OVER DE SOCIALE BETEKENIS
VAN DE WISKUNDIGE DENKVORM.

Burgemeester en Wethouders dezer Gemeente,
Kuratoren, Hoogleraren, Lectoren en Privaat-
docenten dezer Universiteit, Studenten,
En Gij allen, die uit wetenschappelijke of
persoonlike belangstelling hier tegenwoordig zijt,

Zeer gewenste Toehoorders!

Wanneer ik een ogenblik uw aandacht vraag voor de sociale betekenis van de wiskundjge denkvorm, dan stel ik daarbij voorop, dat de wiskundige wetenschap m. i. een bij uitstek praktiese is, in die mate zelfs, dat ik er niet geheel zeker van ben of in deze wel van wetenschap sprake kan zijn: de praktijk des levens toch vraagt niet naar weten, maar naar kunnen, niet naar inzicht, maar naar macht. De natuurmens, die zich bij zaaien of oogsten, bij aanval of verweer, door de voorspellingen van de tovenaar laat leiden, en de kultuurmens, die bij zijn produktie en destruktie de logarithmen en de integralen te hulp roept, zijn volkomen analoge verschijnselen: bij beiden is het verband tussen hun waarneming en hun handeling van psychiese aard, beiden gissen zij naar hetgeen hun wensen of behoeften het best en het meest zal bevredigen, en de vraag, wier methode het doeltreffendst is, zou enkel te beslissen zijn door de gemiddelde bevrediging te vergelijken, die zij in hun leven vinden. Toch spreekt de kultuurmens van wetenschap en noemt het richtsnoer van zijn bruine of zwarte broeder bijgeloof, vergetend dat zijn formules en figuren, [pag. 6] evengoed als die van de toverman, slechts hulpmiddelen zijn om aan vroeger ervaren opeenvolgingen van waarneming en wens, van weten en willen, een zekere duurzaamheid te geven, en om de oude gedaehtepaden gemakkeljker dan de eerste maal te kunnen bewandelen. 1)
Zeker, er is verschil. Verschil in de aard der gegevens enerzijds en in de volmaking van het geestelik hulpmiddel anderzijds, maar die verschillen zijn gradueel. Wij verbeelden ons, de wetten der natuur te hebben ontdekt, als wij onze ervaringen-ten-aanzien-der-natuur in cijfers en tekens hebben samengevat, maar worden door diezelfde cijfers en tekens telkens weer tot de erkenning genoopt, dat ,,niets geheel waar'' is, en dat onze natuurwetten alleen dan geldig zijn, als wij de nooit ontbrekende afwijking eenvoudig buiten rekening laten. Zo verliest ook de fetish-aanbidder zijn vertrouwen niet, als hij in zijn verwachting wordt teleurgesteld, maar schrijft de slechte uitslag van zijn pogen aan de tegenwerking van vreemde demonen toe. En die vreemde demonen ontbreken bij ons evenmin. De ballistikus beweert niet, dat zijn projektiel werkelik een parabool beschrijven zal, maar enkel dat het dit zòu doen, als het geen uitgebreidheid had, als de aarde geen bol was en niet draaide, als de lucht geen tegenstand bood, in éen woord, als er geen invloeden waren, die de parabool-illusie verstoorden. 2) En zo is de bewering van de ballistikus tot een niet-bewering geworden en zo wordt alle wiskundige bewering tot een niets-beweren-omtrent-wat-werkelik-is, doch een beweren-omtrent-wat-zijn-zou .... àls het was! Abstraheren noemen wij dat, en gaan met onze abstrakties [pag. 7] zover; tot wij de ewigwisselende onmeetbare en ontelbare werkelikheid tot een eindig aantal waarnemings-elementen hebben gereduceerd, die in onze rekenmolen passen, m.a.w tot wij van de werkelikheid zelve hebben gabstraheerd.
