GROEPENTHEORETISCHE ONDERZOEKINGEN
DOOR
P.J.H. BAUDET
HOOFDSTUK I.
Groepen.
1. Operaties. Wij stellen ons voor, dat we te
maken hebben met eene verzameling V van dingen of elementen en nemen aan,
dat ons een wet is gegeven, volgens welke uit een element een element der
verzameling kan worden afgeleid, en die aan de volgende drie voorwaarden
voldoet:
a) Uit elk element der verzameling V wordt een
volkomen bepaald element van V afgeleid;
b) uit verschillende elementen worden verschillende
afgeleid;
c) bij elk element van V kan men minstens
één element van V bepalen, zoodanig, dat dit laatste door
toepassing van het beschouwde proces in het eerstgenoemde overgaat
1).
Men kan uit b) direct aflezen, dat eenzelfde
element hoogstens uit één ander element ontstaat bij toepassing
van ons proces, zoodat men, in verband met c) kan zeggen, dat de
verzameling V juist één element bevat, dat door toepassing der
handelwijze in een [pag. 2] voorgeschreven element van V overgaat. We merken
nog op, dat a1) ons zegt, dat de resulteerende verzameling een deel
van de oorspronkelijke is, terwijl uit c) blijkt, dat de oorspronkelijke
verzameling een deel der resulteerende is, d.w.z. de oorspronkelijke en de
resulteerende verzameling zijn identiek.
Voldoet een verrichte handelwijze aan de drie
bovengenoemde voorwaarden a), b), c), dan zeggen we, dat we V
eene operatie hebben doen ondergaan, of dat we op V eene operatie
uitgeoefend hebben. Aan operaties komt de volgende eenvoudige eigenschap
toe:
I. Oefent men op V eene operatie A uit, en op het
resultaat eene operatie B, dan is dit proces aequivalent met ééne
operatie, op V uitgeoefend.
Men ziet nl. direct in, dat dit proces voldoet aan de
eischen, gesteld aan eene operatie.
De operatie, die bestaat in het achtereenvolgens
uitoefenen der operaties A en B zullen wij aanduiden met A.B of AB (product
van A en B).
Schrijven wij A=B, dan is hiermee bedoeld, dat de
operaties A en B in het uitoefenen van hetzelfde proces bestaan. Men heeft
thans de volgende eigenschap:
II. De operatieproducten zijn associatief, d.w.z.
men heeft: A(BC) = (AB)C.
Men analyseere slechts de beteekenis dezer uitdrukking
om tot het inzicht der juistheid te geraken. A(BC) is eene operatie, die daarin
bestaat, dat men eerst A verricht en vervolgens eene operatie, die verkregen
[pag. 3] wordt door achtereenvolgens de operaties B en C uit te oefenen, terwijl
men bij (AB)C eerst A moet laten volgen door B en dan C heeft te
verrichten.
Men doet dus in beide gevallen hetzelfde.
In een product van de gedaante (AB)C behoeft men
tengevolge van de vorige eigenschap geen haakjes te schrijven en men ziet in,
dat het product van een willekeurig aantal factoren een volkomen bepaalde
betekenis heeft.
Komt in een product dezelfde operatie eenige malen
achter elkaar voor, dan mogen we tengevolge van de vorige eigenschap de
betreffende factoren samennemen. Wij noteeren dan met behulp van
exponenten:
AA = A2, AAA = A3, .......
aan welke notatie, zooals men direct inziet, de eigenschappen
|
Ap.Aq,
|
(1)
|
|
(Ap)q =
Apq
|
(2)
|
toekomen, waarbij A = A1 is.
Het is van belang ook te beschouwen die operatie,
waarbij elk element van V door zichzelf wordt vervangen. Men noemt deze
operatie de eenheidsoperatie of korter de eenheid, en
wij noteeren deze met E. Men heeft
III. Is A eene willekeurige operatie, dan bestaat er
eene operatie A', die voldoet aan de betrekkingen
[pag. 4] Denken we ons, dat op V de operatie A wordt
uitgeoefend. Bij een willekeurig element v van V is er dan krachtens
c) een element v1 van V te vinden, waaruit het
door toepassing van A wordt afgeleid/ Zooals wij reeds opmerkten is
v1 bovendien een volkomen bepaald element.
