niet bewust is van dit
onderscheid en, als trouwe dienaar der Wetenschap, de leerlingen ervan
tracht te overtuigen, dat zonder het bewijs van een vanzelfsprekende
stelling hun geheele meetkundig weten op onzekere
grondvesten gebouwd zou zijn, dan kan dit licht de gemoederen
in twijfel brengen aangaande de ,,ernst der Wetenschap''.
Natuurlijk is het geen toeval, dat de opvattingen
afkomstig uit beide genoemde wetenschappen zoo vermengd zijn in het
onderwijs: ze gaan ook werkelijk ongemerkt in elkaar over en
verschillende individuen zullen de grens op verschillende plaatsen
trekken. Hoe sterker iemand in het denken is, des te meer
betrekkingen zullen voor hem niet vanzelfsprekend zijn -- want
hij zal eerder andere mogelijkheden kunnen aangeven.
Laten we bijv. het vraagstuk beschouwen: door drie
punten een cirkel te trekken. Om het middelpunt te vinden gebruiken
we, zooals bekend is, slechts twee van de drie verbindingslijnen
der drie gegeven punten. Het middelpunt is het snijpunt der
middelloodlijnen van deze verbindingslijnen. Het bewijs daarvan
geeft geene moeilijkheden. Maar dan doet zich de vraag voor:
zal de middelloodllijn van de derde verbindingslijn door datzelfde
snijpunt gaan? De intuïtie doet dit onmiddellijk verwachten.
Iemand, die logisch ontwikkeld is, zal tóch de behoefte hebben
om de reden hiervan precies vast te stellen, wat hem ook
gemakkelijk zal lukken. Maar voor een middelmatigen leerling
zal het nauwelijks mogelijk zijn om zijn aandacht daarop te
[pag. 14]
concentreeren. Doch wellicht verkrijgt de vraag ook voor hem
een meer reëele beteekenis, indien men haar zoo formuleert:
,,krijgt men niet drie verschillende cirkels, wanneer men telkens
van een ander paar verbindingslijnen uitgaat?'' (Denk maar aan
de constructie van een driehoek, wanneer drie zijden gegeven
zijn: daar krijgt men toch ook meer dan één driehoek, hoewel
de intuïtie eerst schijnt te zeggen, dat een driehoek door de
drie zijden volkomen bepaald is!) -- Zoo kan dikwijls het doel
van een bewijs, dat axiomatisch scheen, in een zakelijk licht
gesteld worden.
Ik ben er verre van verwijderd om het axiomatische
standpunt principieel uit het onderwijs te willen uitschakelen. In
tegendeel, ik acht het van groote praktische beteekenis, dat
iemand zich niet alleen voor de juistheid van zijn opvattingen,
maar ook voor den oorsprong en de logische reden daarvan
interesseert; dit verschaft ook een betere garantie voor de
juistheid dier opvattingen, òf wel het doet de betrekkelijkheid
daarvan inzien: veel onverdraagzaamheid zou daardoor vermeden,
vele nieuwe mogelijkheden verwezenlijkt kunnen worden ...
Maar ook bij iedere nog zoo nuchtere aangelegenheid, waarbij
wij de een of andere bewering willen toetsen, zijn wij genoodzaakt
om uit onzekere praemissen conclusies te trekken en pas
later op grond van de gevolgtrekkingen te beslissen, of die
praemissen geloofwaardig zijn, ja of neen -- en dat heet toch
het axiomatisch standpunt innemen!
Maar hoe men de leerlingen met den axiomatischen
gedachtengang vertrouwd moet maken, is een andere vraag. Dikwijls
wordt gezegd: het kinderlijk gemoed is niet vatbaar voor
,,wetenschappelijk denken'' en heert een meer op de intuïtie
gerichte uitlegging noodig. -- Nu, hoe noodzakelijk het intuïtieve
is voor elk denken en elken leeftijd, hebben we reeds besproken.
De onverschilligheid echter, die vele leerlingen na de eerste
meetkundelessen voor de ,,streng logische'' bewijzen toonen, kan
heel natuurlijk daardoor verklaard worden, dat het op zichzelf
onmogelijk is belangstelling te hebben voor het standpunt der
Axiomatica voordat men het stelsel van de stellingen, die geaxiomatiseerd
moeten worden, d.w.z. de Ruimteleer, heeft
]eeren kennen. Betrekkelijk weinig individuen hebben de instinctieve
neiging tot herleiden van de eene stelling op de andere
zonder naar het verdere doel daarvan te vragen. De meesten
kunnen zich alleen voor de Ruimteleer interesseeren, waarvoor
ze -- heusch niet zonder recht -- de Meetkunde aanzien. En
[pag. 15]
hierbij krijgen ze genoeg gelegenheid om hun logica te scherpen.
En wanneer men met deze natuurlijke neiging rekening
wilde houden, dan zou dit tegelijkertijd ook logischer
zijn 11).
De kenoismaking met de Axiomatica en ook met vragen
van kennistheoretischen aard (natuurlijk, niet in overdreven mate)
zou veel meer op haar plaats zijn na de beëindiging van den
systematischen cursus der Ruimteleer. Wanneer dit dan den leeraar
lukken zou, dan zou dit, naar ik meen, meer bijdragen tot de
ontwikkeling van den leerling, dan het verrijken van zijn kennis
met een paar kunstgrepen ter oplossing van vraagstukken. Ik
geloof trouwens, dat dit ook voor leerlingen geldt, die zich later
in wiskundige vakken zullen specialiseeren.
