GROEPENTHEORETISCHE ONDERZOEKINGEN

 DOOR

P.J.H. BAUDET


HOOFDSTUK III.

Automorphismen. Groepen van de orden p, pq, pqr.


Automorphismen. Het is vanzelfsprekend, dat elke groep met zich zelf holoëdrisch isomorph is: men behoeft elke operatie maar als met zich zelf correspondeerend te beschouwen. Het is echter mogelijk, dat eene groep met zich zelf holoëdrisch isomorph is, en dat bij dit isomorphisme niet elke operatie met zich zelf correspondeert.
Men ziet dit gemakkelijk in, door te beschouwen een groep G, waarvan de operaties niet alle geïsoleerd zijn, en een harer operaties A, die niet tot de kerngroep behoort. Beschouwt men dan eene willekeurige operatie B als correspondeerend met A-1BA, dan is volgens deze correspondentie de groep G met zich zelf isomorph (n°. 11 XLII), terwijl niet alle operaties met zich zelf correspondeeren.
Gelijk wij reeds hebben opgemerkt, kan dit transformeeren door A opgevat worden als eene operatie, uitgeoefend op elementen, die bestaan in de operaties der groep. Heeft men nu te doen met een willekeurig holoëdrisch isomorphisme van de groep met zich zelf, dan kan men evenzeer beschouwen het proces, dat daarin bestaat, dat men uit elke operatie afleidt de daarmede correspondeerende, en men ziet gemakkelijk in, dat dit proces opgevat kan worden als eene operatie, uitgeoefend [pag. 67] op de operaties der groep G als elementen. We noemen deze operatie een automorphisme van de groep G.
We merken op, dat de automorphismen van eene groep G zelf eene groep vormen. Het is nl. onmiddellijk in te zien, dat het product van twee automorphismes wederom een automorphisme is, en dat de inverse van een automorphisme ook tot het stelsel der automorphismen behoort. Zijn nu U1 en U2 automorphismen, dan is dus ook U1-1U2, dus de operatie X gedefinieerd door U1X = U2 een automorphisme. Daar het stelsel der automorphismen de eenheidsoperatie steeds bevat, vormen dus de automorphismen van G eene groep.
Hierboven hadden wij gelegenheid op te merken, dat transformatie van eene groep door eene met haar verwisselbare operatie gelijk staat met de toepassing van een automorphisme. Is in 't bijzonder G eene groep en H een harer normaaldeelers, dan definieert transformatie van H door een operatie van G een automorphisme van H. In het volgende nummer zullen wij bovendien zien, dat indien U een willekeurig automorphisme van eene groep G is, de elementenverzameling V uitgebreid kan worden tot eene verzameling W, en men eene groep G kan vormen, die op W opereert en welke de volgende eigenschap bezit: G heeft een normaaldeeler G', holoëdrisch isomorph met G, en bovendien eene operatie U' zoodanig, dat de transformatie van G' door U' aequivalent is met het automorphisme U; hieronder verstaan we, dat, indien A, A'; B, B' correspondeerende operaties van G en G' zijn, en indien A door U in B wordt overgevoerd, A' door U' in B' wordt getransformeerd [pag. 68] (d.w.z. de betrekking U'-1A'U' = B' bestaat) en omgekeerd.