Wij gaan nu elk element v van V vervangen door het
bijbehoorende element v1, en beweren, dat dit proces, dat we
A' noemen, eene operatie is. Uit het voorafgaande van ons betoog blijkt reeds,
dat het proces A' aan het postulaat a) voldoet. Bovendien ontstaan
uit verschillende elementen v, v' door deze handelwijze verschillende elementen
v1, v1', daar door A, in veband met
a) eenzelfde element in één volkomen bepaald element
wordt overgevoerd. Hieruit blijkt, dat het geconstrueerde proces A' aan
b) voldoet. Zij tenslotte v1 een willekeurig element
van V, dat door toepassing van A in v overgaat (zie a)), dan blijkt, dat
er een element (nl. v) bestaat, dat door toepassing van A' het voorgeschreven
element v1 oplevert. Aan het postulaat c) is dus
eveneens voldaan, zoodat wij er toe besluiten, dat A' eene operatie is.
Bechouw nu de operatie AA'. Een willekeurig element v
van V worde door A overgevoerd in v1. Dan zal A' het
element v1 overvoeren in v, zoodat de operatie AA' elke
element v invariant laat, d.w.z. zoodat
AA' = E
Evenzoo behandelen we de operatie A'A. Door A' wordt
een willekeurig element v1 van V vervangen door een element
v, dat de eigenschap heeft, dat v door A in v1 wordt
overgevoerd. Hieruit volgt [pag. 5]
A'A = E
IV. De in III beschouwde operatie A' is door elk der
betrekkingen (4) volkomen bepaald.
Heeft men toch AB = E, dan volgt hieruit:
A'(AB) = A'E,
(A'A)B = A'E,
EB = A',
B = A'.
Evenzoo besluit men uit CA = E tot
CAA' = EA',
C = A'.
De ondubbelzinnig gedefinieerde operatie A' heet de
inverse operatie van A en men ziet direct in, dat A de
inverse van A' is. Men noteert de inverse operatie van A als A-
1, die van Ap als A-p, terwijl het
voor de hand ligt Ao = E te nemen.
Men moet thans echter aantoonen, dat de betrekkingen
(1) en (2) geldig blijven voor de nieuw ingevoerde exponenten. Is minstens
één der in die formules voorkomende exponenten gelijk aan nul,
dan is de juistheid evident. Voor de behandeling der overige gevallen merken we
eerst op, dat
(A-p)-1 =
Ap, A-p = (A-
1)p (p>0),
waarvan de eerste betrekking geen betoog behoeft,
terwijl de tweede een bijzonder geval der volgende eigenschap is:
V. De inverse der operatie
A1A2 .... Ap-
1Ap is
Ap-1Ap-1-1
.... A2-1A1-
1.
Dit volgt uit de evidente identiteit [pag. 6]
A1A2 .... Ap-
1ApAp-
1Ap-11
.... A2-1A1-
1 = E.
Veronderstellen wij thans p, q beide positief, dan
is
(Ap)-q =
[(Ap)q]-1 =
(Apq)-1 = A-pq =
Ap.-q,
(A-p)q =
[(A-1)p]q =
(A-1)pq = A-pq =
A-p.q,
(A-p)-q =
[(A-p)-1]q =
(Ap)q = Apq =
A-p.-q.
Hiermede is (2) voor alle gevallen aangetoond. Voorts
is
A-pA-q =
(A-1)p.(A-
1)q =
(A-1)p+q =
A-p-q.
Heeft men een product van de gedaante
Ap.A-q,
A-p.Aq, dan hebben wij te onderscheiden de
gevallen p > q, p = q, p < q.
In het tweede geval is
ApA-p = E = A0 =
Ap-p.
Is p>q, dan heeft men
Ap.A-q =
Ap-q(Aq.A-q) =
Ap-q,
terwijl voor p < q de bewijsvoering luidt:
Ap.A-q =
Ap.(A-1)p.
(A-1)q-p =
ApA-p.Ap-q =
Ap-q.
Evenzoo verloopt de bewijsvoering in het geval
A-p.Aq.
Ook de formule (1) is thans voor alle gevallen
bewezen.
VI. De vergelijkingen AX=B en XA=B hebben
steeds en slechts eene oplossing.
Is aan AX=B voldaan, dan heeft men
A-1AX = A-1B,
X = A-1B.
De operatie A-1B bestaat steeds, daar
A-1 bestaat [pag. 7] (III) en voldoet aan de vergelijking AX=B
daar AA-1B = EB = B.