2. Het andere gevaar ligt in de gebruikelijke methode
van onderwijs, die het misschien geoorloofd zal zijn de ,,methode
van volharding'' te noemen. Deze bestaat daarin, dat men den
leerlingen de resultaten van het denken van anderen tracht in
te prenten, door ze de bewijzen, hun kant en klaar gegeven,
te laten herhalen, in de verwachting, dat ze op den duur zóo
aan den bewijsvorm gewend zullen raken, dat ze daardoor ook
zelf zuiverder zullen gaan denken. Hierbij vergeet men echter
het volgende: de euclidische vorm der bewijzen is een praegnante
samenvatting der resultaten van een denkproces, maar geen
reproductie van het denkproces zelf. En daarom kan men er niet
uit leeren, hoe men zoeken moet, maar slechts, hoe men het
gevondene moet formuleeren.
Om van dit voordeel gebruik te maken, moet men eerst
zelf de zaak gezocht en gevonden hebben; dan alleen kan
men het apprecieeren, hoezeer een zuivere en beknopte formuleering
er toe bijdraagt, om de laatste resten van onduidelijkheid,
die in onze gedachten eventueel nog gebleven waren, geheel te
verwijderen 12). [pag. 16]
Er zijn, natuurlijk, wel leerlingen, die dadelijk
begrijpen, waar het op aankomt. Voor hen is de euclidische vorm van uitleggen
een voldoende wenk voor wat ze zich hebben voor te stellen, in
welke richting ze zelf moeten denken. Ze schelden niet met
,,abstract'', omdat ze zelf reeds de noodige intuiïtie bezitten.
Maar bij de anderen moet er eerst voor gezorgd worden,
dat hun de vragen, waar het om gaat, niet abstract voorkomen,
dat ze het doel van het bewijzen aanvaarden: dan zullen ze ook
aan het denken raken!
3. Een derde gevaar voor de logica is de overlading van
den cursus.
Euclides heeft twee waardevolle dingen getoond: 1) hoe
men een bewijs tot de hoofdzaak reduceert, en 2) hoe men uit
een intuïtief materiaal het voornaamste uitzoekt en zoo ordent,
dat ieder bestanddeel daarvan zoo gemakkelijk mogelijk in te
zien en te bewijzen is.
Wie den geest, hierin opgesloten, in zich opgenomen
heeft, van dien kan men zeggen, dat hij bij Euclides geleerd heeft
logischer te zijn. Deze geest wordt echter op den achtergrond
gedrongen, wanneer men in de opbouw van het systeem stellingen opneemt,
die niet strikt noodzakelijk zijn voor de afleiding
van die betrekkingen, waarom de geheele opbouw eigenlijk
ondernomen is. Dat, wat in de Elementaire Meetkunde tenslotte
verkregen wordt, zijn de quantitatieve betrekkingen ter berekening van het
oppervlak en het volumen van den bol. Dat, wat
men noodzakelijk weten moet om deze af te leiden, is voldoende
om zich ook op elk ander gebied terecht te vinden, waar het
op de ruimtelijke betrekkingen aankomt, voorzoover men zich
tenminste niet in het bijzonder erin verdiepen wil. Het zijn de
stellingen over de congruentie en de gelijkvormigheid van driehoeken,
de stelling van Pythagoras, de berekening van het
oppervlak van parallelogram en driehoek bij gegeven basis en
hoogte; de berekening van het volumen van een parallellepipedum,
de stelling omtrent de gelijkheid der volumina van pyramiden
met gelijke bases en hoogten, de berekening van het
volumen van een pyramide en tenslotte het begrip der limiet
bij de definitie van grootheden, die bij de behandeling van den
cirkel, de omwentelingskegel en den bol ter sprake komen.
Voor iemand, die zich later nooit meer met de Wiskunde zal
bezig houden, is bet zeker voldoende
13).
Maar wanneer hij vele [pag. 17]
afgeleide stellingen en toepassingen leeren moet, die uitteraard
minder eenvoudig zijn, dan het fundamenteele stelsel en hem
daarom ook veel meer zorg baren, dan verliest hij den draad
en behoudt, na afloop van het onderwijs, in zijn geheugen juist
alleen deze enkele op zichzelf staande stellingen.
Vele leeraren zijn van meening, dat een stelling uit het
fundamenteele systeem (laten we bijv. de stelling van Pythagoras
nemen), dan eerst goed begrepen wordt, wanneer de leerlingen
zich geoefend hebben die stelling bij allerhande vraagstukken
toe te passen. Wanneer men de zaak nader beziet, dan merkt
men, dat bij dergelijke toepassingen de moeilijkheid niet in de
toepassing van de stelling van Pythagoras ligt, maar in het
gebruik van velerlei kunstgrepen, waarvoor niet het begrijpen
van deze stelling vereischt wordt, maar een speciaal-meetkundig
uitvindingsvermogen, dat men bij een niet-meetkundige toch niet
aan zal kunnen kweeken. Of de stelling zelf begrepen of niet
begrepen wordt, hangt echter hiervan af, wat de leerling
daarvóór heeft leeren beheerschen. Hoe belangrijk de
stelling is,
komt het beste uit, indien men laat zien, dat zij ten grondslag
ligt aan alle belangrijke berekeningen, die verder in den loop
van den cursus voorkomen, en ook, hoe vaak zij in vragen uit
de practijk toegepast kan worden (zonder kunstgrepen!).