Maar dit alles, ik geef het grif toe, is louter theorie. Uit prakties oogpunt beschouwd, wint de methode van de cijferaar het verre van die van de waarzegger en doet de dikke Bertha's verder dragen en meer vernielen dan de giftige pijl of de boemerang. En per slot van rekening liggen onze abstrakties nu eenmaal in ónze rede, en hebben dus zelve hun, deel in de werkelikheid. En moge het ook in waarheid gezegd kunnen worden, dat de werkelikheid ,,an sich'' een ondeelbaarheid is, ,,für uns'' is zij in eerste benadering een veelheid, een eindige veelheid zelfs, en verder dan deze gaat de pretentie van de wiskunde niet. Ja, wy spreken wel wiskundig van kontinuïteit, van oneindigheid en over-oneindigheid tot in de oneindigste ,,machtigheid'', maar al die woorden en tekens en tekengroepen zijn toch niet anders dan samenvattingen van andere symbolengroepen die alle uit een eindig aantal grondwoorden of grondtekens zijn opgebouwd. 3) En zo beperkt de mathematikus zicb opzettelik tot die eerste ruwe benadering van de menselike schijn-buitenwereld, die in afgetelde woorden is weer te geven, en laat de wereld van het wezenlik-gevoelde en het wezenlik- doorleefde aan de kunstenaar, die zijn woorden niet telt, maar weegt.
Wanneer ik dit alles naga, mijne hoorders, dan gevoel ik, hoezeer het uwe bevreemding moet wekken, wanneer ik u verzoek, die zozeer op het praktiese gerichte wiskunde met [pag. 8] enigerlei denkvorm in verband te willen brengen. Want het ware denken is toch iets meer en iets anders dan voor ieder naastliggend doel het meestbelovende middel te kiezen, het ware denken richt zich toch op iets meer en op iets anders dan op de eindige schijn, het richt zich op het wezenlike van ons leven, het is het wezenlike van ons leven: Cogito, ergo sum.
En wiskunst is gevoelloos, is onwezenlik, is dood. Wil het altans zijn, en verbant daartoe zoveel doenlik uit haar woordeboek al wat aan de waarneming ontleend is, wat aan waarneming herinnert, en gevoelt zich het veiligst als zij zich in letters en in cijfers uitdrukt. En is dat denken? Laat zich een denken denken in a en b? Immers neen!
En toch, en toch.... en toch is de wiskunst geen wiskunst-zonder-meer, immers zij is niet zonder schoonheid. Diezelfde gevoelloze, koude cijferbouwsels zijn in staat de adept een ontroering te doen doorleven, die naar ontzag, naar verering, naar devotie zweemt. Noem het regelmaat, noem het harmonie, noem het rythme, maar er is iets in de wiskunst, dat zich niet becijferen laat. Zij, die wij grote wiskundigen noemen, die nieuwe banen hebben aangewezen en licht voor komende eeuwen ontstoken, waren meer dan peuteraars en geduldige cijferaars: zij ontwierpen hun systemen met geniale band en de cijferstift volgde eerst later moeizaam hetgeen zij hadden voorgevoeld, niet uit kracht van de dorre logika, maar uit kracht van hun kunstenaarszin. Zeker, de eigenlike wiskunde is geen denkvorm, is hoogstens taalvorm te noemen, en de ganse taal is toch nog slechts een armelik middel tot redelike verstandhouding. Maar die taalvorm dan, welke wiskunst heet, is menselik, door mensen gemaakt naar hun menselike behoeften en hun menselike vermogens. En zou het dan [pag. 9] anders hunnen zijn, dan dat zich in de makelij van die taal iets weerspiegelde van de makelij van het denken zelf, van de makelij van onze geest, van de makelij van de werkelikheid-voor-ons? En als dat zo is, hebben wij dan niet het recht ons af te vragen, of de toepassing der wiskundige vormen noodzakelik beperkt moet blijven tot die eerste benadering, die wij de stoffelike wereld noemen, en of diezelfde methoden ons geen diensten kunnen bewijzen bij het overwegen van verderliggende en meer algemene doeleinden dan die met een stuk geschut of een teleskoop te bereiken zijn, van doeleinden, gelegen op het gebied van het gevoelsleven, van het gemeenschapsleven?