Evenzoo heeft de vergelijking XA=B als eenige
oplossing X=BA-1. Hieruit volgt in 't bijzonder, dat de
eenheidsoperatie door elk der vergelijkingen (3) ondubbelzinnig gedefinieerd
is.
VII. De eenige operatie, die voldoet aan de
vergelijking X2 = X, is de eenheidsoperatie.
Is aan X2 = X voldaan, dan heeft
men
X2X-1 = XX-1,
X = E,
terwijl het duidelijk is, dat E aan de gegeven vergelijking voldoet.
2. Dubbeleenwaardige correspondentie.
Laat gegeven zijn twee elementenverzamelingen V, V' en vormen wij uit de
elementen dezer verzamelingen alle mogelijke paren, bestaande uit
één element van V en één element van V'.
Beschouwen wij nu een deelverzameling dezer elementenparenverzameling, dan
zeggen wij, dat wij tusschen de verzamelingen V en V' eene correspondentie
hebben opgesteld. Men noemt hierbij correspondeerende elementen
elementen, die in eenzelfde paar der beschouwde parenverzameling
voorkomen.
In 't bijzonder interesseert ons het geval, waarbij de
verzamelingen V, V' zoodanig zijn, dat het mogelijk is, de correspondentie zoo in
te richten, dat elk element der beide verzamelingen in juist één
paar optreedt. In dit geval spreekt men van eene dubbelwaardige
correspondentie [pag. 8].
Het kan gebeuren, dat de verzamelingen V en V'
gemeenschappelijke elementen bezitten. In dat geval moet men onderscheid
maken, of men zoo'n gemeenschappelijk element op het oogenblik, waarop men
er over spreekt, als tot V of tot V' behoorend beschouwt. Houdt men dit
onderscheid nauwkeurig in 't oog, dan kunnen de verzamelingen V en V' zonder
bezwaar uit dezelfde elementen bestaan.
We merken op, dat elke operatie A, op een
elementenverzameling V toegepast, eene dubbeleenwaardige correspondentie
definieert tusschen de verzameling V en eene verzameling V' bestaande uit
dezelfde elementen, indien men als correspondeerend met elk element v van V
beschouwt dat element v' van V', dat door toepassing van A uit v verkregen
wordt. De juistheid dezer bewering volgt direct uit de operatie-
postulaten.
Het is duidelijk, dat de operatie A-1
aanleiding zou geven tot dezelfde correspondentie, indien men haar op V' laat
inwerken. Willen wij de wijze van ontstaan der correspondentie nader aangeven,
dan zullen wij nog toevoegen, op welke der verzamelingen de operatie
uitgeoefend is, en deze verzameling zullen wij dan de oorspronkelijke
noemen.
Omgekeerd definieert elke dubbeleenwaardige
correspondentie tusschen twee verzamelingen V, V', bestaande uit dezelfde
elementen twee operaties A, A' (=A-1) uitgeoefend resp. op
de verzamelingen V, V', indien men voor A (resp. A') het proces neemt, waarbij
uit elk element v (resp. v') van V (V') wordt afgeleid het element v' (v) dat in V'
(V) met v (v') correspondeert, en men ziet direct in, dat dit proces eene operatie
is [pag. 9].
Wil men nader aangeven, of men de operatie A, dan wel
A' wenscht te beschouwen, dan behoeft men slechts aan te duiden, welke der
verzamelingen V, V' als oorspronkelijke genomen moet worden.
Men kan dus de beschouwingen over operaties
terugvoeren op die van dubbeleenwaardige correspondenties en omgekeerd.
Hiervan zal in n°. 11 gebruik gemaakt worden.
3. Definitie der groepen. Wij beschouwen
thans een stelsel van operaties, dat aan de volgende voorwaarden
voldoet:
a) het stelsel bevat tenminste ééne
operatie;
b) is aan a) voldaan, dan komt de eenheidsoperatie in
het stelsel voor;
c) bevat het stelsel meer dan ééne
operatie, en zijn A, B twee willekeurige van elkaar verschillende operaties van
het stelsel, dan behoort ook de operatie X, gedefinieerd door AX=B tot het
stelsel.
Een stelsel operaties, dat aan deze voorwaarden
voldoet, wordt een groep genoemd. Wij willen een paar algemeene
eigenschappen der groepen afleiden. Vooreerst ziet men direct in, dat een groep,
die slechts ééne operatie bevat, uit de eenheidsoperatie E
bestaat. Bovendien is de volgende eigenschap een direct gevolg der
postulaten:
VIII. Zijn A, B twee willekeurige (verschillende of
gelijke) operaties, behoorend tot een gegeven groep, dan behoort tot de groep
ook de operatie X, gedefinieerd door AX=B.