Het leeren van vele gevolgtrekkingen, waarvan ieder in
het een of ander geval als ,,hulpstelling'' gebruikt kan worden, heeft
nog eeh schadelijk gevolg: de leerling tracht -- wanneer het
er op aankomt -- uit zijn geheugen zoo'n éens bewezen
formule, die wellicht op het gegeven geval van toepassing kon
zijn, voor den dag te halen in plaats van te probeeren zich
langs een natuurlijke weg, door toepassing van enkele weinige
fundamenteele stellingen er zelfstandig doorheen te slaan. Dit
heeft vooral betrekking op de projectiestelling, Stewart enz.,
enz., die toch niets dan gealtereerde toepassingen van Pythagoras zijn.
De logica dient vooral daarvoor, om het onderzochte als
't ware in te dampen, om met een gering aantal draden het
verband van het geheele gebied te bewerkstelligen. Daarom
[pag. 18]
schijnt mij de overlading gewoonweg een vergrijp tegen de
eischen der logica te zijn.
Evenals de bewijsvorm van Euclides slechts dan
gewaardeerd wordt, wanneer men haar, door er zelf in te zoeken, zich eigen
heeft gemaakt, evenzoo kan ook de opbouw van het geheele
stelsel voor iemand slechts door eigen werkzaamheid doorzichtig
worden. Hiertoe kan gelegenheid gegeven worden, doordat men
dadelijk bij bet begin het einddoel van de onderzoeking laat
zien, en verder de voornaamste stappen, die daaraan vooraf
moeten gaan. De leerlingen kunnen dan probeeren vast te
stellen, wat men eerst weten moet om zoo'n overgangsvraag
te kunnen beantwoorden en wat weer noodig is om dit te
weten. Zij, die hiertoe niet in staat zijn, zullen dan tenminste
iedere te bewijzen stelling met meer begrip tegemoet zien.
De leerlingen zullen vanzelf actief-doortastend
tegenover den
opbouw van het systeem komen te staan, wanneer men niet
dadelijk met den systematischen cursus begint, maar er een reeks
besprekingen en oefeningen aan vooraf laat gaan, die den ]eerlingen
een veel uitgebreider inzicht in de ruimtelijke betrekkingen
als grondslag geven. De systematische cursus doet zich dan voor
als een doelmatige analyse van alles, war men in de ,,reëele''
ruimte heeft gezien, als oplossing van vragen, die men in de
praktijk tegenkomt. Deze vragen zullen echter vooral op de
laatste stellingen van den cursus betrekking hebben -- en zoo
zal dan tevens aan den geheelen opbouw van den systematischen
cursus een richting gegeven worden.
Het programma, waarvan ik succes voor de
ontwikkeling der
logica zou kunnen verwachten, zou dus het volgende zijn:
1. In de eerste plaats een propaedeutische
cursus, waarin geen
stellingen bewezen worden, maar verschillende voorbereidende
oefeningen worden gemaakt om het ruimtelijke voorstellingsvermogen te
ontwikkelen. Daarover meer in het volgende
hoofdstuk.
2. Een systematische cursus, die zich echter
in het volgende
van de gebruikelijke moet onderscheiden:
a) Een stelling wordt alleen dan bewezen,
wanneer ze minstens
voor éen leerling in de klas niet evident is; de evidente stellingen
worden uitdrukkelijk als (voorloopige) axioma's aangenomen.
b) Het vaststellen, formuleeren en bewijzen
der stellingen geschiedt -- wel niet zonder leiding van den leeraar, maar toch
met verregaande medewerking der leerlingen zelf. Na een ,,propaedeutischen''
cursus zal dit ook mogelijk zijn [pag. 19].
c) De inhoud van den cursus moet zoo
beknopt mogelijk zijn.
3 Een axiomatische herziening vat het geleerde; waarbij
vele der ,,voorloopige axioma's'' ,,bewezen" worden.
Nadat de leerlingen zich aan de hand van problemen van
den systematischen cursus -- die zij steeds met hun verstand
accepteeren konden -- in de techniek van het bewijzen geoefend
hebben, zal dit ook gemakkelijk te doen zijn.
Eenige kennismaking met vragen der axiomatica en
kennistheorie zou hier welkom, maar niet voor iederen leeraar en
iedere klas verplicht zijn.
Het geheele onderwijs moet doordrongen zijn van het
verband tusschen de meetkundige stellingen en de ruimtelijke
betrekkingen, waarmee men in de stoffelijke wereld te doen heeft.
De leerlingen moeten de begrippen en betrekkingen, die ze in
de Meetkunde geleerd hebben, in ieder probleem uit de praktijk
kunnen herkennen.
IV. De propaedeutische Meetkunde-cursus.
De intuïtieve inhoud van de Ruimteleer wordt door
de zinnelijke waarnemingen verworven: men kan nog zoo verschillende
opvattingen omtrent de aprioriteit der ruimtelijke voorstellingen
hebben -- toch zal men gemakkelijk waarnemen, dat men zich
die configuraties beter voorstelt, welke men meer gezien en
betast heeft. Het is daarom zeker een vooruitgang, dat de
meetkundeleeraren nu hun aandacht op de ,,laboratorium-methode''
van onderwijs gaan vestigen. Toch heb ik in hooge mate iets
tegen de leerboeken, in dezen geest geschreven. Wat ik op dit
gebied gezien heb (het is mogelijk, dat mij het één of ander
boek ontgaan is, dat juist anders is!), bezit een gemeenschappelijken
trek: men vindt meer het ontvlieden van de ,,strenge
logica'', dan werkelijk een verrijking van den inhoud van den
cursus met ruimtelijke beelden.