Het gaat reeds die kant uit! De wiskunst vertoont in de tijd die wij beleven steeds duideliker de neiging, haar beginpalen te verzetten: onderzoekingen omtrent de grondslagen van ieder hoofddeel der mathesis gaan gepaard met onderzoekingen omtrent de grondslagen van de wiskunst zelf, omtrent de opbouw van het syllogisme, van de logika, zij het ook slechts van de uitwendige, de vormelike logika. En buiten de kring der wiskundigen, in die der filosofen, der linguisten, der juristen 4) schijnt men zich aangetrokken te gevoelen tot de geduldige, nauwgezette, onpartijdige werkwijze van de wiskunstenaar. Men begint het meer en meer in te zien, dat wie zijn gevoel wil leiden en heheersen, het eerst moet ontleden, en dat de gewone, van ouds gebruikelike taalvormen daartoe ten enenmale onvoldoende zijn. Wie denken wil, heeft aan woorden niet genoeg, zeker niet, maar kan toch ook geen woorden ontberen, om zijn gedachten te bewaren en mede te delen. Maar onze woorden zijn oud en deels versleten, en zij dragen ieder het kenmerk [pag. 10] hunner historie met zich, zij slepen ons mee door hun klank en hun verwantschap met andere klanken, en brengen spreker en hoorder waar zij niet wilden zijn. Over snelheid of beweging, ruimte of tijd in redelikheid te spreken, zonder die termen door een droge, symboliese, niets suggererende definitie te vervangen, is slechts uiterst moeilik, maar over geest en stof, over ziel en leven, over wil en macht, over individualiteit en gemeenschap op vruchtdragende wijze van gedachten te wisselen, zonder die suggentieve woorden zelve te vermijden, zonder ze op te lossen in minder emotionele bestanddelen, het is vrijwel onmogelik.
De vraag blijft enkel: kàn het anders? En ik hoor mij al toeroepen: wie even nadenkt, moet inzien, dat het niet anders kan: de wereld der ponderabiliën is vatbaar voor maat en tal, maar die des geestes niet. Ik zou daarop willen antwoorden: is ,,even nadenken'' genoeg? Hebben onze buren van overzee niet gewoonlik gelijk met hun ,,second thoughts are best''? En is voor die ,,second thoughts'' een wereld van ponderabiliën bestaanbaar? Is iets in waarheid vatbaar voor maat en tal, of juister wellicht, kan van wat door cijfers wordt uitgedrukt, ooit gezegd worden, dat het bestaat, of dat wij ons het bestaan ervan kunnen denken? Tellen en meten vooronderstelt afgrenzing, onderscheiding, en blijkt bij ,,second thought'' niet langs iedere grenslijn een strook ,,niemandsland'' te lopen en ieder onderscheid een relatie en dus een verbinding te zijn? Wat niet wegneemt, diàt wij onderscheiden en dàt wij afgrenzen, in het ,,geestelike'' even zo goed als in het ,,stoffelike''. Zeker, onze onderscheidingen zijn slechts aanvankelik en verstandelik, niet waarlik-houdbaar en redelik, maar niet de zuivere rede, slechts de dolende verstandelikheid is menselik, en daarom kunnen wij het rekenen, ondanks alle misrekeningen, [pag. 11] niet laten! Wij kunnen het niet laten, de dingen-der-waarneming zowel als de dingen-des-begrips tegen beter weten in als dingen-op-zichzelf te beschouwen, in eenheden te denken, te tellen, en in zoverre moet dus de vraag niet luiden: kàn onze denkvorm, ook als wij denken óver het denken, wiskundig zijn, maar: kan die méer wiskundig zijn dan tot nu toe, kunnen wij béter tellen? Wiskunst is het werken met bepaalde eenheden en met bepaalde relaties tussen die eenheden, en hoe bepaalder, hoe onwankelbaarder en dus hoe onwezenliker die eenheden en die relaties zijn, hoe wiskundiger die wiskunst is. En daarom kan over burgerrecht wiskundiger gesproken worden dan over mensenrecht en over wettelike rechten wiskundiger dan over burgerrechten in het algemeen. Maar ook over wettelike rechten, zij het over die van een bepaald burger van een bepaald land op een bepaald moment, kan niet geheel wiskundig, d.i. niet geheel konsekwent en niet geheel onpartijdig gesproken worden: er zijn zovéel wetten en in die