Voorts heeft men: [pag. 10]
IX. Een groep bevat de inverse van elk harer
operaties.
Is toch A een van de operaties der groep, dan heeft,
krachtens VIII de vergelijking AX=E eene oplossing X=A-1,
die tot de groep behoort.
X. Hebben A, B dezelfde beteekenis als in VIII, dan
komt in de groep ook hun product AB voor.
Is A eene operatie der groep, dan is volgens IX ook
A-1 eene operatie, die tot de groep behoort. Derhalve zal
wegens VIII de oplossing der vergelijking
A-1X = B
mede tot onze groep behooren. Deze vergelijking heeft echter tot oplossing
X=AB, waaruit het gestelde blijkt.
XI. Hebben A, B dezelfde beteekenis als in VIII, dan
behoort tot de groep ook de operatie X, gedefinieerd door XA=B.
Men heeft X=BA-1, welke operatie
wegens IX en X in de groep aanwezig is.
Wij hadden ook de eigenschappen IX en X als
definitorisch kunnen beschouwen in plaats van b) en c)
2). Het voordeel van onze keuze is
daarin gelegen, dat, waar, zooals bekend is, bij eindige groepen IX uit X kan
worden afgeleid, onze postulaten b) en c) ook in dat geval
van elkaar onafhankelijk zijn. Wij bewijzen dit nog in n°. 6 van dit
hoofdstuk. In het tweede hoofdstuk zullen wij nog een andere mogelijkheid van
opbouw ontwikkelen. Wegens de toepassing, welke wij [pag. 11] later zullen
maken, vermelden we nog de thans vanzelfsprekende eigenschap:
XII. Is n een willekeurig geheel getal en A eene
operatie van een groep, dan behoort An tot die
groep.
4. Andere beschouwingswijze. Veelal wordt
een groep gedefinieerd, zonder het begrip operatie als grondslag te nemen. Wij
geven als voorbeeld de postulaten, opgesteld door DICKSON (Transactions of
the American Mathematical Society, 1905), welke in dezen den grootst
mogelijken eenvoud, bij onderlinge onafhankelijkheid, schijnen te bezitten. Men
beschouwt een stelsel elementen a, b, c,...., waarbij eene wet gegeven is, om
uit een tweetal elementen a, b (de volgorde, waarin deze geschreven worden, is
hierbij essentieel) een derde element te bepalen. Dit proces noemt men de
vermenigvuldiging der elementen en men schrijft, als het paar a, b het element c
oplevert: ab=c.
Men zegt nu, dat de beschouwde elementen eene groep
vormen, indien voldaan is aan de volgende voorwaarden:
a) Het stelsel bevat minstens
één element;
b1) zijn a, b elementen van het stelsel, dan
bestaat ab;
b2) het product ab is niet meer dan
eenwaardig;
b3) Is ab minstens eenwaardig, dan maakt
een der bepalingen deel uit van het stelsel;
c) zijn a, b, c elementen van het stelsel,
zoodanig dat ook (ab)c en a(bc) er toe behooren, dan heeft men: (ab)c =
a(bc);
d) er bestaat in het stelsel minstens
één element e zoodanig [pag. 12], dat, als a een willekeurig
element van het stelsel beduidt, steeds ae=a, indien ae tot het stelsel
behoort;
e) zijn er elementen e, die de eigenschap,
geformuleerd in d) bezitten, dan is er onder hen minstens
één zoodanig, dat, als a een willekeurig element van het stelsel
beduidt, er in het stelsel een element x te vinden is, dat voldoet aan
ax=e.
De elementen e uit d) worden
postmultiplicatorische eenheden genoemd.
Wij ontwikkelen even de eenvoudigste consequenties
van dit stelsel postulaten en merken vooreerst op, dat b1, 2, 3) zich
laten samenvatten tot:
Zijn a,b elementen der groep, dan is ook ab een
element der groep.
Vervolgens heeft men:
Er bestaat slechts ééne
postmultiplicatorische eenheid.