Het komt er eigenlijk op neer, dat men toch de
stellingen van Euclides leert, alleen bewijst men ze niet ,,more
geometrico,'' maar ,,more physico'' -- of ongeveer zoo.
Dit wijst er echter op, dat men ook de physische
methode misverstaat: niemand zet een physisch experiment op touw met
de bedoeling om de gevolgtrekkingen uit vaststaande feiten te
toetsen: deze worden in de Natuurkunde precies evenzoo door
denken afgeleid, als in de Meetkunde -- daarvoor heeft men
[pag. 20]
immers zijn denkvermogen, om zich het overbodige experimenteeren
te besparen!
Bij de vragen der Elementaire Meetkunde op school
bestaat geen der beweegredenen, die tot het experimenteeren aanleiding
geven: de grondhypothesen zijn ook zoo voor iedereen duidelijk,
zoodra hij maar begrepen heeft, waarom het gaat; de afwijkingen
daarvan in de stoffelijke wereld -- welke door de gravitatietheorie
waarschijnlijk zijn gemaakt -- zouden bij den graad van
nauwkeurigheid van leerlingen-experimenten toch niet getoetst
kunnen worden; terwijl die gevolgtrekkingen daaruit, met welke
men zich in den gewonen cursus bezig houdt, niet zoodanige
onoverwinnelijke moeilijkheden in rekenkundig opzicht met zich
brengen, dat ze rechtvaardigen zouden om een berekening door
experimenteeren te gaan vervangen.
Bovendien is het experimenteeren lang niet altijd het
beste middel om de noodige intuïtie te verschaffen. Men vergelijke
bijv. het bewijs van de stelling omtrent de som der hoeken in
een driehoek volgens de proef-methode met het bewijs daarvan
volgens de methode van Euclides. Een zuiver empirisch bewijs
zou het volgende zijn: bij verscheidene stoffelijke driehoeken
meet men de drie hoeken -- bijv. in graden -- en telt de drie
zoo verkregen getallen telkens bij elkaar op.
Bij het optellen zelf ondervindt men niets, waaraan men
zou kunnen merken, dat het de hoeken van eenzelfden driehoek
zijn die men optelt; deze omstandigheid speelt hier de vale rol
van een abstract weten. -- Euclides laat daarentegen een evenwijdige
lijn trekken, met behulp waarvan hij in de gedachten
alle drie hoeken aan een gemeenschappelijk hoekpunt aan elkaar
legt. Hij, die vroeger de gelijkheid der overeenkomstige hoeken
bij evenwijdige lijnen heeft leeren zien, ziet nu niet alleen, dat
de uitgezette hoeken samen een gestrekten hoek vormen, maar
hij ziet ook, dat het daarom is, omdat de beide uitgezette
hoeken aan eenzelfde rechte lijn liggen (de basis van den driehoek),
die evenwijdig is aan de hulplijn, en omdat de beide transversalen
(zijden van den driehoek) zich in het derde hoekpunt
snijden, kortom: omdat het de hoeken van éénzelfden
driehoek lijn.
Het is, natuurlijk, niet moeilijk ook bij de empirische
behandeling van dit probleem de elementen in te voeren, waar
Euclides op gewezen heeft en die de intuïtie zoo bevorderen
(door bijv, de hoeken niet in getallen uit te drukken, maar ze
als meetkundige grootheden uit te zetten -- bijv. van een
papieren driehoek twee hoekpunten afsnijden en ze tegen den
[pag. 21]
derden hoek aanleggen). Maar dat, waar ik den nadruk op wilde
leggen, is, dat menige logische methode meer aanraking met de
intuïtie onderhoudt, dan menige experimenteele methode.
Men ziet dikwijls over het hoofd, dat juist de Euclidische
14)
rangschikking van het materiaal zoo geschikt hiervoor is
15).
De praestatie der logica bij Euclides is juist deze: het
aanschouwelijk gegeven materiaal zoo te ordenen, dat de stellingen,
die men noodig heeft, bijna vanzelf in de hand vallen.
Terwijl de proeven-methode niets anders vermag, dan
eenvoudig enkele regels zonder samenhang met de andere vast te
stellen, maakt Euclides, dat men ze intuïtief inziet,
doordat hij
ze in een aanschouwelijk verband brengt met andere, die men
reeds ingezien heeft. De logische methode krijgt dus iets vóór
zoowel wat betreft de zekerheid en algemeengeldigheid van
haar uitkomsten, als ook wat betreft de aanschouwelijkheid.
Men kan nog verschillende tegenwerpingen tegen de
experimenteele behandeling van de Euclidische stellingen maken.
Indien men van plan is om ze toch later in een
systematischen
cursus te behandelen, dan moet men den leerlingen niet bij
voorbaat de vreugde van het zelf ontdekken (langs den weg van
denken) ontnemen.
Verder: wanneer men eerst het empirisch vasbtellen van
een betrekking voor een ,,bewijs'' heeft uitgegeven, zal men de
leerlingen er niet licht toe kunnen bewegen om weer naar een
bewijs te luisteren. En bovendien nog: de totale inhoud van de
Meetkunde-cursus is niet van dien aard, dat de leerlingen bij
herhaling ervan nog dezelfde belangstelling er voor zouden hebben.
De stellingen toch, daarin behandeld, zijn niet zoozeer interessant
op zichzelf, als wel door haar verband met een breedere
en veelzijdige ervaring, waarvan ze een résumé geven, en
waarvoor ze een middel zijn om deze geheel uit één
gemeenschappelijk oogpunt te overzien.