16. Uitbreiding der elementenverzameling V bij gegeven automorphisme. Zij ten grondslag gelegd de verzameling V met de elementen a1, a2, ... en de hierop opereerende groep G met de operaties A1, A2, ... Zij voorts U eene automorphisme van de orde n.
Wij beschouwen nu eene nieuwe verzameling W met elementen a10, a11, ...., a1, n-1; a20, a21, ...., a2, n-1; ...., die nog andere elementen bi bevat. Voor deze verzameling definieeren wij de volgende operaties:
1°. U' permuteert de tweede indices der elementen ajl cyclisch met dien verstande, dat 0 in n-1, 1 in 0, 2 in 1, ...., n-1 in n-2 overgaat, en opereert op een of andere wijze op de elementen bi;
2°. Operaties Ai', welke als volgt gevormd worden: Ai' uitgeoefend op een element ajl voert dit element over in akl, waarbij k de index is van het element ak, dat ontstaat, indien op aj uitgeoefend wordt de operatie, die het automorphisme Ul uit Ai doet afleiden. Bovendien voert elke Ai elk der elementen bi in zich zelf over.
Dat de onder 1°. en 2°. gedefinieerde processen inderdaad operaties zijn, is oogenblikkelijk in te zien. Bovendien merken we nog op, dat de orde van U' een veelvoud van n is, zoodat de orde van U', indien wij haar eindig veronderstellen, door mn kan worden voorgesteld.
Wij onderzoeken thans de groep G, die door de zoo gedefinieerde operaties gegenereerd wordt. [pag. 69]
Men ziet gemakkelijk in, dat de operaties Ai' eene groep G' vormen, welke met G holoëdrisch isomorph is, indien men Ai' en Ai als correspondeerende operaties beschouwt. Immers, zij AbAc = Ad en beschouwen we Ab'Ac'. Laten we Ab'Ac' inwerken op ajl, dan ontstaat akl, waarbij ak uit aj verkregen wordt door toepassing van de operatie BbBc, waarin Bb resp. Bc de operaties van G beduiden, die uit Ab resp. Ac afgeleid worden met behulp van het automorphisme Ul. Krachtens de definitie der automorphismen is nu het product BbBc de operatie Ad = AbAc afgeleid wordt met behulp van het automorphisme Ul. Ten gevolge der bovenstaande definitie 2°. voert echter Ad' het element ajl in hetzelfde element akl over. Hieruit volgt Ab'Ac' = Ad'. De operaties Ai' vormen dus eene groep, holoëdrisch isomorph met G (n°. 10 XXXIII).
De beschouwde groep G' is bovendien met G' verwisselbaar. Zij toch A' eene operatie van G', en beschouwen wij de operatie U'-1A'U'. Een willekeurig element ajl gaat door U'-1 over in aj, l+1, en toepassing van A' op aj, l+1 doet het element ak, l+1 ontstaan, waarbij ak uit aj door toepassing van de operatie, die het automorphisme Ul+1 uit A doet afleiden. De operatie U'-1A'U' voert dus het element ajl in akl over.
Zij nu Au de operatie van G, waarin A overgaat door toepassing van het automorphisme U. Het is duidelijk dat de operatie Au' van G' het element ajl in akl zal overvoeren, daar het automorphisme Ul uit Au dezelfde operatie afleidt als het automorphisme Ul+1 uit A. [pag. 70] Daar bovendien U'-1A'U' elk element bi invariant laat, blijkt hieruit, dat U'-1A'U' = Au', zoodat G' met U' verwisselbaar is.
Het voorgaande blijft juist in het geval l = n-1, mits men akn als ak0 interpreteert. De operatie U'-1A'U' voert dan het element aj, n-1 in ak, n-1 over, als de operatie A het element aj in ak overvoert. De operatie Au' voert aj, n-1 in ak, n-1 over, daar het automorphisme Un-1 (wegens Un = E) uit Au de operatie A doet afleiden.
Uit de verwisselbaarheid van G' met U' volgt nu, dat G' een normaaldeeler van {G', U'} is. Tevens blijkt, dat de door G' met U' gegenereerde groep G = {G', U'} tot orde heeft het mn-voud van de orde van G', daar U'mn = E de laagste positieve macht van U' is, die tot G' behoort (n°. 12 LIII en LIV).
Het gevonden resultaat, waarvan wij de door HÖLDER gevonden uitbreidingen, welke analoog behandeld kunnen worden, voor 't vervolg niet noodig hebben en daarom voorbijgaan, kan, in verband met het in n°. 16 opgemerkte, als volgt uitgesproken worden:

I. Is G eene groep van operaties, U een automorphisme der groep van de orde n, en m een geheel, positief getal, dan bestaat er eene groep G, die een met G holoëdrisch isomorph en normaaldeeler G' heeft, en die eene operatie U' van de orde mn bevat, waarvan slechts machten, die gelijk aan de eenheid zijn, tot G' behooren, terwijl transformatie door U' de operaties van G' op dezelfde wijze beinvloedt, als toepassing van het automorphisme U dit de correspondeerende operaties van G doet.

[pag. 71] Is G eene groep, die een normaaldeeler G' bezit van den index l en bovendien eene operatie U' van de orde l zoodanig, dat alleen die machten van U' die gelijk zijn aan de eenheid, tot G' behooren, dan kan G gegenereerd worden door G' en U', terwijl transformatie van G' door U' gelijk staat met de toepassing van een automorphisme op G', waarvan de orde een deeler van l is 1).

17. Direct product van twee groepen, welke met gegeven groepen holoëdrisch isomorph zijn. Indien twee groepen gegeven zijn, bestaat er steeds eene groep, die het directe product is van twee groepen, die met de gegeven groepen holoëdrisch isomorph zijn. Men behoeft slechts te denken, dat twee met de gegeven groepen isomorphe groepen G1 resp. G2 elk opereeren op één van twee elementenverzamelingen V1 resp. V2, welke geen element gemeen hebben.
Beschouwt men nu de nieuwe elementenverzameling V1 + V2, en opereert men hierop met {G1', G2'}, waarbij G1' de elementen van V1 op dezelfde wijze beinvloedt als G1, terwijl G'1 de elementen van V2 in zich zelf overvoert, en analoog G'2 op V2 opereert evenals G2 en de elementen van V1 in rust laat, dan is deze groep klaarblijkelijk het directe product van G1' en G2'
Ingeval eene der beide groepen G1, G2 cyclisch is, is onze bewerking een direct gevolg van de beschouwing uit het vorige nummer. Men heeft dan nl. de orde van het isomorphisme gelijk aan 1 te nemen.


Noten

1) O. HÖDER, Die Gruppen der Ordnungen p3, pq2, pqr, p4, Math. Ann. Bd. 43 pg. 301.