Is e een der postmultiplicatorische eenheden, die de
eigenschap van e) bezitten, en is e1 een
willekeurige postmultiplicatorische eenheid, dan bestaat er volgens e)
in de groep een element x, dat voldoet aan e1x = e. Men
heeft nu:
e1 = e1e =
e1(e1x) =
(e1e1)x = e1x = e.
Uit ex = e volgt x = e; immers, voor elk
willekeurig element a heeft men ax = (ae)x = a(ex) = ae = a, zoodat x een
postmultiplicatorische eenheid is. Daar er niet meer dan eene
postmultiplicatorische eenheid bestaat, besluit men tot x=e.
De postmultiplicatorische eenheid is tevens de
eenige praemultiplicatorische eenheid. Zij a een element der groep en zij
ea=b, zoodat ook b in de groep voorkomt [pag. 13]. Er bestaat dan in de groep
een x zoodanig, dat bx=e, en een y zoodanig, dat xy=e. We hebben nu
e = bx = (ea)x = e(ax),
waaruit volgt, dat ax = e, zoodat ea = (ea)(xy) = e(ax)y = (ee)y = ey = (ax)y
= a(xy) = ae = a.
Dat e de eenige praemultiplicatorische eenheid is, wordt
op analoge wijze bewezen, als boven geschied is. Hiermede is aangetoond, dat
er slechts ééne eenheid bestaat.
De vergelijking xa=e, waarin a een element der
groep is, heeft juist eene oplossing x, element der groep.
Er bestaat volgens e) in de groep een element
y, voldoende aan ay=e. Voorts bestaat er om dezelfde reden in de groep een
element z, voldoende aan yz=e. Men heeft nu z = ez = ayz = ae = a, waaruit
blijkt, dat het element y aan de vergelijking xa = e voldoet. Bovendien is, als x
aan xa = e voldoet, xay = ey, of x = y. Hieruit volgt, dat zoowel x als y
eenwaardig bepaald zijn. Het element a heeft dus één volkomen
bepaald invers element. Wij noteeren dat element in 't vervolg met
a-1.
De vergelijking xa=b, waarin a, b elementen der
groep zijn, heeft juist eene oplossing x, element der groep.
Men heeft x = ba-1. Men merke nog
op, dat we, tengevolge van de eenwaardigheid van x in deze eigenschap, uit ac
= bc mogen besluiten tot a = b.
De vergelijking ax=b, waarin a, b elementen der
groep zijn, heeft eene enkele oplossing x, element der groep.
Men heeft x = a-1b; tevens blijkt, dat
uit ca = cb de betrekking a = b volgt [pag. 14].
In 't volgende duiden wij eene groep, die op de in dit
nummer behandelde wijze gedefineerd is, met het woord
elementengroep aan.
5. Terugvoering der tweede beschouwingswijze
tot de eerste. Thans zullen wij aantoonen, dat elke elementengroep
holoëdrisch isomorph is met een operatiegroep. Hiermede wordt bedoeld,
dat men tusschen de elementen eener elementengroep en de operaties eener
operatiegroep eene dubbeleenwaardige correspondentie kan opstellen, zoodanig,
dat met het product van een willekeurig tweetal elementen der elementengroep
correspondeert het product der correspondeerende operaties der operatiegroep.
Hieruit blijkt dan, dat de elementengroep geen algemeener begrip is dan de
operatiegroep.
Laat gegeven zijn een elementengroep met de
elementen a, b, c,...., en denken we ons, dat men alle elementen onderwerpt
aan eene postmultiplicatie met eenzelfde element p. Wij beweren, dat dit proces
op te vatten is, als eene operatie P, uitgeoefend op de verzameling der
elementen a, b, c,.... Immers, door multiplicatie met p ontstaat uit elk element
een volkomen bepaald element der verzameling, terwijl uit ap = bp volgt a = b,
zoodat verschillende elementen in verschillende overgaan. Dat ten slotte in de
getransformeerde verzameling elk element der oorspronkelijke optreedt, is een
gevolg van het feit, dat de vergelijking xp = a, voor alle waarden van a en p
eene oplossing bezit, die tot de elementengroep behoort.
Wij zullen de operaties, bestaande in postmultiplicatie
[pag. 15] met a, b, c,...., aanduiden door A, B, C,.... en bewijzen de volgende
eigenschap:
De operatie, bestaande in postmultiplicatie met ab,
is de operatie AB.