Den leerlingen deze ervaring te verschaffen
moet, volgens
[pag. 22]
mijn overtuiging, het doel van den propaedeutischen cursus zijn,
en de laboratorium-methode moet hen niet met de meetkundige
stellingen, maar met meetkundige begrippen vertrouwd maken.
Ik wil dit weer aan het voorbeeld van de som der
hoeken in een driehoek duidelijk maken. Hoe verkeerd het mij ook
schijnt, de algemeene stelling daaromtrent proefondervindelijk
te willen bewijzen, toch vind ik het nog zoo kwaad niet, dat
men den leerlingen bij gelegenheid de som der hoeken van
enkele stoffelijke driehoeken eerst laat schatten en daarna uitmeten.
Men bedenkt niet genoeg, voor hoevele leerlingen de
woorden ,,hoek'', ,,optellen van hoeken'', ,,driehoek'', ,,meten'',
enz. -- ,,abstract'' zijn! Het uitvoeren van die empirische manipulaties
maakt, dat de leerling zich de beteekenis dier woorden
levendiger inprent; de herhaling aan gewijzigde bijzondere
gevallen maakt die begrippen ruimer. Het doel van dergelijke
oefeningen moet zijn, dat bij het noemen van een meetkundige
figuur de leerling in zijn verbeelding ieder bijzonder geval, op
alle mogelijke wijzen in de ruimte georienteerd, zich voor kan
stellen. De teekeningen op het bord moeten voor hem niet de
objecten zelf van het leeren zijn, maar slechts schematische
afbeeldingen van dat, wat hij gezien en zich voorgesteld heeft,
moeten symbolen van de daariut door hem zelf gevormde
begrippen voorstellen.
Er zijn zoovele vragen, waarbij het er slechts op
aankomt, om zich de configuraties goed voor te stellen, waarbij geen
voorkennis vereischt wordt, en die zelfs voor de beste leerlingen
niet triviaal zijn, maar die in den systematiscben cursus geen
plaats zouden vinden. Men kan ze met problemen van praktischen
aard verbinden (ik bedoel met ,,praktisch'' niet uitsluitend
,,nuttig bij den strijd om het bestaan'', de problemen mogen
ook aan de spelbelangstelling en aan aesthetische of wetenschappelijke
behoeften der leerlingen aansluiten). Daarbij leeren ze,
dat de ruimte iets aan de physische wereld is, dat een bijzondere
studie verdient. Na dit alles zou het systematisch onderzoek
daarvan den leerlingen als iets natuurlijks en gewenschts voorkomen.
De van te voren verworvene vertrouwdheid met de
voornaamste meetkundige begrippen en de gebruikelijke notaties
zou een kwaad voorkomen, dat dikwijls in het begin van het
meetkunde-onderwijs ondervonden wordt: men heeft tegelijk
met verscheidene moeilijkheden te strijden: én met het niet
gewend zijn aan de terminologie, én met het gebrek aan
voorstellingsvermogen zoodat aan de laatste moeilijkheid, welke
[pag. 23]
eigenlijk in den systematischen cursus de volle aandacht vereischt:
de logische bewerking van de stof, zeer te kort wordt
gedaan.
De leeraren, welke met kinderen te doen hebben, die
een propaedeutiscben cursus achter zich hebben, constateeren ook,
hoezeer deze hun te stade is gekomen
16).
Wat den aard der oefeningen betreft, -- van het grootste
nut zou, zooals gezegd werd, de laboratorium-methode zijn,
d.w.z. het werken met stoffelijke voorwerpen dat in meten,
teekenen, uitknippen, p]akken, boetseeren, enz. bestaat. Aangezien
echter het doel is: de ontwikkeling van het voorstellingsvermogen,
moet men vooral trachten te bereiken, dat de leerlingen
zich eerst iedere figuur, waarvan sprake is, probeeren
voor te stellen en hun voorstelling pas daarna aan reëele
voorwerpen toetsen en corrigeeren.
Hoe lang men dergelijke oefeningen zou moeten
voortzetten, zou van de algemeene ontwikkeling van de klas
afhangen -- niet langer dan noodig is om de leerlingen rijp te maken voor
den systematischen cursus. En in ieder geval moet men daarop
aansturen, dat ze het bestaan van een zekere regelmatigheid in
de ruimtelijke betrekkingen beginnen te gissen, dat ze er ten
slotte naar verlangen om deze betrekkingen precies vast te
stellen -- of het tenminste heel natuurlijk vinden, dat men zich
daarmee gaat bezig houden.
V. Eenige voorbeelden van vragen, die voor een
propaedeutischen cursus geschikt zouden zijn.
Het schijnt mij verkeerd om voor den prop. c., dien ik
voor oogen heb, een systematisch geordende verzameling vraagstukken
neer te schrijven: het gaat hier toch niet om bepaalde dingen,
die men op alle scholen op dezelfde wijze moet ,,leeren''.
Ieder leeraar kan veel beter volgens zijn eigen smaak en in
overeenstemming met de andere bezigheden en het karakter
van de leerlingen de voorbeelden uitzoeken en er zooveel
mogelijk uithalen.
Alleen heb ik van vele leeraren het bezwaar gehoord,
dat [pag. 24]
het gebied der Meetkunde zoo beperkt is, dat men per se op de
Euclidische stellingen aangewezen is, zoodra men naar iets
zoekt, wat door een beginnende te vatten is. Daarom zou ik
eenige categorieën van vragen willen noemen, alleen om te
laten zien, hoe ruim de keuze is, in werkelijkheid.
I. Het verschil tussen de rechte en andere
lijnen.