wetten zovéel woorden en in die woorden zovéel voetangels en klemmen, dat de advokaat van onze bepaalde burger aan de kalme woordvlechtkunst der logika bij lange na niet genoeg heeft: moge hij er wat handigheid bij bezitten! Of kiezen wij ons voorbeeld uit minder gedifferentieërde en dus beter telbare begrippen, en trachten wij over ,,gewaarwordingen'' te spreken. Is kiespijn een gewaarwording? of rozengeur? En kunnen wij tussen die ,,eenheden'' een relatie denken? Die van onderscheid b.v. of die van gelijktijdigheid of van ongelijktijdigheid? Maar al kan kiespijn misschien zonder kies en rozengeur zonder roos gedacht worden, een ,,lijder'' of een ,,genieter'' zal er toch zeker bij behoren? En is die lijder of genieter iets anders dan de som van zijn gewaarwordingen en hun [pag. 12] relaties of niet? Ziedaar ons al dadelik geplaatst in het brandpunt van de strijd om dualisme of monisme, om solipsisme wellicht! Maar ook al trachten wij wiskunstig te zijn, en dus te abstraheren van die ongescheidenheid onzer gewaarwordingen van onszelve, dan slagen wij er toch slechts zeer onvolkomen in, ons kiespijnleed of onze bloemenvreugde opzichzelf te beschouwen. Zodra wij onze gewaarwordingen tot een voorwerp van zelfwaarneming maken, vallen zij uiteen in ,,talloze'' deelgewaarwordingen, waaraan wij wel zo iets als een zekere rangschikking, die wij dan opeenvolging-in-de-tijd noemen, menen op te merken, maar die zich toch allerminst als een ,,reeks'' in wiskundige zin voordoen, nog daargelaten de ontstellende vruchtbaarheid, waarmede ieder ,,kiespijnmoment'' een rijke nakomelingschap van herinneringsbeelden en herinneringsbeelden-van-herinneringsbeelden voortbrengt! Maar genoeg: er valt nog heel wat signifiese arbeid te verrichten vóor onze taal het materiaal bevat, dat nodig is om zelfs over deze schijnbaar zo eenvoudige dingen met enige schijn van zekerheid van gedachten te kunnen wisselen! En hoeveel omvangrijker en hoeveel zwaarder zal die arbeid nog moeten zijn, eer over de draagwijdte van de duizend woorden, die elk van ons ieder ogenblik bezigt, enigerlei klaarheid en enigerlei overeenstemming zal zijn verkregen. Beproef het maar eens, om uzelf in louter gewaarwordings- en affekttermen uit te leggen, wat ,,weten'', ,,willen'', ,,zullen'' of ,,moeten'' nu eigenlik beduidt, en ge zult onmiddellik op duizend moeilikheden stuiten, omdat wij nu eenmaal de ingeroeste gewoonte hebben als primaire begripselementen te beschouwen wat sekundaire, tertiaire, n-aire samenstellingen zijn. Gewoontewoorden als ,,kausaliteit'', ,,gelijktijdigheid'', ,,overeenkomst'', ,,verandering'' [pag. 13] en nog meer, dringen zich tussen gegevene en gevraagde in en eisen ieder voor zich te hunner ontleding een lange reeks van ontwikkelingen.
Signifiese arbeid, zeide ik. Dit is het, wat van node is om onze denkvorm in het algemeen meer wiskundig te maken. Geen etymologie, geen semantiek, geen speuren naar de vele en velerlei diensten, die elk woord aan spreker of hoorder bewijst of bewezen heeft, maar signifika in aktieve, in voortbrengende zin: het opbouwen van woordsystemen, die kunnen dienen om onze begrippen en het leven van onze begrippen op menselik begrijpelike wijze af te beelden. Wat nodig is, is het geduldig en moeizaam opsporen en benoemen van die kleinst mogelike elementen, die bij nauwkeurige zelf-analyse in ons denkleven waarneembaar of vermoedbaar zijn, en van hun onderlinge betrekking. Vooral gedurende de laatste eeuw is er onnoemelik veel verricht op biezonder-wetenschappelik en op algemeen-filosofies gebied, maar die taak is door de diepdenkers zowel als door de veelschrijvers maar al te zeer verwaarloosd! Een gans arbeidsveld lig hier braak, dat generaties van werkers tot zijn ontginning zal vereisen. Wat is en zal zijn de betekenis van die arbeid, van de drang tot die arbeid en van het resultaat van die arbeid voor het samenleven der mensen?

Ik heb gezegd.