Dit is een direct gevolg van het associatieve postulaat
der elementengroepen. Is toch c een willekeurig element, dan gaat c door AB
over in (ca)b, terwijl de postmultiplicatie met ab het element c overvoert in
c(ab). Krachtens c) van n°. 4 zijn echter de elementen (ca)b en
c(ab) dezelfde.
Dat de groep-postulaten uit n°. 3 door de
hierboven gedefinieerde operaties vervuld worden, volgt nu gemakkelijk:
n°. 4 a) is al aequivalent met n°. 3 a), terwijl
n°. 3 b) een gevolg is van het aanwezig zijn van de prae- en
postmultiplicatorische eenheid e. Er rest nog te laten zien, dat bij gegeven
operatie X, gedefinieerd door AX=B in het beschouwde stelsel aanwezig is.
Bepaalt men het element x uit ax = b, dan zal de operatie X, bestaande uit de
postmultiplicatie met x, krachtens XIII voldoen aan AX=B.
Waar hiermede aangetoond is, dat men kan volstaan
met de beschouwing der operatiegroepen, moet er op gewezen worden, dat de
beschouwingswijze uit n°. 4 ons diensten kan bewijzen bij het opstellen
van abstracte groepen met gegeven eigenschappen. Zij leert ons de
noodzakelijke en voldoende voorwaarden, waaraan een multiplicatie voor
abstracte symbolen moet voldoen, opdat zij eene operatiegroep kan definieeren,
holoëdrisch isomorph met deze. Men merke echter op, dat het onjuist zou
zijn, in deze zinsnede [pag. 16] de woorden ,,holoëdrisch isomorph''
achterwege te laten.
6. Eindige groepen. Waar in dit proefschrift
hoofdzakelijk van groepen met een eindig aantal operaties sprake zal zijn, willen
we nog een postulaat toevoegen:
d) Het aantal operaties van het stelsel is
eindig.
Groepen, die deze eigenschap bezitten, heeten
eindige groepen. Het aantal elementen eener eindige
groep wordt de orde der groep genoemd. Wij bewijzen nog de
onafhankelijkheid der postulaten a) b) c) d).
Dat a) van b), c van
d onafhankelijk is, is evident. De onafhankelijkheid van d)
volgt uit het bestaan van oneindige groepen (groepen met aftelbaar of
niet-aftelbaar aantal operaties).
Laat men uit een willekeurige eindige groep de eenheid
weg, dan verkrijgt men een stelsel operaties, dat aan a), c), d)
voldoet, doch niet aan b), terwijl alleen aan c) niet voldaan
wordt door elk stelsel operaties, bestaande uit een eindig aantal van deze,
waaronder de eenheidsoperatie, mits dat stelsel geen groep vormt. Hiermede is
het bewijs der onafhankelijkheid geleverd.
We maken nog opmerkzaam op de volgende bekende
eigenschap, die voor de toepassingen zich ten zeerste leent:
XIV. Een stelsel, bestaande uit een eindig aantal
operaties, vormt eene groep, indien het product van elk tweetal harer operaties
(gelijk of verschillende) tot het stelsel behoort
3) [pag. 17].
Aan het postulaat a) is voldaan.
Praemultipliceert men nu alle operaties met eenzelfde willekeurige operatie A
van het stelsel, dan zijn volgens VI de verkregen producten alle verschillend.
Daar het aantal operaties van het stelsel eindig is, is dus het oorspronkelijke
stelsel identiek met het stelsel, bestaande uit de producten. Zij thans B eene
willekeurige operatie van het stelsel, dan behoort dus tot het stelsel de operatie
X, gedefinieerd door A.X = B. Heeft men A [ongelijk aan] B, dan volgt uit deze
bewering het voldaan zijn aan postulaat c), terwijl men voor B=A
afleest, dat de eenheid tot het stelsel behoort, zoodat ook b) voor het
beschouwde stelsel geldt.
Noten
1) Bevat V slechts een eindig aantal elementen, dan is
deze laatste eisch een klaarblijkelijk gevolg van de beide voorgaande. Men merke
voorts op, dat het postulaat a) op de volgende wijze te splitsen
is:
a1) Uit de elementen van V, waarop het
proces wordt toegepast, wordt uit elk element een volkomen bepaald element
van V afgeleid.
a2) Het proces wordt op elk element van V
toegepast.
2) Zie bijv. W. BURNSIDE: Theory of groups of
finite order. Cambridge 1911.
3) H. WEBER, Lehrbuch der Algebra, Bd. II
§ 1.