Toetsen, of een lineaal recht is, door hem op
verschillende
wijzen door twee bepaalde punten op een blad papier te leggen
en daarlangs met potlood een lijn te trekken. Critiseeren van
de methode (als de lineaal een cirkelvormige bocht heeft, kan
dit niet ontdekt worden door verschuiving langs die twee vaste
punten; het draaien om een vast punt in het papiervlak is ook
niet beslissend (welke afwijking van de rechtlijnigheid ontgaat
daarbij aan de contrôle?) Wat gebeurt er met den rand van die
lineaal, wanneer deze om de as door twee vaste punten gewenteld
wordt? -- als de rand recht is en als dit niet het geval is?
De weg, dien de verschillende punten van een voorwerp
bechrijven, wanneer men twee punten daarvan vasthoudt.
De as. Het beschrijven van rotatie-oppervlakken door
verschillende andere lijnen. Opzoeken van rotatie-oppervlakken in
de kamer en vaststellen der vorm van de lijnen, door wier
omwenteling ze beschreven kunnen worden (veelduidigheid). Toepassing
bij het werken met de draaibank, bij fabrikage van potten.
2. Het vervolgen van de rechte lijn tot in het
oneindige.
Zich duidelijk de rechte lljn voorstellen, die door twee
bepaalde punten in de kamer loopt. Waar doorboort ze de muren
of het plafond en den vloer van de kamer? Hoe loopt ze verder
door de daarboven of daarnaast liggende kamers? -- en nog verder?
Toelichten aan doozen, die zoo, als de kamers, aan elkaar zijn
gelegd. Hoe ligt de lijn ten opzichte van de rotatieas van de
aarde? Toelichten aan den globus.
3. De rechte lijn als de kortste afstand tusschen
twee punten in de ruimte.
Een gespannen touw tusschen twee punten, als er niets
tusschen ligt en als een voorwerp zich daartusschen bevindt -- zich
den vorm van het touw in beide gevallen voorstellen. Een gespannen
touw op een oppervlak. De kortste afstand tusschen
twee plaatsen op de aarde -- door den aardbol heen gemeten of
langs het oppervlak. In welke richting loopt de kortste verbindingslijn
(op het aarde-oppervlak) tusscheo Rotterdam en
Batavia (Zuid, Oost, Noord, West?) Aan den globus vaststellen!
Geodetische lijnen op verschillende oppervlakken.
[pag. 25]
4. De lichtstraal als rechte lijn.
Als ik door twee gaatjes naar een punt wil kijken, hoe
moeten de gaatjes dan gelegen zijn? Wat moet eraan veranderd worden,
wanneer ik tusschen die beide gaatjes een glazen prisma inschuif?
De vorm der schaduw van een voorwerp. De
schaduwruimte, haar begrenzing -- de kegelmantel.
5. Schatten en daarna meten der
lengten van verschillende
voorwerpen in de kamer. Schatten, hoe dik wordt een cirkelvormige
cilinder, dien men uit een vierkant stuk papier maakt.
6. Het verschil tusschen een plat vlak en andere
oppervlakken.
Kan ik ieder oppervlak vouwen? Welke oppervlakken
kan ik wél vouwen? Kan ik een kegelmantel in ieder zijner punten
langs iedere richting vouwen? Welke oppervlakken kan ik op
de tafel afwikkelen? Fabriceeren van regelvlakken uit papier en
uit gespannen draden.
7. Ligging van rechte lijnen ten opzichte van
elkaar. Opzoeken
van evenwijdige en zich kruisende lijnen in de kamer. De ligging
van verschillende ribben van een tetraeder en van andere polyeders
ten opzichte van elkaar. Zoeken naar een definitie van
evenwijdige lijnen.
8. Hoeken. Vergelijken der grootte van
verschillende hoeken
van polygonen, die de grensvlakken van verschillende voorwerpen
in de kamer vormen: schatten en meten door papieren
hoeken te maken. Som der hoeken, die in een hoekpunt van
een polyeder samenkomen. De hoek aan den top van een ontwikkeld
kegeloppervlak. De hoek, dien de minuutwijzer van een
klok in een minuut, een kwartier, een uur, drie uren beschrijft.
Hoeken, waaronder wij verschillende afstanden zien. Schijnbare
vermindering van een voorwerp bij vergrooting van zijn afstand
van ons. Schatten van hoeken, waaronder wij verschillende dingen
zien, en de uitkomsten toetsen door meten. Schatten van den
hoek, waaronder wij de maan zien, vergelijken met den hoek.
waaronder wij andere voorwerpen zien, toetsen door ons zoo te
p]aatsen, dat die voorwerpen de maan bedekken (een interessant
experiment, dat toont, hoe wij ons in het schatten van de
hoek-grootte van den maan vergissen).
Middelpuntshoeken en bogen. Rechte hoeken. Hiervan
een definitie trachten te geven. Voortbrengen door vouwen van papier.
Over welken hoek hebben wij ons in het geheel gedraaid
bij de wandeling langs al die straten, van ons huis naar school?
17)
[pag. 26]
Hoeken tusschen twee platte vlakken. Drie- en
meervlakshoeken. Bekijken, zich voorstellen, perspectivisch teekenen naar
het geheugen van verschillende polyeders.
9. Rotatiesnelheid. Vergelijken van de
rotatiesnelheden van
de drie wijzers van een horloge. Rotatiesnelheid van verschillend
groote wielen van een wagen; van de aarde. De relatieve snelheid,
waarmee wij uit den trein voorwerpen zien bewegen, die
zich op verschillenden alstand van ons bevinden. De maan loopt
met ons mee. Verklaar dit.
10. Symmetrie. Centrale symmetrie in het
platte vlak en in de ruimte. Symmetrieas van tweede, derde enz. orde.
Symmetrielijn, symmetrievlak. Opzoeken in de omgeving en zelf
fabriceeren van voorbeelden. Kristalmodellen.
Bij het fabriceeren vsn de eenvoudigsre modellen uit
karton komen vanzelf de meer quantitatieve vragen op, welke den
overgang tot de systematischen cursus heel natuurlijk maken.
11. Vlakke doorsneden. Als ik door een
punt van de ribbe
van een tweevlakshoek een plat vlak aanbreng, is de doorsnede
een hoek. Bij welke ligging van dat vlak krijg ik den grootsten
en bij welke den kleinsten hoek? Als ik dit vlak telkens door
een bepaalde rechte lijn laat gaan, die de ribbe snijdt, kan het
nog oneindig vele standen hebben. Hoe verandert de hoek van
doorsnede, wanneer ik het vlak om die lijn laat wentelen?
Vlakke doorsneden van polyeders -- zich
voorstellen, uit
vrije hand teekenen, toetsen aan plastilinmodellen. Verandering
van de doorsnede bij parallel-verschuiving van het snijvlak, bij
draaien ervan om een bepaalde lijn.
Schaduwen op een muur. De zon als
lichtbron: kan de schaduw
van een dunnen gespannen draad vier meter breed zijn? Welken
vorm kan de schaduw van een bol hebben? Een ,,puntvormig''
licht van een lantaarn als lichtbron: welke vormen kan de
schaduw van een gulden hebben? Voorzie de lantaarn van een
kap met een cirkelvormige opening en bestudeer den vorm der
lichtplek op een muur bij verschillende orientaties van de
lantaarn.
12. Knippen van figuren uit karton,
uit welke men door
vouwen een bepaald model kan maken -- zonder ze in stukken
te moeten knippen. Het patroon van een kegelmantel, van een
rok, van een lampenkap; van een kubus, van het model van een huis.
13. Graden van vrijheid. Hoeveel
gegevens zijn noodig om
de ligging van een punt in de ruimte, op een oppervlak, op
een lijn precies te bepalen? Welke gegevens kunnen dat zijn?
Ik weet, dat iemand duizend meter van zijn huisdeur verwijderd
[pag. 27]
is: waar moet ik hem zoeken? Hoeveel en welke gegevens zijn
nog meer noodig om zijn plaats precies te bepalen?
Hoeveel verschillende driehoeken kan ik teekenen met een
gegeven basis en aanliggenden hoek? Wanneer alleen de basis
gegeven is? Met welke punten van het vlak kan de top samenvallen --
in het eerste en in het tweede geval? Hoeveel graden
van vrijheid heeft een bepaald mechanisme? (bijv. een fiets, een
naaimachine enz.) Hoeveel verschillende hoeken kan ik teekenen
met drie gegevens? Indien drie hoeken gegeven zijn? Dit laatste
is ook een vraag, die geschikt is om voor een systematisch
onderzoek in te leiden.
14. Topologie der lijnen in de ruimte.
Iets, wat voor de meeste
menschen veel moeilijker schijnt te zijn, dan de topologie der
vlakken. Het gebruik van de stereoscoop kan hierbij van veel nut zijn.
Een knoop duidelijk teekenen -- eerst uit de phantasie,
dan nakijken. De topologie der draad in een heel kort stuk van een
breiwerk. Verschillende soorten van knoopen. Band van Moebius.
Puzzles. Doorsneelijn van twee cylinders, van twee willekeurige
oppervlakken van den tweeden graad.
De mate van moeilijkheid, die deze vragen voorhet
voorstellingsvermogen opleveren, is, natuurlijk, zeer verschillend. Hoe
ver men met de beschouwing van iedere afzonderlijke configuratie
moet gaan, zal van de bekwaamheid en den aanleg der
leerlingen afhangen, maar ook van den moed van den leeraar
en van zijn vermogen om geschikte voorwerpen te vinden,
waaraan men de zaak demonstreeren kan.
Hem, die sceptisch staat tegenover dergelijke alleen
qualitatieve behandeling van meetkundige configuraties, kan ik het
volgende zeggen: bij iedere systematische en nauwkeurige behandeling
der hier opgenoemde onderwerpen moet men er de
voorstelling en de qualitatieve schatting reeds van te voren
bezitten om niet wanhopend hulpeloos daar tegenover te staan:
deze kan niet synthetisch opgebouwd worden, uitgaande van de
correct bewezen stellingen van den systematischen cursus;
integendeel: deze stellingen zeggen werkelijk iets alleen aan hen, die
reeds voor de studie van de Meetkunde voldoende ruimtelijke
beelden in hun geest opgenomen hebben. Wat de ,,goede''
leerlingen zonder medewerking van den leeraar in de eerste les
meebrengen en waarmee ze de anderen verrassen, dat kan in
heel aanzienlijke mate ook aan menig anderen leerling
bijgebracht worden.
Voetnoten
1) Vooral in Duitschland, Amerika en Rusland.
2) Men vergelijke toch een willekeurig polyaeder en
alles,
wat men daaraan ontdekt, met een paard, een bloem, een schotel, een sonate,
een
verhouding tusschen twee menschen, een historische gebeurtenis...
3) Ik bedoel: het ontwaren van die betrekkingen,
waarop de
door Gauss bedoelde stelling berustte en die noodzakelijk in zijn
intuïtie aanwezig moesten zijn, zou hij zoo zeker van zijn stelling kunnen
zijn -- de stelling zelf stond immers ook logisch helder voor den
geest; of ook het ontwaren van dat intuïtief gegeven gebied, waarlangs de
phantasie van H. Poincaré rondzwierf, voordat het hem gelukte het
gezochte ook met het bewustzijn te vatten.
4) Heeft U ooit een wiskundige stelling
werkelijk
leeren beheerschen door alleen haar streng bewijs in een boek stap voor stap te
contrôleeren, zonder dat betreffende gebied in zijn geheel intuïtief
gevat te hebben?
5) Iemand, die van beginne af een heldere intuïtie
op een
zeker gebied heeft, kan daaromtrent louter logische, d.w.z. met elkaar
harmonieerende, niet tegenstrijdige uitingen geven, zonder werkelijk
,,logisch'' -- in den boven genoemden zin -- te zijn. Het gebrek aan logica
laat zich bij hem echter voelen, zoodra hij op een terrein komt, waar hij dat
inzicht eerst door een bewust zoeken zou kunnen verwerven.
6) Men ziet bijv. gemakkelijk in, dat er tusschen twee
zijden
en een hoek van een driehoek en zijn derde zijde een betrekking bestaan moet.
Dat echter in het geval, dat de hoek recht is, deze betrekking juist door de
stelling van Pythagoras uitgedrukt wordt, zal wellicht niemand onmiddelijk
zien; doch wél het aanschouwelijke verband bij iedere stap van het
bewijs.
7) Ook de subsumptie-betrekkingen tusschen de
gegeven
stellingen en de formeel-logische structuur van elke stelling ziet men
eerder, dan dat men ze bewust formuleeren kan: ook de logische
betrekkingen worden eerst intuïtief begrepen!
8) Principieel zou de opbouw van deze taak der
Wetenschap er
niet door veranderd worden, indien het stellingen waren, over willekeurige
dingen en niet juist over ruimtelijke betrekkingen. Nu is dit feitelijk niet
geheel juist: bij het aanvullen der leemten in dit intuïtieve
materiaal gebruikt men toch steeds het ruimtelijke voorstellingsvermogen. Ook
stond de Axiomatica steeds in dienst van de kennistheorie van de ruimte; ze
werd er zelfs in het begin in het geheel niet van onderscheiden.
9) Ik bedoel daarmee, dat vele resultaten voor ons
voorlopig
slechts bewezen, maar niet intuïtief begrepen feiten
blijven.
10) Wat werkelijk gedood of verlamd kan worden door
veel
bewustworden, dat zijn de intuïtieve reacties. Deze zijn in vele
gevallen zeer gewenscht en dienen gespaard te worden door de opvoeders!
Trouwens, meestal brengt het bewustworden verwarring alleen bij
zijn
eerste optreden bij een instinctieve handeling. Nadat men ermee vertrouwd is
geworden, gaan de instincten weer hun gang. Maar misschien duurt het soms
veel
te lang, tot men zoo ver is gekomen!
11) Men zou het dus moeten opgeven in het begin
stellingen te
bewijzen, welke voor alle leerlingen in de klas vanzelfsprekend zijn. Maar men
moest ze niet stilzwijgend aannemen.
12) Men tracht wel eens het gebrek aan eigen
werkzaamheid
der leerlingen te verhelpen door hen, bij wijze van vraagstukken, eenige
stellingen te laten bewijzen, die niet noodig zijn voor den opbouw van het
fundamenteele systeem. Deze stellingen zijn echter dikwijls ingewikkelder dan
die van het systeem zelf, en kunnen dikwijls de leerlingen alleen maar
ontmoedigen: het bewijzen ervan vereischt meestal niet zoozeer het denken
(d.w.z. het analyseren van de intuïtie) als wel het uitvinden (van
bijzondere hulpconstructies), wat dus een speciale begaafdheid veronderstelt,
die niets te maken heeft met ons probleem: de ontwikkeling van den leerling in
logisch opzicht.
13) En voor de verdere ontwikkeling der speciaal
wiskundigen
schijnt me het eeuwig combineeren van telkens weer dezelfde begrippen der
Elementaire Meetkunde -- waarop toch alle uitbreidingen en toepassingen, in
den gewonen cursus opgenomen, neerkomen -- ook van geen nut te zijn. Een
wiskundig aangelegde leerling zou er veel meer aan hebben, indien hij zijn
studie-uren gebruikte om hem een wijderen horizon van wiskundig onderzoek te
openen.
14) Wanneer ik over de ,,Euclidische'' rangschikking
spreek,
zoo bedoel ik daarmee iedere rangschikking, die den geest van Euclides
handhaaft en die hem eventueel zelfs beter tot uiting brengt, dan Euclides
zelf het gedaan heeft.
15) Voor de Ruimteleer is de aanraking met de
intuïtie,
uit zinnelijke waarnemingen ontstaan, het beste; voor de Axiomatica is het
daarentegen geheel niet geschikt. Maar daarom mag men niet zeggen, wat
sommigen
doen, dat het gebruik maken van het voorstellingsvermogen in de
Meetkunde
ueberhaupt ,,onwetenschappelijk is''.
16) Weliswaar heb ik ook gehoord, dat de
,,propaedeutische''
kennis van de stellingen wederom belemmerend werkt op het willen
aanvaarden van de ,,logische strengheid'' -- en dit klopt ook met hetgeen ik
boven tegen de ,,laboratorium-bewijzen'' gezegd heb.
17) Welke ,,hoeken'' werden hierbij bedoeld?